Современная портфельная теория

5.Эффект диверсификации

              Напомним, что если s12 - коэффициент ковариации показателей доходности некоторых двух ценных бумаг, то

.

где s1, s2 - стандартные отклонения, r12 - коэффициент корреляции случайных величин доходности 1-го и 2-го активов. Следовательно, формулу для расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из 2-х активов, можно записать

.

            Таким образом, общий риск портфеля зависит от величины риска активов, входящих в портфель si, доли каждого из активов в портфеле xi и коэффициента, характеризующего статистическую взаимосвязь между величинами доходности активов, входящих в портфель r12.

Эффект  диверсификации - распределения инвестиций между различными направлениями, состоит  в том, что, выбирая объемы инвестиций в различные активы, инвестор может регулировать рискованность портфеля - выбирать такую величину из возможных, которая отвечает его предпочтениям.                  Возможности по снижению риска портфеля зависят от тесноты статистической взаимосвязи между доходностью различных инвестиционных решений (в нашем примере - величины r12). Напомним, что величина коэффициента корреляции двух случайных величин может изменяться в пределах от -1 до 1. Величина r12=-1 означает совершенную отрицательную взаимосвязь - если доходность одного актива увеличивается, доходность второго - пропорционально снижается. В случае r12=1 оба актива характеризуются совершенной положительной взаимосвязью: любое увеличение доходности одного из них с необходимостью приводит к пропорциональному увеличению доходности второго. Если же r12=0 - доходность одного актива никак не связана с доходностью второго. 

6.Портфель с минимальным риском

               Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х1 и х2, чтобы величина риска портфеля  была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение

,

- сумма  долей равняется единице. Значение  х2 мы можем выразить через  х1

.

Обозначим

Задачу  выбора портфеля с наименьшим риском можно записать

. (6.9)

Запишем условие первого порядка для  данной задачи (возьмем производную по x и приравняем ее к нулю)

,

откуда, при условии, что знаменатель  не равен нулю, получим

.       (6.10)

Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стандартное отклонение доходности) которого минимален.

Рассмотрим  некоторые частные случаи.

1. Пусть r12=-1 тогда

,

.

В этом случае риск портфеля равен нулю

.

То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет  полностью компенсировано ростом доходности второго актива.

2. В  случае, когда r12=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:

, .

Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s1<1 и s2<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.

3. Когда r12=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:

, .

Риск  такого портфеля также равен нулю:

,

но существует важное отличие от случая, когда r12=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив. 

7.Хеджирование

             Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.

             Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.

              В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько измененном виде.

Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесет ему  единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через x объем инвестиций в этот актив: .

               Доходность z является случайной вeличиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива - тех случаев, когда z окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого h также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объем инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять

.

Риск  портфеля будет равен

.       (6.11)

Риск  будет минимальным, если, исходя из условий первого порядка минимума функции (6.11), выполняется равенство

,

или

,      (6.12)

где rzh - коэффициент корреляции случайных величин z и h.

Величина h, рассчитанная по формуле (6.12) называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если

rzh=-1,

то h=1, то есть хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле каждой единице средств, инвестированных  в первый актив, будет соответствовать ровно одна единица инвестиций в актив, используемый для хеджирования. Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов. 

8.Графическая иллюстрация

                Предполагая, что инвесторы, принимая решение, ориентируются лишь на среднюю доходность и риск, измеряемый стандартным отклонением доходности, мы можем использовать в качестве иллюстрации портфельных инвестиций диаграмму из главы 3, на которой по вертикали откладывается средняя доходность, а по горизонтали - риск, под которым теперь будем понимать стандартное отклонение случайной величины доходности (рисунок 6-1).

              Точки У и П соответствуют активам, которые мы выбрали в качестве примера (акции «Урюпинскспецсталь» и Приморского ЦБК). Рассчитаем, каким будет средняя доходность и стандартное отклонение нескольких вариантов портфеля.

              Рассматриваемые нами варианты портфеля приведены в таблице (цифры обозначают процент от общего объема средств, инвестируемый в соответствующий актив): 

 

 

Доходность  и стандартное отклонение портфелей  рассчитывается по формулам (6.7) и (6.8) соответственно. Результаты приведены на рисунке 6-1 и в таблице: 

 

Можно сделать вывод, что все возможные  портфели лежат на кривой П-A-Б-В-Г-Д-У. Однако это относится лишь к случаю, когда  и . Мы не накладывали ограничений на неотрицательность величин хУ и хУ, так как предполагается возможность неограниченных коротких продаж. Рассмотрим следующие два портфеля:

 

                В случае портфеля Е инвестор вкладывает все свое богатство в акции Приморского ЦБК, одновременно коротко продает акции Урюпинска, и все вырученные деньги также вкладывает в акции Приморска. Средний доход портфеля Е 33%, риск 25.26%.

               Для портфеля Ж - ситуация обратная: инвестор коротко продает акции Приморска на сумму, равную половине всех инвестиций, и все деньги (собственное богатство и средства, вырученные от короткой продажи) вкладывает в акции Урюпинска. Средняя доходность этого портфеля равна 15%, стандартное отклонение 15.33%.

В целом, при неограниченных возможностях коротких продаж, все доступные инвестору комбинации доходности и риска можно представить на рисунке в виде кривой Е-П-A-Б-В-Г-Д-У-Ж, которая задана параметрически уравнениями (6.7) и (6.8).

               Допустимые комбинации риска и доходности при разной степени статистической взаимосвязи активов, входящих в портфель