Разработка электронного учебника по математике для студентов I курса

Д о к а з  а т е л ь с т в о.

1. Проверим справедливость  данного утверждения для n = 1: , т.е. 1 = 1.

Проверка при n=1 ОБЪЯЗАТЕЛЬНА!

2. Предположим, что  данное равенство выполняется  для k слагаемых, т.е. при n =k:

3. На основании  предположения 2 докажем справедливость  данного равенства для n = k+1:

Ho , а потому  , а так как  , следовательно

Теперь можно  сделать вывод о том, что данное равенство справедливо " n Î N.

2. Множество целых  чисел

Во множестве  натуральных чисел выполняются  операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта  операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

Расширяя – определяя  новую алгебраическую операцию.

 

 Поэтому Z=N È {0, -1, -2,...} или Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых  чисел Z содержит множество натуральных  чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие  факты.

Т е о р е  м а о д е л е н и  и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 £ r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

О с н о в  н а я т е о р е м  а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p₁, p₂, ..., p_k – простые числа, а - натуральные числа. Разложение  называется каноническим.  

 

Единственность  разложения понимается с точностью  до порядка следования сомножителей. Например . Если сказано, что  простые числа расположены в  порядке возрастания, то данная оговорка не нужна.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется целое число d, такое, что a₁ : d, а₂ : d, ..., а_n : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂, ..., а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Наибольший общий  делитель – это наибольший из их общих делителей.

Обозначается: d = (а₁, а₂, ..., а_n).

Наибольший общий  делитель целых чисел а и b может  быть найден с помощью алгоритма  Евклида, в основе которого лежит  теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток  и будет наибольшим общим делителем  чисел а и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 323´3 + 204;

323=204´1+119;

204=119´1+85;

119=85´1+34;

85=34´2+17;

34=17´2;

так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂, ..., а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Наименьшее общее  кратное – это наименьшее из их общих кратных.

Обозначают: m=[ а₁, а₂, ..., а_n].

Пусть а и b целые  числа, тогда

П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

3. Множество рациональных  чисел. Система действительных  чисел

Во множестве  целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z так, чтобы  эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество  рациональных чисел Q, т.е. Q={r | r=, m, n Î Z, n¹0}. Множество рациональных чисел  можно еще определить как множество  бесконечных периодических десятичных дробей.

Десятичная дробь   называется периодической, если начиная с некоторого k одна или несколько цифр (группа цифр) повторяются.

Если же число  нельзя представить в виде отношения  двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости  введения понятия иррационального  числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения  некоторых отрезков (например, длины  диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа   и  представляются следующими десятичными дробями:  = 0,75;  = 0,333 ... = 0,(3).

Иррациональные  числа  и p представляются непериодическими бесконечными дробями:  = 1,414...; p = 3,14159....

Непериодическими  бесконечными дробями также являются: 0,101001000100001...,  и другие.

Множество, состоящее  из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

Имеется в виду что каждой точке на прямой соответствует число из множества R, и наоборот, каждому числу из множества R соответствует точка на прямой.

4. Система комплексных  чисел

Однако действительных чисел недостаточно для того, чтобы  решить любое квадратное уравнение  с действительными коэффициентами. Например, уравнение вида х² + 1= 0 действительных корней не имеет. А это означает, что система действительных чисел нуждается в расширении.

О п р е д е л е н и е. Множество чисел вида а + bi, а, b Î R, i² = -1, называется системой комплексных чисел С.

Подчеркнем, что  в отличие от множества действительных чисел (R), множество комплексных  чисел (С) с операциями определенными  на нем не обладает свойством упорядоченности, так как имеется элемент , в частности, нельзя определить понятие быть положительным.

а - действительная часть комплексного числа, bi - мнимая часть комплексного числа, i =  - мнимая единица, b - коэффициент при мнимой единице. Запись числа в виде z = а + bi называется алгебраической. Комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b = 0. Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂+ b₂i называются равными, если а₁ = a₂, и b₁ = b₂, в этом случае пишут: z₁ = z₂.

Число  = а - bi называется сопряженным для числа z = а + bi, при этом числа z и  называются взаимно сопряженными. Например, числа z = 2 + i и z = 2 - i; z = -5 - i и z = -5 + i, z = i и z = -i будут взаимно сопряженными.

Арифметические  действия над комплексными числами  проводятся по следующим правилам. Пусть z₁= а₁+b₁i z₂= а₂+b₂i. Тогда: ; ;

. Таким образом,  видим, что если z= a+bi и =a-bi, то z= a²+b².

П р и м е р ы. Выполнить действия:

1. (2 + 3i) + (8 - 5i) = 10 - 2i.

2. (-1 - i) - (2 + 3i) = -3 - 4i.

3. (10 - i)(2 + i) = 21+8i.

4. .

Геометрически комплексные  числа можно изображать точками  плоскости, абсциссами которых служат действительные части, а ординатами - коэффициенты при мнимой единице. Таким образом, если z= a+bi, то на плоскости ХОУ это будет точка М(а, b). Так как любой вектор плоскости с началом в точке O(0,0) определяется координатами конца, то комплексные числа также изображают радиус – векторами (рис. 1).

Рис. 1

Кроме алгебраической формы комплексное число может  быть записано с помощью тригонометрической формы. Введем следующие определения.

О п р е д е л е н и е. Модулем комплексного числа z= а+ bi называется арифметический квадратный корень из суммы квадратов его действительной части и коэффициента при мнимой единице: |z| = r = .

О п р е д е л е н и е. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется число , для которого  .

Возьмем на плоскости  точку М(а, b), пусть ей соответствует комплексное число z = а + bi. Обозначим через j угол, который образует радиус – вектор ОМ с положительным направлением оси ОХ.

Из D ОМА (рис.2) AO = OMcosj, AM = ОМsinj, но ОМ= = г, ОА =а; AM =b; тогда z = а + bi = rcosj + irsinj = r(cosj + isinj).

Запись числа z = r(cosj + isinj) называется тригонометрической формой комплексного числа.

С геометрической точки  зрения, модуль комплексного числа  представляет собой длину радиус-вектора, который это число изображает, а аргумент - это угол, который  образует данный радиус-вектор с положительным  направлением оси ОХ.

П р и м е р. Найти модуль, аргумент и записать число z = 1- i в тригонометрической форме.

Имеем r = = ; cosj =; sinj =; тогда j = и .

Используя тригонометрическую форму комплексного числа, умножение  и деление комплексных чисел  можно выполнять так: если , , то z₁z₂ = r₁r₂[cos (j₁+j₂) + isin (j₁+j₂)], .

Операции же возведения в целую степень и извлечения корня удобнее проводить в  тригонометрической форме. Так, для  возведения в целую степень n комплексного числа z = r(cosj + isinj) известна формула Муавра:

zⁿ = rⁿ(cos nj + isin nj).

Отметим, что возведение комплексных чисел в натуральную  степень можно выполнять и  в алгебраической форме, просто перемножая число само на себя или воспользовавшись биномом Ньютона.

П р и м е р. Найти (2 + 2i)⁵.

Если z = 2 +2i, то r =, cosj = , sinj = , j = . Тогда

, а .

Для извлечения корня  степени n Î N из комплексного числа z = =r(cos j + isin j ) используется следующая формула:

, k = 0, 1, 2, ..., n-1.

П р и м e p. Найти . Найдем тригонометрическую форму подкоренного выражения:

; ; ; ; .

, k = 0, 1, 2, 3.

;

;

;

.

Контрольные вопросы

После ознакомления с теоретическим материалом студентам  предлагается ответить на несколько  вопросов по данной теме. Это делается с целью закрепления нового материала  и контроля его усвояемости. Форма  ввода ответа на вопросы предполагает использование как классической кроудеровской системы, так и возможность ввода конструированного ответа, когда студент конструирует свой ответ из предложенных фрагментов. Система вопросов подбиралась с учетом следующих требований:

– широкий охват  нового теоретического материала;

– разноплановость в смысле возможных вариантов ответов;

– отсутствие вопросов предполагающих ответы типа «да» –  «нет» и ответов требующих  пояснения.

Блок ответов  на контрольные вопросы устроен  таким образом, что дав ответ  на первый вопрос, студенты могут перейти  к последнему, затем вернуться  назад и исправить первый ответ. Ответ, данный на вопрос, не исчезает, он остается доступным для редактирования и по прошествию некоторого времени. Во время ответа на вопросы доступ к теоретическому материалу не возможен. После получения ответов на все вопросы студентам предлагается закрыть сеанс ответов на вопросы и перейти к решению практических заданий. После этого момента вернуться к вопросам и что-либо исправить уже нельзя. По окончанию сеанса работы с учебником система проанализирует полученные ответы на предмет их правильности и полноты и выставит оценку по пятибальной шкале.

Ниже приводится схема вопросов предлагаемых студентам:

1. Дайте определение  числового множества.

2. Какие числовые  системы вам известны?

3. Какие принципы  лежат в основе расширения  числовых множеств?

4. Как определяется  множество натуральных чисел?

5. Что собой представляет  метод математической индукции?

6. Дайте определение  множества целых чисел.

7. Какие основные  факты теории целых чисел вам  известны?

8. Как определяется  множество рациональных чисел?

9. Дайте определение  множества действительных чисел.

10. Дайте определение  системы комплексных чисел.

11. Какие формы  употребляются для записи комплексных  чисел?

12. Какова геометрическая  интерпретация комплексного числа,  его модуля и аргумента?

13. Как умножаются, делятся и возводятся в степень  комплексные числа, заданные в  тригонометрической форме.

14. Как извлечь  корень n-й степени из комплексного  числа?

Каждый из вопросов предполагает только один правильный ответ, ответ, не совпадающий с правильным, считается неправильным.

После завершения ответов  на вопросы студенты переходят к  решению практических заданий.

Практические задания

Целью включения  в учебник практических заданий  являлось:

– выработка у  студентов устойчивых навыков решения  подобных заданий;

– закрепление на практике полученных теоретических  знаний;

– оценка качества усвоения студентами нового материала;

– повторение и  восстановление в памяти ранее изученного материала;

– выработка у  студентов навыков компьютерного  общения и самостоятельного решения  задач в условиях ограниченного  времени.

При подборе практических заданий учитывались следующие  требования:

– всестороннее отражение  в заданиях нового теоретического материала;

– сходность предлагаемых заданий с теми, что рассматривались  ранее в виде решенных примеров;

– отсутствие примеров повышенной трудности или требующих  нестандартного подхода;

– простота получаемых ответов и удобство их ввода и  редактирования.

Ниже приводиться  схема предлагаемых практических заданий:

1. По делимому  а и остатку r найти делители b и соответствующие частные q, если:

а) a = 100; r = 6; б) а = 158; r = 37; в) a = 497; r = 16.

2. Найти наибольшее  целое число, дающее при делении  на b = 13 частное q = 17.

3. Найти НОД каждой  из следующих систем чисел:

а) (120; 144); б) (424; 477); в) (299; 391; 667).

4. Найти НОК каждой  из следующих систем чисел:

а) [120; 96]; б) [75; 114]; в) [118; 177;413].

5. Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения  8 - 5х при х = 0,6; 1,2; -3,4?

6.Среди чисел ; 0; 0,(25); ; 3,14; ; 0,818118111811118... укажите рациональные и иррациональные.