Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)

.               (9)

     Для решения конкретных задач, связанных  с неустановившейся фильтрацией  газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Простейшие виды этих условий следующие.

     Продуктивный  пласт или выделенную из него часть  можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями – границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхность является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания, (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.

     Чтобы получить решение системы уравнений, к ним необходимо добавить начальные  и конечные условия.

     Начальное условие заключается в задании  искомой функции во всей области  в некоторый момент времени, принимаемый  за начальный. Например, если искомой  функцией является пластовое давление то начальное условие может иметь  вид

    при t=0,                                                                                               (9.1)        

т.е. в начальный  момент задается распределение давления во всем пласте.

     Если  в начальный момент  пласт не возмущен, то начальное условие примет вид

      при t=0.                                                                               (9.2)    Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

         Возможны  следующие граничные условия.

         І. На внешней границе Г:

         1). постоянное давление

p(Г,t)=p_к=const,                                                                                                                         (9.3) т.е. граница является контуром питания;

      2). Постоянный переток  через  границу при выполнении закона  Дарси 

,

где n – нормаль к границе Г, откуда следует, что

;                                   (9.4)

        3). Переменный переток через границу

   ;                        (9.5)

        4). Замкнутая внешняя граница

   ;                             (9.6)

        5). Бесконечный по простиранию пласт

   .                             (9.7)

        ІІ. На внутренней границе:

     6). Постоянное давление на забое  скважины радиусом r_c

         при                                   (9.8) 

  7). Переменное  давление на забое скважины

       при                             (9.9)

        8). Постоянный дебит; это условие  при выполнении закона Дарси  можно представить следующим  образом:

                                                                                 (9.10)

        или

     при   ,                                                                                              (9.11)

  где - площадь боковой поверхности скважины; h – толщина пласта; 

     9). Переменный дебит

     при    ;              (9.12)

      10). Отключение скважины

     при    ;                                 (9.13)

     Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

     Численные методы решения различных задач  фильтрации газа на основе уравнения  Л. С. Лейбензова также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории .фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентностъ газа и т. д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтраций во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры.

  Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А. Чарного, Е. М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации. Математические труд-ности в решении получающегося при этом дифференциального уравнения еще более возрастают.

     Отметим, что одним из эффективных путей  решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т. е. сведение его к  линейному уравнению Фурье. Как  покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях  использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики (Басниев К.С.,и др.)

     1.2. Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону

     Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесрмметрично расположенной скважине.

     Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального  движения:

.                                 (10)

  Воспользовавшись  выражением для массовой скорости , получим:

                             (11)

    

      Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение неразрывности (10) и сократив на , получим:

                              (13)

где

Если сделать  замену , то дифференциальное уравнение

неустановившейся  фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид:

                         (14)

  Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается  на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений (Басниев К.С.,и др.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА И ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ 

     Если  заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится – для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

     Были  предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается  плоскорадиальный приток к скважине, то из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (8) уравнение

                                           (15)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² где - константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент и в уравнении (15) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение 

где - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

     Используем  линеаризованное уравнение {15) для  решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р₂. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r,t).

     Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом:

                                      (16)

     Здесь выражение  представляет собой оператор Лапласа

в полярных координатах  относительно квадрата давления для  плоско-радиального движения.

     Уравнение (16) надо проинтегрировать при начальном  условии

   при   t=0, .                                (17)

и при граничном  условии в удаленных точках

   при   t>0,   .                                   (18)

     Выведем условие для давления на забое  скважины. Для этого запишем выражение  для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства 

и сократив на , получим:

     Из  этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

  при  r=0

     Решением  поставленной задачи для упругой  жидкости является основная формула  упругого режима :

                            (20)

  Аналогия  между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (20) давление на р², a – на  , -на получим решение поставленной задачи для, газа:

                                    (21)

или

                            (22) 
 
 
 
 

 
 
 
 

     Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

     Для малых значений аргумента  можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

                           (23)

или

                                              (24)

     Подчеркнем, что решения (21)-(24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

  Формулы (22) и (24) определяют (при фиксированных  значениях времени t) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис. 1.а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = ) после начала работы скважины (рис.1.б) (Басниев К.С.,и др.).: