Математические методы в принятии решений

На втором этапе формируется  желание изменить или сохранить  существующее состояние системы  определенным образом, т.е. устанавливается  цель принятия решения.

Третий этап заключается  в определении всех возможных  способов или путей достижения цели, перехода в желаемое состояние. Здесь  важно в минимальной степени  обеспечить полноту возможных решений  вплоть до их избыточности. Впоследствии лучше исключить непривлекательное  решение, чем пропустить эффективное.

Четвертый этап заключается  в выборе из множества возможных  решений эффективного, в смысле достижения желаемой цели, с соблюдением при  этом некоторых правил выбора. Результатом  именно этого этапа является единственное принятое решение. Этот этап является центральным, но он не возможен без  первых трех.

Весь процесс принятия решения завершает пятый этап – реализация принятого решения.

Процесс принятия решения  можно условно представить схемой, изображенной на рис. 1.1.

1.3 Общие подходы и рациональные процедуры принятия решений

 

Процесс принятия решения  развивается по спирали. Первой стадией  является предварительное принятие решения, которое аналогично процессу планирования. Следующей стадией  является превентивное разрешение проблем  – это процесс предвосхищения ситуаций сбоя. И последней стадией  является процесс разрешения проблемы, который и позволяет принять  окончательное решение.

Проблема – это различия между тем, что должно происходить, и тем, что происходит на самом  деле, поэтому она должна быть четко  сформулирована. Для разрешения проблемы может быть предложен следующий  подход, основными этапами которого являются:

1) формулирование проблемы;

2) анализ настоящего состояния  дел;

3) формулирование цели;

4) анализ возможных причин  нежелательной ситуации;

5) выбор основной причины  критической ситуации;

6) определение альтернативных  решений;

7) анализ альтернативных  решений;

8) принятие решения;

9) составление плана действий.

При выборе окончательного решения из множества альтернативных необходимо обратить внимание на психологические  аспекты принятия решения, постараться  извлечь пользу для достижения личных целей, используя систематический  подход, делая акцент на конкретность и ясность поставленных целей.

В настоящее время для  принятия решения используется научный  подход, который заключается в  построении математической модели управляемой  системы и последующем ее анализе. Как видно из рис. 1.1, эта модель занимает центральное место.

Современным научным методом  изучения сложных систем является системный  анализ, под которым понимается всестороннее, систематизированное, т.е. построенное  на основе определенного набора правил, изучение сложного объекта в целом, вместе со всей совокупностью его  сложных внешних и внутренних связей, проводимое для выяснения  возможностей улучшения функционирования этого объекта.

Рис. 1.1 Схема принятия решения

Укрупненный системный анализ состоит из этапов постановки задачи, структуризации системы, построения и  исследования модели. Так как не все перечисленные этапы имеют  формальный аппарат, то, следовательно, на современном уровне системный  анализ не является строгим научным  методом, некоторые этапы и задачи выполняются на содержательном уровне, на основе логики, здравого смысла, инженерного  опыта и интуиции.

В подходе анализа систем и исследования операций можно выделить следующие пять логических элементов:

− цель или совокупность целей;

− альтернативные средства, при помощи которых можно достичь  цели;

− ресурсы, необходимые при  использовании каждой системы;

− математическую модель при  подходе исследования операций или  логическую модель при подходе анализа  систем;

− критерий выбора предпочитаемой альтернативы.

Наиболее известными подходами  при принятии решений являются следующие.

• Эмпирический подход, согласно которому решения могут существовать независимо от конкретных ситуаций. Решения, которые были хороши, могут быть плохи в настоящем времени. Данный подход позволяет изучать методы принятия решений отдельными личностями, накопить определенный опыт.

• Подход с точки зрения поведения человека. При принятии того или иного решения должны воедино соединиться существующие и разрабатываемые теории, методы и методика наук о поведении, основанные на здравом смысле понимания людей. Этот подход концентрируется на человеческом аспекте управления – принятия решений. Лицо, принимающее решения, должно сочетать качества ученого и руководителя и поддерживать равновесие между ними с помощью здравого смысла.

• Подход с точки зрения социальной системы. При управлении необходимо знать не только индивидуальные аспекты, но и понимать динамику работы группы, рассматривая последнюю с позиции системного подхода, рассматривая отношения и взаимные зависимости разных подзадач в общей задаче.

Существуют два типа систем: закрытые, которые не приспосабливаются и не взаимодействуют с окружающей средой, и открытые, которые постоянно взаимодействуют с окружающей средой. Системы позволяют сохранить общую картину, взаимодействие, но в то же время такой подход не являются всеобъемлющим методом объединения разных частей в единое целое. Объединяющими факторами являются ум, рассудительность, а также мастерство.

• Подход с точки зрения принятия решения. Он, в основном, ориентируется  на системы и позволяет научно описать, рассчитать каждый фактор, которым можно управлять. Однако, существуют решения, которые не могут быть определены качественно и которые нельзя изложить в терминах экономической ценности, например, эстетические решения.

• Математический подход, который  позволяет дать большой эффект. Математика является инструментом для управления, для принятия решений.

• Операционный подход стремится  оценить управленческую операцию и  использовать любую информацию или теоретические знания, которые дадут наилучшие результаты.

Задачу управления можно  рассчитать в трех аспектах: производство, человеческие отношения, администрация.

Одним из универсальных средств  решения любых проблем в настоящее время являются математические модели. В исследовании операций модели описывают поведение систем, включающие во многих случаях в себя коллективы людей, которые ведут себя определенным рациональным образом и могут быть адекватно описаны. Критерий сравнения альтернатив, называемый также критерием оптимизации или целевой функцией, рассматривается как единственный и очевидный.

При принятии решений необходимо решить ту или иную проблему. Все  существующие проблемы подразделяются на три класса:

1) хорошо структурированные  или количественно сформулированные  проблемы, в которых получают  численные оценки;

2) неструктурированные или  качественно выраженные проблемы, в которых количественные зависимости  между признаками и характеристиками  совершенно неизвестны;

3) слабо структурированные  или смешанные проблемы, содержащие как количественные, так и качественные элементы, причем последние имеют тенденцию к доминированию.

Методы исследования операций предназначены для хорошо структурированных проблем. Эти методы позволяют принять обоснованное решение в той или иной задаче в зависимости от ее постановки.

1.4 Математическая постановка задачи принятия решения

 

При решении задачи принятия решения исследуется система, которая условно изображается прямоугольником, рис. 1.2.

Определение системы уже  было дано. В дальнейшем под системой будем понимать совокупность объектов, предприятий, характеризующихся некоторыми показателями. Все эти показатели или параметры подразделяются прежде всего на входные и выходные.

Выходные показатели у_i графически обозначаются стрелками, выходящими из прямоугольника – системы (рис. 1.2, б); к ним относятся такие показатели, как, например, качество продукта, себестоимость, производительность, количество и др.

Параметры, которые можно  изменить в соответствии с нашим  желанием, обозначаются u₁, u₂, ..., u_m (рис. 1.2, б) и называются входными воздействиями. Такими параметрами могут быть количество финансовых средств, которые вкладываются в то или иное производство, оборудование, поставляемое в тот или иной цех, людские ресурсы и т.п. Входные параметры являются "рулями", которыми управляют, изменяя их значение, соответственно изменяются и выходные параметры у_i

Рис. 1.2 Система: а – исследуемая; б – с входными и выходными параметрами.

 

Выбор тех или иных величин u_i и является решением задачи принятия решений.

Если принято решение, следовательно, определены значения выходных параметров у_i , и в этом случае говорят, что система перешла в некоторое новое состояние.

Оператор, отражающий зависимость  выходных параметров у от входных управляющих параметров u, называется моделью

у = f (u).        (1.1)

Математическая модель представляет собой математическую зависимость, позволяющую без экспериментов, зная управляющие воздействия, определить выходные параметры. Использование  моделей очень удобно, так как  не всегда можно провести эксперименты, при их проведении можно даже разорить предприятие, однако, имея модель, можно  проиграть различные ситуации на ней.

После того как принято  решение, хорошее или плохое, его  необходимо охарактеризовать численно.

Для этого вводится целевая  функция, позволяющая численно оценить  насколько принятое решение хорошо. Эта функция зависит от входных  и выходных параметров и обозначается Q = Q (u, y).

Так как выходные параметры у можно выразить через входные u, что часто и делают, то тогда целевая функция будет зависеть только от управляющих показателей – Q = Q (u). И задача заключается в нахождении таких управлений u (или таких решений u), при которых целевая функция достигала бы своего минимального (максимального) значения.

Например, целевой функцией является прибыль – требуется, чтобы  она была максимальной, если целевая  функция представляет собой себестоимость, то необходимо, чтобы она была минимальной.

В конкретных задачах часто  накладываются ограничения, например, требуют, чтобы при нахождении максимума  целевой функции себестоимость  была бы не выше заданной, количество товара по каждой номенклатуре также было бы не меньше заданного и т.д.

Таким образом, задача состоит  в том, чтобы найти такое решение, при котором целевая функция  принимает максимальное (минимальное) значение и удовлетворяются все  ограничения экономического, технологического планов, которые принято записывать в виде ϕi (u) ≤ 0, i = 1, k .

Принимая различные решения, вычисляют в соответствии с ними по модели (1.1) значения выходной переменной у, а затем целевой функции Q. После этого среди всех принятых решений ищется такое решение u, при котором значение Q будет наилучшим. Варьировать значениями управляющей переменной u можно только в определенных пределах. Например, денежный вклад должен быть, с одной стороны, больше нуля, а, с другой стороны, меньше некоторого предельного значения, определяемого финансовыми возможностями конкретного лица, т.е. 0 ≤ u_i ≤ пред , u_i или, если U – область допустимых значений варьируемых управлений u_i , то u_i ∈ U.

Таким образом, задача заключается  в том, чтобы найти такие управления из области допустимых U, при которых будут выполнены технологические ограничения, а целевая функция примет минимальное значение. Математически данная задача записывается следующим образом: требуется принять такое решение u*, принадлежащее области допустимых решений, u* ∈ U, при котором целевая функция достигает своего минимального значения

,

и выполняются связи, определяемые математической моделью у = f (u), а также ограничения в виде неравенств ϕi (u) ≤ 0, i = 1, k , которыми задаются технологические ограничения.

Некоторые задачи теории принятия решения пассивны, для них характерно, что входные управляющие параметры u не влияют на целевую функцию, они не являются рулями. В таких задачах только проверяют допустима полученная система или нет, и решением является "да" или "нет". Если у = f (u), то проверяется у ∈ Y, и задача заключается в том, чтобы по построенной модели проверить при всех ли u показатели у хорошие, и на основании этого сделать вывод о пригодности системы или ее непригодности.

Для решения всех перечисленных  задач применяют различные методы, которые и рассмотрим далее.

2. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

 

Математическая формулировка задачи принятия решения часто эквивалентна задаче отыскания экстремума функции одной или многих переменных. Поэтому для решения подобных задач могут быть использованы различные методы исследования функций классического анализа, в частности, методы поиска экстремума. Эти методы применяют в тех случаях, когда известен аналитический вид зависимости оптимизируемой функции Q от независимых переменных uι.

2.1 Экстремум функции одной переменной

 

Большинство простейших задач  принятия решений эквивалентно задачам  отыскания экстремума функции одной переменной.

Пусть требуется найти  экстремум функции одной переменной Q (u) при отсутствии ограничений на диапазон изменения переменной u.