Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)

                                            (25) 
 
 
 

     3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ С ПОСТОЯННЫМ ДЕБИТОМ

     В главе 2 приведено решение задачи о нестационарном притоке совершенного газа к скважине бесконечно малого радиуса с постоянным дебитом. Решение получено в результате интегрирования линеаризованного дифференциального уравнения.

     Г. И. Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбеизона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение. Это имеет важное значение, так как полученное точное решение может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решении.

     Как и в § 2, рассматривается задача о нестационарном плоско-радиальном притоке газа с постоянным дебитом  к скважине в бесконечном пласте. В этом случае необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

                                       (26)

при тех же начальных  и граничных условиях (17); (18), (19).

Г. И. Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т. е. давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные -r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных (26) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n = 5): r, t, , , .

     Если  обозначить размерность длины через  L, размерность времени Т, размерность давления [р], то размерности этих параметров выразятся следующим образйм:

[r]=L, [t]-Т, [ ]=[р],  [ ]=L²[p]^-1T^-1, [ ]=[p²].

     Среди этих параметров – три с независимыми размерностями: r, t, (k = 3). Как следует из П-теоремы, искомая функция-давление, приведенное к безразмерному виду     F = р/р_к будет зависеть от двух безразмерных комплексов (п - k = 5 — 3 = 2), Легко проверить, что такими безразмерными комплексами являются следующие:

 и  ,

т.е.

 

     Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (26), получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

                                                             (27)

     При этом начальные и граничные условия (17)-(19) сводятся к следующими

 при  при .                                   (28)

     Уравнение (27) при условиях (28) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл.1 для значений и . Через в табл.1 обозначено такое значение аргумента , что для значения отличаются от меньше, чем на 0,01%. Значит, для можно считать, что . Проинтегрировав это равенство, получим-

или

  для  .                         (29)

  Поэтому значения для в табл.1 не приведены. Сравнивая значения безразмерного давления приведенные в табл.1, со значениями, подсчитанными по формуле (23). можно найти погрешность, которую дает линеаризация уравнения Лейбензона, и убедиться в том, что она составляет доли процента(Басниев К.С.,и др.). 

.

     4. РЕШЕНО ЗАДАЧИ О ПРИТОКЕ ГАЗА К СКВАЖИНЕ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СМЕНЫ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

     Этот  метод основан на следующих предпосылках: в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине – движение внутри возмущенной области стационарно, размер возмущенной области определяется из условия материального баланса

     Решим этим методом задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Q_ат, но будем считать радиус скважины конечным и равным .

     В любой момент времени возмущенной  областью является круговая область  радиусом R(t), внутри которой давление распределено но стационарному закону.

,                                   (30)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние):                                           

                                 (31)

     В возмущенной области можно написать также выражение для дебита по формуле для стационарной фильтрации:

                           (32)

     Заметим, что в рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

Для удобства последующего изложения найдем из формулы (32) отношение                                     

и подставим  его и формулу для давления в возмущенной области (30).                                 В результате получим:

,                          (33)

т.е. распределение  давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта. 

     Для нахождения составим уравнение материального баланса. Начальный запас газа (при р = р_k) в зоне пласта радиусом R(t):

                       (34)

Текущий запас  газа выразим через средневзвешенное давление :

                                                           (35)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

                   (36)

     Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом  , отобранная масса газа к моменту t равна . Таким образом,

или, с использованием (34)-(35), найдем:

                         (37)

     Подставив в последнее соотношение выражение (36) для средневзвешенного давления и (32) для получим:

откуда

или

                                                                    (38)

   Для значений времени, для которых  , имеем:

.                                                    (39)

     Теперь, зная закон движения границы возмущенной  области в виде (38) или (39), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (33), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени

  ,                        (40)

                                                                                       (41) 

     Формулы (40) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого и закрытого пласта радиусом . В последнем случае они справедливы только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т. е. для

     Изменение давления во второй фазе зависит от граничных условий пласта. Если пласт  закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая  границу. Если пласт открытый или ), т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией , где

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     5. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ 

     Рассмотрим  еще один приближенный метод применительно к задачам неустановившейся фильтрации газа метод усреднения временной производной по пространству.

     В качестве примера рассмотрим прямолинейно-параллельную фильтрацию реального газа. Соответствующее этому случаю точное дифференциальное уравнение имеет вид

                            (42)

     Сделаем допущение, что коэффициент сверхсжимаемости z(p) можно заменить на , где -некоторое среднее давление в области фильтрации. Введем обозначение Тогда уравнение (42) примет вид

                           (43)

     Пусть имеется первоначально невозмущенный  газонасыщенный пласт шириной  В, толщиной h, длиной L. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (x = 0) вскрыт галереей. В момент t = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать н виде:

.

     Требуется определить давление в пласте в любой момент времени t >0. Для этого нужно найти решение уравнения (43) в области изменения , , удовлетворяющее начальному и граничным условиям:

 при ;                    (44)

 при x=0, где ;                          (45)

 при x=L.                             (46)

     Принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

, при x=l(t)                           (47)

     Центральным моментом в рассматриваемом методе, усреднения является принятие условия

  ,                                                                    (48)

равносильного предположению, что во всей части  пласта охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью, тогда уравнение (43) принимает вид

.                              (49)

Проинтегрировав это уравнение дважды по х, получим:

.                            (50)

     Использовав граничные условия на галерее (45) и на границе возмущенной области (47), найдем константы интегрирования b и с, а также функцию F:

, ,             

В результате получим:

, ,                         (51)

     Найдем  зависимость l(t). Для этого проделаем следующие преобразования: дважды проинтегрируем исходное уравнение (43) по координате и по времени

 

в результате, используя  граничные условия (45) и (47) получим  выражение для средневзвешенного  давления

                            (52)

     Примем  гипотезу, что средневзвешенное давление, которое находится по формуле

для данного  случая определяется из соотношения:

                            (53) 

     Приведем  выражения для  (52) и (53) к безразмерному виду и приравняем их:

                          (54)

     Уравнение (54) служит для определения функции  l(t). Однако можно получить очень простую приближенную искомую зависимость. Обозначим и разложим в ряд правую часть (54):

     Удержав два первых члена ряда, получим:

.