ООптимизация производственной программы АПП и управление запасами ресурсов

                  по силосу                         2,1Х1<=1300.

Аналогично         по комбикорму                 X1+0,54Х2<=660;

                  по зерну                           0,6X2<=131;

                  по выпасу                         X1<=525;

                  по трудовым ресурсам  0,5X1+2,5Х2<=5300.

Естественные  или тривиальные ограничения:

    X1>=0;           X2>=0.

    Прибыль, получаемая от реализации одной коровы, составляет 40 у.е., а от десятка индюков- 5 у.е. за десяток. В результате прибыль, получаемая от всей продукции, определяется выражением

    F=40X1+5X2→max.

    Тогда математическая модель будет иметь  вид:

    2,1X1<= 1300,

    X1+0,54X2<=660,

    0,6X2<=131,

    X1<=525,

    10,5X1+2,5X2<= 5300,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+5X2→max.

    Это уравнения прямых линий, которые могут быть легко построены по двум точкам.

    Первое  ограничение – вертикальная линия  при

    X1=1300/2,1=619.

    Второе  ограничение строим по двум точкам:

    X1=0;  X2=660/0,54=1222.

    X2=0;        X1=660/1=660.

      Третье ограничение – горизонтальная  линия при

    X2=131/0,6=0.

    Четвертое ограничение - вертикальная прямая при

                                                     X1=525.

    Пятое ограничение - линия, которая строится по двум точкам:

    X1=0;            X2=1300/2,5=520;

    X2=0;          X1=1300/10,5=123.

    Тривиальные ограничения располагаются по осям.

    Каждое  ограничение - неравенство отсекает полуплоскость. Система ограничений  неравенств, если они совместны, образуют многоугольник допустимых решений. Оптимальное решение достигается  в одной из вершин этого многоугольника. Для определения этой вершины необходимо построить линии уровня и перемещать ее в направлении градиента до крайней точки области допустимых решений.

    Целевая функция может быть также построена  по двум точкам.

    Придадим  значение F=0:

    F=40X1+5X2=0.

    Это также уравнение прямой линии.

    X1=0;               X2=0.

    X1=1;              X2= -40/5 = -9. 

    Градиент  целевой функции перпендикулярен  линии уровня, и его координаты определяются частными производными по каждой переменной: 

    grad F={dF/X1; dF/X2}={40;5}.

    Ее  графическое решение приведено на рисунке 2.1, а решение аналитическим методом – в таблице 2.2.

    Графический метод более наглядный, а аналитический  более точный и позволяет количественно  определить остатки ресурсов.

    Приведем  задачу к канонической форме путем  введения дополнительных переменных:

    Силос                           2,1X1+X3=1300;

    Комбикорм                 X1+0,54X2+X4=660;

    Зерно                           0,6X2+X5=131;

    Выпас                          X1+X6=525;

    Трудовые  ресурсы      10,5X1+2,5X2+X7=5300;

     Прибыль                     F-40X1-5X2=0.

    Дополнительные  переменные определяются разностью  между правой и левой частями  ограничений - неравенств, т.е. разностью  между запасами и использованием соответствующих ресурсов. Иначе  говоря, они характеризуют остатки ресурсов.

    Графическое решение данной задачи приведено  на рис. 2.1. Аналитическое решение с помощью XL – в таблице 2.2. 

    

 
 

Рисунок 2.1 Графическое решение (первая итерация) 

 

Таблица 2.2 Аналитическое решение (первая итерация) 

 

    Как видно из таблицы при имеющихся  запасах ресурсов можно произвести 505 голов крупного рогатого скота и 0 десятков индюков. Зерно и выпас используются полностью. Избыток комбикорма и силоса.

    Принимаем решение продать зерно 50 тонн. Таким образом, освобождается 50*55=2750 у.е. На освободившиеся финансовые средства приобретаем 700 трудовых ресурсов 700*3,9=2730, так как у нас нет остатков трудовых ресурсов. Такое число соответствует принятию на работу 700/365=1,9 чел. Это означает, что на постоянную работу следует принять двух человек. Таким образом, получается новая задача линейного программирования:

    2,1X1<= 1100,

    X1+0,54X2<=660 ,

    0,6X2<=81,

    X1<=525,

    10,5X1+2,5X2<= 6000,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+5X2→max.

Ее решение  приведено на рисунке 2.2 и в таблице 2.3 
 

 

Рисунок 2.2 Графическое решение задачи (Вторая итерация)

 

Таблица 2.3 Аналитическое решение (Вторая итерация)

 

 

    Анализ  результатов показывает, что в  данном случае следует выращивать 524 голов КРС и 135 индюков. При этом прибыль возрастает и составит 21627,38 у.е. В избытке оказывается комбикорм (более шестидесяти тонн, 9,59% от запасов) и трудовые ресурсы (162,5 человеко-дней, 2,71% от запасов), а в дефиците зерно, выпас и силос.

    Для уменьшения затрат, связанных с хранением запасов, их излишки следует продать или сдать в аренду. Это позволит направить освободившиеся денежные средства на закупку дефицитных ресурсов с целью увеличения выпуска продукции. Однако полностью излишки продавать нецелесообразно, так как в этом случае эти ресурсы в свою очередь окажутся в дефиците, что не позволит увеличить объем выпуска продукции. Закупленные же ресурсы окажутся в избытке. Продаем 9 тонн комбикорма и сокращаем трудовые ресурсы на 2 человеко-дней. При этом высвобождается 9*100+2*3,9=907,8у.е. Большую часть этих средств направляем на закупку силоса. Выделим на это 500 у.е., 500/20=25 тонн. На оставшиеся закупаем зерно 275/55=5 тонны и выпас 130/65=2.

    Новая модель:

    2,1X1<= 1125

    X1+0,54X2<=651,

    0,6X2<=85,

    X1<=527,

    10,5X1+2,5X2<= 5998,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+5X2→max. 

    Её  решение приведено на рисунке 2.3 и в таблице 2.4

    

 

    Рисунок 2.3 Графическое решение задачи (Третья итерация)

 

    

    Таблица 2.4 Аналитическое решение задачи (Третья итерация)

      

 

    

    Анализ  результатов показывает, что в  данном случае следует выращивать 527 голов КРС и 143 индюков. При этом прибыль возрастает и составит 21796,67 у.е. В избытке оказывается комбикорм (46 тонн, 7,16% от запасов), силос (18 тонн, 1,63% от запасов) и трудовые ресурсы (106 человеко-дней, 1,77% от запасов), а в дефиците зерно и выпас.

    Для уменьшения затрат, связанных с хранением  запасов, их излишки следует продать  или сдать в аренду. Это позволит направить освободившиеся денежные средства на закупку дефицитных ресурсов с целью увеличения выпуска продукции. Однако полностью излишки продавать нецелесообразно, так как в этом случае эти ресурсы в свою очередь окажутся в дефиците, что не позволит увеличить объем выпуска продукции. Закупленные же ресурсы окажутся в избытке. Продаем 5 тонн комбикорма,1 тонну силоса и сокращаем трудовые ресурсы на 1,7 человеко-дней. При этом высвобождается 5*100+1,7*3,9+1*20=526,63 у.е. Большую часть этих средств направляем на закупку выпаса, так как он дороже зерна. Выделим на это 390 у.е., 390/65=6 тонн. На оставшиеся закупаем зерно 110/55=2 тонны.

    Таким образом, получается новая задача линейного  программирования:

    2,1X1<= 1100,

    X1+0,54X2<=649,6,

    0,6X2<=132,

    X1<=520,

    10,5X1+2,5X2<= 6094,

    X1>=0,     X2>=0;

    F=40X1+5X2→max.

    Ее  решение приведено на рисунке 2.5 и в таблице 2.6 

    

 

Рисунок 2.5 Графическое решение задачи (Четвертая итерация) 

Таблица 2.6 Аналитическое решение задачи (Четвертая итерация)