Логика. Логические основы компьютера

 

§4. Анализ выполнения заданий этой темы

    По  разделу «Основы логики» в  экзаменационной работе содержится пять заданий: три с выбором ответа и два с кратким ответом. Два задания базового, два повышенного и одно – высокого уровня сложности. Экзаменуемые хорошо справились с заданием А11 базового уровня на проверку умения строить таблицы истинности и логические схемы: 79% выполнения в среднем (результат практически эквивалентен 2006 и 2007 годам) а также с заданием А10 базового уровня на преобразование логических выражений: 83% выполнения в среднем при 79% в 2007 г. и 73% в 2006 г. Результат выполнения задания А9 повышенного уровня на проверку знания основных понятий и законов математической логики также выше результатов прошлых лет: 74% при 57% в 2007 г. и 69% в 2006 г [2, 90 c.].

    Как и в прошлые годы задание В2 на решение логического уравнения дало результат не соответствующий высокому уровню сложности задания, в среднем 49% при 51% в 2007 г. Задание В4 повышенного уровня с кратким ответом представляет собой текстовую логическую задачу. В этом году результат оказался ниже прошлых лет: 52% при 64% в 2007 г. и 57% в 2006 г.

    В целом в 2008 году по теме «основы логики»  результаты полностью соответствуют  и иногда даже превосходят результаты, прогнозировавшиеся комиссией. Можно  сделать окончательный вывод  о том, что повышенное внимание, уделенное этому разделу при разборе результатов ЕГЭ предыдущих лет, дало свои плоды: результат усвоения этой темы не выбивается из общего ряда.  
 

Глава 3. Решения демо-версий ЕГЭ за 2007-2010 г.

2007 год

A9. Для какого числа X истинно высказывание

((X>3) \/ (X<3))  –> (X<1)

1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

Решение:

    ((X>3) \/ (X<3)) –> (X<1) – истина, если ((X>3) \/ (X<3)) – истина и (X<1) – истина.

    Высказывание Х>3 истинно при  Х = 4, а высказывание (X<3) ложно,  значит,  дизъюнкция истинна.

    Высказывание Х<1 при X = 4 ложно. Из истины следует ложь – импликация ложна.

    Высказывание Х>3 ложно при Х = 3, и высказывание (X<3) ложно,  значит,  дизъюнкция ложна.

    Высказывание Х<1 при X = 3 ложно. Из лжи следует ложь – импликация истинна.

    При Х=2 Получим из истины следует ложь – импликация ложна.

    При Х=1 – аналогично.

Ответ: 3  

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению

 ¬ (A /\ B) /\ ¬C?

1) ¬A \/ B \/ ¬C      2)  (¬A \/ ¬B) /\ ¬C     3) (¬A \/ ¬B) /\ C      4) ¬A /\ ¬B /\ ¬C

Решение:

Применим  формулу де Моргана ¬(В \/ С) = ¬ В /\ ¬ С.

Получим:

 ¬ (A /\ B) /\ ¬C = (¬A \/ ¬B) /\ ¬C    

Ответ: 2 

A11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

    Какое выражение соответствует F?

1) ¬X \/ Y \/ ¬Z      2) X /\ Y /\ ¬Z      3) ¬X /\ ¬Y /\ Z      4) X \/ ¬Y \/ Z

Решение:

Из таблицы  делаем вывод:

F = X \/ ¬Y \/ Z

Ответ: 4 

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание  (90<X·X) –> (X < (X -1)) ?

Решение:

    Импликация ложна, когда посылка истинна, следствие ложно, в остальных случаях истинна.

    Посылка истинна 90<X*X => X>9 или X < -9.

    Проверим следствие при этих значениях Х > 9 => (X<(X-1)) – ложно. Импликация ложна.

    Проверим следствие при этих значениях Х < - 9 => (X<(X-1)) – ложно. Импликация ложна.

    Посылка ложна, если – 9 ≥ X ≤ 9. Проверим следствие. (X < (X -1)) – ложно. Импликация истинна. Наибольшее число 9.

Ответ: 9 

B4. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов.

    Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита? (В ответе перечислите подряд без пробелов числа, соответствующие местам девочек в указанном порядке имен.)

Решение:

Ответ: 1423 

2008 год

А9. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1))

1) 1        2) 2       3) 3        4) 4

Решение:

((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – истина, если (X < 5) –> (X < 3) – истина и (X < 2) –> (X < 1) – истина.

Подставляем значения Х:

1)Х = 1

    (1 < 5) –> (1 < 3) – истина;

    (1 < 2) –> (1 < 1) – ложь, отсюда следует, 

    ((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

2) Х = 2

    (2 < 5) –> (2 < 3) – истина;

    (2 < 2) –> (2 < 1) – истина, отсюда  следует,

    ((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – истина.

3) Х  = 3

    (3 < 5) –> (3 < 3) – ложь;

    (3 < 2) –> (3 < 1) – истина, отсюда  следует,

    ((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

4) Х  = 4

    (4 < 5) –> (4 < 3) – ложь;

    (4 < 2) –> (4 < 1) – истина, отсюда следует,

    ((X < 5) –> (X < 3)) /\ ((X < 2) –> (X < 1)) – ложь.

Ответ: 2 

А10. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

¬(А\/¬В\/С)

1) ¬А \/ В \/ ¬С      2) А /\ ¬В /\ С     3) ¬А \/ ¬В \/ ¬С      4) ¬А /\ В/\ ¬С   

Решение:

Применим формулу де Моргана ¬(В \/ С) = ¬ В /\ ¬ С.

Получим:

¬(А \/ ¬В \/ С) = ¬А /\ В /\ ¬С   

Ответ: 4 

А11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X \/ ¬Y \/ Z      2) X /\ Y /\ Z       3) X /\ Y /\ ¬Z     4) ¬X \/ Y \/ ¬Z

Решение:

Из таблицы делаем вывод:

F = X \/ ¬Y \/ Z     

Ответ: 1 

В2. Сколько различных решений имеет уравнение

((K \/ L) –> (L /\ M /\ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные?

    В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение: