Методы принятия управленческих решений

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1n xn ≤ b₁ ;

a x + a x + ... + a x ≤ b ;

21 1         22 2                2n n        2

.........................................

ak₁ x₁ + ak ₂ x₂ + ... + akn xn ≤ bk ;                        (1.2)

ak +1,1 x₁ + ak +1, 2 x₂ + ... + ak +1,n xn = bk +1 ;

ak + 2,1 x₁ + ak + 2, 2 x₂ + ... + ak + 2,n xn = bk + 2 ;

.....................................................

a x + a x + ... + a x = b ,

m1 1          m2 2                mn n         m

x j ≥ 0, j = 1,2,..., l ; l ≤ n.      

Решение X = ( x1 , x2 ,..., xn ) системы ограничений (1.2), при котором

функция F ( X ) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным планом задачи линейного программирования. Все остальные решения системы ограничений называются допустимыми планами. Функция F(X) называется целевой функцией. Ограничения (1.2) называются основными.

Стандартной (симметричной) задачей называется задача линейного программирования, в которой все основные ограничения заданы неравенствами и все переменные задачи неотрицательны.

Основной (канонической) задачей называется задача линейного программирования, в которой все ограничения  заданы равенствами и все переменные неотрицательны [5].     

Симплексный метод     

Для нахождения оптимального плана задачи линейного  программирования применяется симплексный  метод.

Симплексный метод решения задач линейного  программирования основан на идее последовательного улучшения решения задачи, исходя из опорного плана (первоначального решения), найденного каким угодно способом.

В задачах  линейного программирования, как  правило, решаются системы ограничений, в которых число линейно независимых  переменных меньше общего числа переменных задачи.

Любые m переменных системы m линейных уравнений  с n переменными   (m<n) называются базисными (основными), если определитель матрицы размерности m × m коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n − m переменных называются свободными (неосновными).

Симплексный метод позволяет улучшать план задачи наиболее рациональным способом, опираясь на критерии оптимальности решения.

Критерий  оптимальности решения  при отыскании  максимума линейной функции симплексным методом можно сформулировать следующим образом:

если  в выражении линейной функции  через свободные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

Критерий  оптимальности решения  при отыскании  минимума линейной функции:

если  в выражении линейной функции  через свободные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.     

На  практике удобнее для выяснения  вопроса: является ли найденный план оптимальным, пользоваться оценками переменных ∆ j , j = 1, n , которые вычисляются по формулам

n

∆ j = ∑ Ci aij − C j .                  (1.3)

i =1     

Тогда критерии оптимальности решения  формулируются иначе, а именно:

при отыскании максимума  функции:

если  оценки всех переменных неотрицательны, то значение целевой функции максимально и решение оптимально;

при отыскании минимума функции:

если  оценки всех переменных неположительны, то значение целевой функции минимально и решение оптимально.     

Первоначальное  допустимое решение определяется методом  выравнивания (введением дополнительных переменных, с помощью которых неравенства превращаются в равенства) или М-методом − методом искусственного базиса. [5].     

Целочисленное программирование.

Задачи  оптимизации, в которых переменные принимают целочисленные значения, относятся к целочисленному программированию. Рассмотрим несколько таких задач.

Задача  о выборе оборудования. На приобретение оборудования для нового участка цеха выделено 20000 долларов США. При этом можно занять площадь не более 38 м² . Имеется возможность приобрести станки типа А и станки типа Б. При этом станки типа А стоят 5000 долларов США, занимают площадь 8 м² (включая необходимые технологические проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц продукции за смену. Станки типа Б стоят 2000 долларов США, занимают площадь 4 м² и имеют производительность 3 тыс. единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей производительности участка.     

Пусть Х - количество станков типа А, а У - количество станков типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность С участка (в тыс. единиц за смену):

С = 7 Х + 3 У → max .     

При этом должны быть выполнены следующие  ограничения: по стоимости (в тыс. долларов США)     

5 Х + 2 У  ≤  20,

по занимаемой площади (в м2 )

8 Х + 4 У ≤  38,

а также  вновь появляющиеся специфические  ограничения по целочисленности, а  именно,

Х ≥ 0 , У ≥ 0 ,  Х и У - целые числа.     

Сформулированная  математическая задача отличается от задачи линейного программирования только последним условием целочисленности. Однако наличие этого условия позволяет (в данном конкретном случае) легко решить задачу перебором. Действительно, как ограничение по стоимости, так и ограничение по площади дают, что Х ≤ 4. Значит, Х может принимать лишь одно из 5 значений: 0, 1, 2, 3, 4.     

Если  Х = 4, то из ограничения по стоимости  следует, что У = 0, а потому С =  7 Х =  28.     

Если  Х= 3, то из первого ограничения вытекает, что У ≤  2, из второго У ≤ 3. Значит, максимальное С при условии  выполнения ограничений достигается при У =2, а именно С = 21 + 6 =  27.

Если  Х= 2, то из первого ограничения следует, что У ≤  5, из второго также  У ≤ 5. Значит, максимальное С при  условии выполнения ограничений  достигается при У =5, а именно С = 14 + 15 =  29.     

Если  Х= 1, то из первого ограничения имеем У ≤ 7, из второго также У ≤ 7. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У = 7, а именно С =  7 + 21 =  28.     

Если  Х= 0, то из первого ограничения вытекает У ≤ 10, из второго У ≤ 9. Значит, максимальное С при условии выполнения органичений достигается при У = 9, а именно С =  27.     

Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная производительность С = 29 (тысяч единиц продукции за смену) достигается  при Х = 2, У = 5. Следовательно, надо покупать 2 станка типа А и 5 станков типа Б [9].     

Метод моделирования.     

Моделирование – единственный к настоящему времени  систематизированный способ увидеть  варианты будущего и определить потенциальные  последствия альтернативных решений,  что позволяет их объективно сравнивать.).      

Построение  модели является процессом. Основные этапы этого процесса – постановка задачи, построение, проверка на достоверность, применение и обновление модели.

Постановка  задачи. Первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение управленческой проблемы, состоит в постановке задачи. Правильное использование математики или компьютера не принесет никакой пользы, если сама проблема не будет точно диагностирована. Правильная постановка задачи важнее даже, чем ее решение. Построение модели. После правильной постановки задачи следующим этапом процесса предусмотрено построение модели. Разработчик должен определить главную цель модели, какие выходные нормативы или информацию предполагается получить, используя модель, чтобы помочь руководству разрешить стоящую перед ним проблему. Также необходимо определить какая информация требуется для построения модели, удовлетворяющей этим целям и выдающей на выходе нужные сведения.     

Проверка  модели на достоверность. После построения модели ее следует проверить на достоверность. Один из аспектов проверки заключается в определении степени соответствия модели реальному миру. Специалист по науке управления должен установить – все ли существенные компоненты реальной ситуации встроены в модель. Второй аспект проверки модели связан с установлением степени, в которой информация, получаемая с ее помощью действительно, помогает руководству совладать с проблемой.      

Применение  модели. После проверки на достоверность модель готова к использованию. Ни одну модель науки управления нельзя считать успешно выстроенной, пока она не принята, не понята, и не применена на практике. Это кажется очевидным, но зачастую оказывается одним из самых тревожных моментов построения.      

Обновление  модели. Даже если применение модели оказалось успешной, почти наверняка она потребует обновления. Руководство может обнаружить, что форма выходных данных не ясна или желательны дополнительные данные. Если цели организации изменяются таким образом, что это влияет на принятие решений, модель необходимо соответствующим образом модифицировать [21].     

Теория  игр. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр – метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов.   

В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции  конкурентов на изменение цен, новые  компании поддержки сбыта, предложения  дополнительного обслуживания, модификацию и освоение новой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделает того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.     

Теория  игр используется не так часто, как  другие модели. К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень  сложны и на столько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение  тактики фирмы [21].     

Имитационное  моделирование. Как метод моделирования, имитация конкретно обозначает процесс создания модели и ее экспериментальное применение для определения изменений реальной ситуации. Главная идея имитации состоит в использовании некоего устройства для имитации реальной системы для того, чтобы исследовать и понять ее свойства, поведения и характеристики. Специалисты по производству и финансам могут разрабатывать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибыли в результате применения новой технологии или изменения состава рабочей силы.     

Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать  на определенные изменения или события, в то время когда отсутствует  возможность наблюдать эту систему в реальности. Если результаты экспериментирования с использованием имитационной модели свидетельствует о том, что модификация ведет к улучшению, руководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменения в реальной системе [21].     

Экономический анализ. Очевидно это наиболее распространенный метод. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная “экономическая” модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точки, в которой предприятие становится прибыльным.     

Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно  рассчитать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответствующие  издержки удается определить. Это  может быть число сидений в  самолете, которые должны быть заняты пассажирами, число посетителей в ресторане, объем сбыта нового типа автомобиля [21].      

Платежная матрица. Платежная матрица – это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу. В целом платежная матрица полезна, когда:

·  имеется  разумно ограниченное число альтернатив  или вариантов стратегии для   выбора между ними;

· то, что  может случиться, с полной определенностью  не известно;

· результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.      

Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной  оценки вероятности релевантных  событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность, но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях [21].