Современная портфельная теория

Пусть есть портфель из двух активов: х1 и  х2 обозначают долю от общего объема инвестиций, приходящуюся на каждый из активов, m1 и m2 - ожидаемые доходности, s1 и s2 - стандартные отклонения доходности первого и второго активов соответственно. Средняя доходность и риск портфеля рассчитываются как

,        (6.13) 

.      (6.14)

                 Рассмотрим, используя рисунок, случаи, когда показатели доходности активов, входящих в портфель, связаны между собой абсолютной положительной зависимостью: r12=1, абсолютной негативной взаимосвязью r12=-1, а также ситуацию, когда статистическая взаимосвязь между доходностью двух активов отсутствует r12=0.

Если  , стандартное отклонение равно

      (6.15)

Уравнения (6.13) и (6.15) определяют линейную взаимосвязь  между mp и sp при изменении параметров x1 и x2 (намним, что x1 = 1 - x2). Тем самым комбинации риска и дохода для различных портфелей лежат на прямой, проходящей через точки a и b на рисунке 6-2.

При r12=-1,

      (6.16)

Комбинации  риска и дохода, соответствующие  этому случаю - точки, лежащие на лучах ca и cb (рисунок 6-2). Отрезки ca и cb соответствуют  комбинациям стандартного отклонения и доходности при условии 

 

x1 ³ 0 и x2 ³ 0.

Наконец, если r12=0, то все возможные варианты отражает кривая, параметрически задаваемая уравнением (6.13) и уравнением

.        (6.17)

Рисунок 6-2 позволяет проследить важную закономерность: чем меньше величина r12 (чем ближе она к -1), тем меньшего уровня риска можно достичь, причем при r12=-1 существует портфель с нулевым риском (точка с) - факт, уже обоснованный нами выше, и используемый в стратегии хеджирования. 

9.Эффективность инвестиционного портфеля. Эффективное множество

                Вернемся к анализу более реальной ситуации - когда инвестор имеет возможность выбирать не из двух, а из гораздо большего количества активов, каждый из которых характеризуется своими показателями доходности и риска (точки 1, 2, 3, и т.д. на рисунке 6-3). Теперь инвестор может выбирать любой актив (и в любом количестве) для включения в свой портфель. Кривые 1-2, 2-4, и т.д., отражают комбинации риска и дохода, которые может получить инвестор, выбирая портфель, состоящий исключительно из первого и второго активов, второго и четвертого, и так далее. Однако этим возможности не ограничиваются. Пусть, скажем, точка А соответствует портфелю на 50% состоящему из инвестиций в 1-й актив и на 50% - во второй. Точка В - портфель, представляющий собой сочетание 50 : 50 из 1-го и 5-го активов. Тогда кривая, проходящая через точки А и В - это  значения риска и дохода, соответствующие всем возможным сочетаниям портфеля А и портфеля В. Например, пусть точка О - это точка полученная сочетанием в общем портфеле 25% вложений в портфель А и 75% вложений в портфель В. Это означает, что в общем портфеле содержится

 

1-го  актива  ;

2-го  актива ;

3-го  актива  .

Все возможные  сочетания инвестиций образуют область  допустимых значений риска и дохода (заштрихованная область на рисунке 6-4). Очевидно (см. рисунок 6-3), что область допустимых значений является выпуклой.

Рассмотрим  допустимые портфели с точки зрения их привлекательности для несклонного  к риску инвестора. Как мы помним, человек, несклонный к риску всегда предпочитает меньший риск при одинаковом ожидаемом доходе, и, соответственно, всегда стремится к большему значению среднего дохода при одинаковом уровне риска. Поэтому, для несклонного к риску инвестора портфель А, например, всегда лучше портфеля В, или портфеля С. Хотя портфели А и В обеспечивают одинаковый ожидаемый доход, портфель В - более рискован. Аналогично, хотя портфели А и С имеют одинаковую степень риска, портфель С менее выгоден с точки зрения его доходности. 

 
 

 

Эффективным портфелем называется портфель, обеспечивающий наивысший уровень ожидаемого дохода при данном уровне риска и наименьший риск при данном уровне дохода. Согласно этому определению, портфели А, Д, Е на рисунке 6-4 являются эффективными, а портфели В и С - нет.

Очевидно, если существует множество альтернатив  для инвестирования (множество активов) то существует и множество эффективных портфелей. На рисунке 6-4 множество эффективных портфелей - это портфели лежащие на границе допустимой области. Множество эффективных портфелей называют границей эффективности или эффективным множеством.

Если  возможности по инвестированию ограничиваются лишь некоторым набором рискованных  активов, то есть достижимые комбинации риска и дохода ограничены областью допустимых значений риска и ожидаемой  доходности, выбор инвестора определяется его индивидуальными предпочтениями (рисунок 6-5). 

10.Безрисковая ставка доходности

                Предположим, что на рынке помимо рискованных инвестиций, существует возможность финансовых вложений, которые гарантированно обеспечивают получение определенного дохода. Другими словами, положим, что существует безрисковая ставка доходности. В реальности, трудно найти активы, которые свободны от какого бы то ни было риска. Как правило, свободными от риска считают государственные ценные бумаги. Однако даже в этом случае риск есть, хотя, возможно и значительно меньший по сравнению с другими финансовыми инструментами.

В данном случае мы будем считать, что существует актив, характеризующийся определенной ставкой доходности и нулевым  риском. На нашей диаграмме в координатах риска и дохода - это точка лежащая на оси среднего дохода - точка О на рисунке 6-6. Ставку m0 - мы назовем безрисковой ставкой доходности.

                Если существует безрисковая ставка доходности, перед инвестором стоит задача распределения инвестиций между некоторым рискованным активом (портфелем активов) с ожидаемым доходом mp и стандартным отклонением sp, и безрисковым вложением средств по ставке m0, причем mp>m0 (рисунок 6-6). Пусть xp - доля богатства, вкладываемая в рискованное направление, х0 - доля, инвестируемая по безрисковой ставке.

Обозначим доходность общего портфеля через  :

.        (6.18)

Риск (стандартное  отклонение доходности) общего портфеля будет равен (учитывая, что стандартное отклонение детерминированной величины равняется нулю)

.       (6.19)

Уравнения (6.18) и (6.19) при xp ³ 0, x0 ³ 0, xp + x0=1 параметрически задают отрезок ОА на рисунке 6-6. Если xp=0, тогда х0=1 и параметры портфеля соответствуют точке О. Напротив, при xp=1 и х0=0, - все средства направляются в рискованные вложения, и портфель определяется точкой А. Все возможные промежуточные значения, когда часть инвестиций являются рискованными, а часть - безрисковыми, лежат на отрезке ОА. 

 

Безрисковое заимствование

               До этого мы говорили лишь о безрисковых инвестициях. Предположим теперь, что существует возможность не только инвестиций, но и заимствования по ставке m0.

               Другими словами, инвестор может взять кредит по ставке m0 и инвестировать эти средства в рискованный портфель. Согласно введенной выше терминологии безрисковое кредитование аналогично «короткой продаже» безрискового актива. Используя наши обозначения, возможна ситуация, когда x0 < 1 и xp > 1 (естественно, что бюджетное ограничение xp+x0=1 сохраняется). В этом случае возможные комбинации риска и дохода также определяются уравнениями (6.18) и (6.19), но эти возможности не ограничиваются отрезком ОА, а расширяются на весь луч ОАА’ (комбинации риска и дохода, достигаемые через кредитование, изображены на рисунке 6-6 пунктирной линией). 

11.Безрисковая ставка и эффективное множество

                 Попробуем теперь соединить, с одной стороны - возможности рискованных инвестиций, определенные множеством допустимых портфелей и соответствующим ему множеством допустимых сочетаний риска и дохода, и с другой - инвестирование в безрисковые активы. Рассмотрим, каким образом будет себя вести рациональный, не склонный к риску инвестор, когда он может одновременно формировать портфель из рискованных и безрисковых активов. Картина теперь существенно изменится. Рассмотрим рисунок 6-7. Пусть безрисковая ставка доходности равна m0 и допустимое множество рискованных портфелей ограничено кривой ЕЕ’. 

 

Задачу  инвестора теперь можно раделить на две подзадачи: во-первых, необходимо выбрать рискованный портфель из множества возможных, во-вторых, распределить средства между безрисковыми вложениями и рискованным портфелем. Какой из доступных рискованных портфелей будет выбран? Мы уже установили, что рациональный инвестор всегда стремится выбрать эффективный портфель, то есть такой, средняя доходность и риск которого лежат на границе допустимого множества ЕЕ’. Сравним два портфеля, например, А и В на рисунке 6-7. Допустимые сочетания риска и дохода при различных сочетаниях безрисковых и рискованных инвестиций в случае выбора портфеля А отражаются лучом ОА, при выборе портфеля В - лучом ОВ. Очевидно, что в случае портфеля В мы при любом решении получаем больший средний доход при одинаковой степени риска. Сравнивая аналогично портфели М и В, мы видим, что, в свою очередь, портфель М лучше портфеля В.

Вывод очевиден: если существует возможность безрискового инвестирования, то наилучшим для любого несклонного к риску инвестора будет тот портфель рискованных активов, который соответствует точке касания луча, проведенного из точки О (m=m0, s=0) к границе эффективности.

Таким образом, все инвесторы будут стремиться инвестировать средства в портфель М. Различными будут лишь пропорции, в которых инвесторы распределяют свое богатство между рискованным и безрисковыми инвестициями (то есть между портфелем М и безрисковым активом). Относительно более консервативный инвестор (с большей степенью несклонности к риску) выберет решение ближе к точке О. Агрессивный инвестор (менее несклонный к риску) может решить инвестировать средства в портфель М не только за счет собственных средств, но и за счет кредитования по ставке m0 (рисунок 6-8). 

 

Границей  эффективности при существовании  безрисковой ставки будет уже  не кривая EE’, характеризующая возможности  рискованных инвестиций, а прямая (точнее - луч) - касательная к допустимому множеству, проведенная из точки O (линия OM на рисунке 6-8). 

12.Модель Марковица

               Модель поведения инвестора, согласно которой инвестиции оцениваются исключительно по двум параметрам - ожидаемой доходности и риску, измеряемому как величина стандартного отклонения доходности, позволяет сформулировать единое правило формирования портфеля, которому следуют все без исключения инвесторы: независимо от индивидуальных предпочтений, все инвесторы стремятся сформировать эффективный портфель - такой, который обеспечивает минимальную степень риска для выбранного уровня дохода, либо, что то же самое, максимальный ожидаемый доход при заданной степени риска. Этот подход, и сама задача, выбора эффективного портфеля носит название модели Марковица.

Пусть, как и прежде, существует n активов, каждый из которых обеспечивает случайную величину доходности xi (i=1,...,n), mi - ожидаемая (средняя) доходность  i-го актива (математическое ожидание случайной величины xi):

,

- стандартное  отклонение доходности i-го актива: