Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)

     Тогда (54) примет вид

откуда

.                                  (55)

     Подставив полученное выражение в формулу (51), получим явную зависимость  давления от координаты и времени.

     В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта      (l = L), закончится первая фаза.

  Для определения  ее продолжительности положим в  уравнении (54) l = L и выразим время Т:

                          (56)

     Можно найти приближенное значение Т из формулы (55) и убедиться, что погрешность  не превышает 3-4%.

     В течение второй фазы давление на границе х = L падает и выполняется условие (46). Соотношения для второй фазы истощения газового пласта строятся аналогичным образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения давления по пласту

                     (57)

  и закон  изменения давления на галерее(Басниев К.С.,и др.). 
 

.                              (58) 
 
 
 
 
 

     6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ К ЗАДАЧАМ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА 

     Для решения линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации (15) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это уравнение – линейное и однородное относительно р², поэтому если р₁(х, у, z, t), р₂(х, у, z, t) , ..., р_n(х, у, z, t) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй ... , n-й скважин, и являются решениями уравнения (15), то линейная комбинация их квадратов тоже будет решением уравнения (15).

     При помощи метода суперпозиции можно решать различные задачи, которые используются при проектировании разработки газовых месторождений,

     Используя этот метод, выведем формулу для  восстановления забойного давления после остановки газовой скважины, и покажем, как по кривой восстановления давления определяются коллекторские свойства пласта.

     Предположим, что газовая скважина в бесконечном  пласте эксплуатировалась в течение длительного промежутка времени Т с постоянным дебитом и в момент Т внезапно остановлена, т.е. приток газа к забою мгновенно прекратился.

     Используя принцип суперпозиции, будем считать, что в момент t = Т

в дополнение к  добывающей скважине, работающей с  дебитом Q,_ат, начала работать нагнетательная скважина с тем же дебитом.

Тогда

                        (59)

   Кроме того, в момент остановки скважины Т выполняется равенство

                          (60)

     Вычитая почленно (59) из (60), получим:

     Если  скважина работала до остановки в течение длительного времени Т и t – Т<< Т, то

и членом ln(t/Т) можно пренебречь. Тогда имеем:

                         (61)

     Примем  момент остановки Т за новое начало отсчета времени:

t'=t-T, тогда формула (61) запишется в виде: 

                         (62)

     Кривая  восстановления забойного давления приведена на рис. 2. Легко видеть из последней формулы, что зависимость  от In t' – линейная  (рис. 3). Выделим в правой части формулы (62) член, содержащий In t^’:

                       (63)

     Очевидно, что i= представляет собой тангенс угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а ОА - отрезок, отсекаемый прямой АВ на оси ординат, равен

                         (64)

     При исследовании тазовых скважин на неустановившихся режимах,

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 

которые проводятся с целью определения коллекторских  свойств пластов, получают значения в разные моменты времени t' после остановки скважины. Эти данные обрабатывают в координатах от In t' (или Ig t').

     Экспериментальные точки показаны на рис. 3. Обычно на опытной  кривой можно выделить прямолинейный  участок, по которому определяют значения i= и ОА. Зная эти величины, а также дебит скважины до остановки , можно определить коэффициент гидропроводности пласта

                              (65)

и комплексный  параметр

.                             (66)

     Отметим, что на участке АС опытные точки отклоняются от прямой за счет притока газа в скважину после ее закрытия, который не учитывается в соотношениях (59)-(61), а также за счет некоторых других факторов.

     Зависимость (59) можно записать также в виде

                           (67)

  Кривые  восстановления давления после остановки  газовых скважин обрабатывают также  по методу Хорнера в координатах  , . Уравнение (67) в этих координатах представляет собой прямую. По углу наклона прямой можно определить коэффициент гидропроводности по формуле (65); экстраполируя ее до оси ординат = 0 получают пластовое давление , которое, как правило, неизвестно (Басниев К.С.,и др.). 

     . 
 
 
 
 
 
 
 

     7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ ОБ ОТБОРЕ  ГАЗА ИЗ ЗАМКНУТОГО  ПЛАСТА ПРИ ПОМОЩИ  УРАВНЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОГО  БАЛАНСА 

     Рассмотрим  несколько задач об отборе газа из замкнутой круговой газовой залежи радиусом R_к. В центре належи находится скважина радиусом . До вскрытия пласта скважиной давление по всей залежи постоянно и равно р_н.

     Будет рассмотрено два простейших случая: а) отбор производится с постоянным дебитом Q_ат, б) забойное давление р_с сохраняется постоянным.

     В случае а) нас будет интересовать падение давления на границе

пласта  и на забое скважины , в случае б) – падение давления на

границе и падения дебита .

     Обе задачи решаются методом последовательной смены стационарных состояний, т.е. с использованием законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения газовой залежи. Это последнее уравнение – уравнение материального баланса – заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов газа в пласте. Так как пласт замкнут, то запасы ограничены и не пополняются извне.

     Если  -плотность газа, соответствующая средневзвешенному давлению в пласте , а -объем порового пространства, принимаемый постоянным, то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени dt запишется в виде

                          (68)

     Отобранная  масса газа за тот же промежуток времени

                     (69)

     Приравняв выражения (68) а (69), получим дифференциальное уравнение истощения газовой  залежи

                           (70)

     Б. Б. Лапуком было установлено, что  при одинаковых граничные условиях кривая распределения давления в пласте в случае неустановившейся фильтрации располагается несколько выше соответствующей кривой для установившейся фильтрации. Поэтому мы примем условие к заменим s уравнении (70) величину на .

                               (71)

     Рассмотрим  случай а), когда Q_ат = const. При этом

                              (72)

     Проинтегрировав это уравнение, учтя, что при t = 0, получим:

                             (73)

т.е. давление на границе пласта падает по линейному закону с течением времени (рис.4). Чтобы найти закон изменения забойного давления с течением времени, запишем формулу для дебита скважины

                             (74)

и выразим из нее забойное давление

.                            (75)

     Отсюда  с учетом выражения (73) для р_k найдем:

                          (76)

График изменения  приведен на рис. 4.

  

     В случае б), когда р_с = const, для определения зависимости р_k от t,  подставим выражение для дебита (74) в уравнение (72) и разделим переменные:

                           (77)

     Введя обозначение A= и проинтегрировав (77) oт 0 до t и от  р_н до р_k получим:

                  откуда

                          (78)

     Задаваясь различными значениями давления р_k на границе залежи, начиная от и меньшими, можно найти, соответствующие значения времени t разработки залежи. Подставляя эти же значения р_k в формулу (74), определяем дебиты в те же моменты t. Динамика и для этого случая приведена на рис. 5 (Пыхачов Г.Б. и др.), (Евдокимова В.А. и др.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     7.1. (120) Задача. 

     Определить  время истощения газовой залежи и изменения во времени давления на внешней границе и на забое  скважины, считая что скважины дренирует  круговую зону радиуса R_k=500 м, и эксплуатируется с постоянным приведенным дебитом Q_ат=500 т. м₃/сут. Начальное пластовое давление р_н=9,8 МПа., конечное давление на забое газовой скважины (рс)кон=0,101 МПа, мощность пласта h=12 м, радиус скважины rc=10 см, коэффициент проницаемости пласта k=500 мД, коэффициент пористости m=20%, динамический коэффициент вязкости µ=0,015 мПа*с.

     Решение:

     Из  уравнения материального баланса, в котором средневзвешенное пластовое  давление заменено контурным, имеем

                                                          (79)  

      Интегрируя  (79) по рк в пределах от рн до рк и по t от 0 до t, получим

            (80)

Из формулы  дебита

,

где

 

Найдем давление на забое скважины

(81)

По значению забойного давления в конце разработки рс кон найдем конечное значение давления на внешней границе рк кон.

Подставляя полученное значение  рк кон в (80), найдем время истощения газовой залежи.

Изменение во времени  р_К и р_С определяется из (80) и (81).

Результаты подсчетов приведены на рис.6 и ниже. 

 
 
 

t, сут               0     50     100    150     200     291

р_{К                           100        86,3         72,6          58,9         45,2           20,2}

р_{С                           97,9      83,9          69,7          55,3          40,5       1,033}