Логика. Логические основы компьютера

Введение

    Подготовка  к ЕГЭ по информатике стала  актуальной с введением экзамена по информатике по выбору при окончании  средней школы и введением  в некоторых ВУЗах, включая и  гуманитарные, вступительных экзаменов  по информатике.

    Тема  «Логика. Логические основы компьютера» – один из разделов, изучаемых в рамках учебной дисциплины «Информатика и ИКТ» на профильном уровне. В силу своей предельной общности и абстрактности логика имеет отношение буквально ко всем конкретным отраслям науки и техники. Потому, что как бы ни были различны и своеобразны эти отрасли, все же законы и правила мышления, на которых они основываются, едины.

    Изучение  логики развивает: ясность и четкость  мышления; способность предельно уточнять предмет мысли; внимательность, аккуратность, обстоятельность, убедительность в суждениях; умение абстрагироваться от конкретного содержания и сосредоточиться на структуре своей мысли.

    Предмет исследования – методы подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

    Объект  исследования – раздел «Основы логики» школьного курса информатики.

    Цель: комплексное, системное изучение методики подготовки к ЕГЭ по информатике по теме «Основы логики».

    Достижение  поставленной цели требует постановки и решения следующих задач:

1. провести теоретический анализ раздела «Основы логики»;
2. рассмотреть возможные трудности при решении задач данной темы.

 
 
 

Глава 1. Теоретический  анализ раздела «Основы  логики»

§1. Формы мышления. Алгебра высказываний.

    Логика  — наука о способах и формах мышления,  которая возникла в  Древнем Китае и Индии. 

    Основоположником  формальной логики по праву считается  Аристотель.  Логика позволяет, отвлекаясь от содержательной  стороны, строить  формальные модели окружающего мира. Свойства, связи, и отношения объектов окружающего мира в  сознании человека отражают законы логики. 

    Мышление  всегда осуществляется в следующих  формах:  понятие, высказывание и  умозаключение. 

    Алгебра высказываний позволяет определять истинность  или ложность составных  высказываний.

      В алгебре высказываний простым  высказываниям или  суждениям соответствуют логические переменные.   Истинному высказыванию соответствует значение логической  переменной 1, а ложному — значение 0. Над высказываниями  можно производить определенные логические операции,  в результате которых получаются новые, составные  высказывания[14, 98 c.].

    Для образования новых высказываний наиболее часто  используются базовые  логические операции, выражаемые  с  помощью логических связок «и» (логическое умножение (конъюнкция)), «или» (логическое сложение (дизъюнкция)), «не» (логическое отрицание (инверсия)).

    Конъюнкция. Операцию логического умножения  (конъюнкцию) принято обозначать значком  «&» либо «/\»:

F = А  /\В.

    Функция логического умножения F может принимать  лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции определяется с помощью таблицы  истинности:

    Дизъюнкция. Операцию логического сложения  обозначают «v» либо «+».

F = A\/B

    Таблица истинности:

    Инверсия. Операцию логического отрицания обозначают F = ¬A.

    Таблица истинности логического отрицания:

    Равносильными логическими выражениями называются логические выражения, у которых  совпадают последние столбцы  таблиц истинности.

    Логическое  следование (импликация) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «если..., то...», и обозначается:

    А –> В.

    Таблица истинности:

    Логическое  равенство (эквивалентность) — это логическая функция, которую можно описать помощью оборота «тогда и только тогда, когда ...» и обозначается А<–>В.

    Таблица истинности:

 
 

§2. Логические выражения и функции

    Логические  выражения. Составные высказывания можно представить в виде логического выражения или формулы, которая состоит из логических переменных, обозначающих высказывания, и знаков логических операций.

    Логические  операции выполняются в следующем порядке: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Скобки позволяют этот порядок изменить:

F = (A\/B) /\ (A\/B)

Таблицу истинности можно построить для каждого  логического выражения. Она определяет его значение при всех возможных комбинациях значений логических переменных [14, 99 c.].

    Построение  таблицы истинности:

1. Количество строк N в таблице истинности равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных n и определяется по формуле: N = 2".
2. Количество столбцов в таблице истинности равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
3. Построить таблицу истинности с необходимым количеством строк и столбцов и записать значения исходных логических переменных.
4. Заполнить таблицу истинности по столбцам, в соответствии с таблицами истинности.

 

§3. Логические законы

    Закон тождества. Всякое высказывание тождественно  самому себе:

    А = А.

    Закон непротиворечия. Высказывание не может  быть  одновременно истинным и ложным:

    А /\ ¬А = 0.

   Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным:

    A \/ ¬A = 1.

    Закон двойного отрицания. Двойное отрицание дает в итоге исходное высказывание:

    ¬¬А = А

    Законы  де Моргана:

    ¬(A \/ B) = ¬A /\ ¬B

    ¬(A /\ B) = ¬A \/ ¬B

    Закон коммутативности.

    А /\ В = В /\ А

    A \/ B = B \/ A

    Закон ассоциативности:

    (А  /\ В) /\ С = А /\ (В /\ С)

    (A \/ B) \/ C = A \/ (B \/ C)

    Закон дистрибутивности. Отличается от подобного закона в алгебре — за скобки можно выносить не только общие множители, но и общие слагаемые:

    (A /\ B) \/ (A /\ C)=A /\ (B \/ C)

    (A \/ B) /\ (A \/ C) = A \/ (B /\ C)  

§4. Базовые логические элементы

    В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная  английским математиком Дж. Булем. Схемные  реализации логических операций  называются логическими элементами.

     Логический  элемент НЕ преобразует сигнал в  противоположный, например, если на вход элемента подана  логическая единица, то на выходе этого элемента будет логический ноль и наоборот.

    Логический  элемент ИЛИ преобразует два сигнала, поданных на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу. Если на любой вход логического элемента ИЛИ будет подана логическая единица, то на выходе элемента будет логическая единица. Если на оба входа подан логический ноль, то на выходе элемента ИЛИ также будет ноль.

    Логический элемент И преобразует два сигнала, поданных на вход, в один сигнал на выходе по следующему принципу. Если на любой вход логического элемента И будет подана логическая единица, а на другой вход логический ноль, то на выходе элемента будет логический ноль. Если на оба входа подана логическая единица, то на выходе элемента И также будет единица.

    Из  тысяч и миллионов таких элементов  строится ЭВМ [14, 103 c.].