Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УФИМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 

КАФЕДРА РАЗРАБОТКИ И ЭКСПЛУАТАЦИИ

ГАЗОВЫХ И ГАЗОКОНДЕНСАТНЫХ

МЕСТОРОЖДЕНИЙ 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

По курсу: Подземная гидромеханика 

На тему: Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)  
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Уфа 2010 

БЛАНК ЗАДАНИЯ  НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 

УФИМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений 

Студенту             

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 

Дисциплина                                       Подземная гидромеханика   

Рассчитать и спроектировать             Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальных уравнения Л.С. Лейбензона)  

Исходные данные           Научно-техническая и учебная литература

Представить следующие материалы 

- Введение

-Цель и задачи курсовой работы

-Краткий анализ научно-технических  работ по теме курсового проектирования

-Постановка задачи. Теоретическое  обоснование модели пластовой  фильтра-ционной системы и выбор  расчетных формул и методов  исследований 

-Примеры числовых расчетов (с использованием ЭВМ) и графических решений

-Практическое использование полученных  результатов

-Заключение. Выводы и рекомендации 

-Список использованных источников 

СРОК СДАЧИ  КУРСОВОЙ РАБОТЫ                            2010 г.

                                                                                                               

Дата выдачи “ 24 ” марта   2010 г.

Консультант                 Студент___________               
 

Содержание

Введение              4

Цели задачи курсовой работы                                                                                           5

1. Дифференциальное  уравнение неустановившейся фильтрации  газа                         6

    1.1. Вывод дифференциального уравнения Лейбензона                                             6                               

  1.2. Вывод дифференциального уравнения неустановившейся   

     фильтрации  совершенного газа по двучленному закону                                     10                                             

2. Линеаризация Уравнения Лейбензона и основное решение

      линеаризированного  уравнения                   12

3. Точное решение  одной автомодельной задачи об  оссиметричном 

      притоке газа к скважине с постоянным дебитом        15

4. Решение задачи о притоке газа к скважине методм последовательной

      смены стационарных состояний          17

5. Метод усреднения                                20

6. Применение принципа суперпозиции к задачам неустановившейся

      фильтрации  газа                      23

7. Приближенное решение задач об отборе газа из замкнутого пласта

      при помощи уравнения материального  баланса                                                   26

         7.1.(120) Задача                      28  

Заключение                             31

Список использованной литературы                             32 
 
 
 
 

  Введение.

  Теория движения газа в пористой среде была разработана акад. Л. С. Лейбензоном в двадцатых годах нашего столетия. В основу теории были положены выведенные им дифференциальные уравнения установившегося и неустановившегося движений газа в пористой среде.

  Под руководством Л. С. Лейбензона были проведены тщательные эксперименты по фильтрации газов. Неустановившаяся фильтрация газов экспериментально исследовалась Д. С. Вилькером, И. П. Мос-кальковым и др.

  В тридцатых годах были опубликованы работы М. Маскета, посвященные неустановившейся фильтрации газов.

  Б. Б. Лапук посвятил свои исследования основам разработки месторождений природных газов и при этом отметил ряд существенных положений, относящихся к вопросам неустановившейся фильтрации газов в пластах. В частности, Б. Б. Лапук показал, что неустановившееся движение природного газа в пластах приемлемо рассматривать во многих случаях, как изотермический процесс. В условиях неустановившейся фильтрации газа в залежи падение температуры газа меньше, чем при его установившейся фильтрации: в неустановившемся процессе происходит теплопередача как от самой породы, слагающей пласт, так и от пород, залегающих выше и ниже данного газоносного пласта.

  В настоящее время теория неустановившейся фильтрации газов продолжает развиваться. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Цели  и задачи курсовой работы 

     Целями и задачами курсовой работы являются:  

     -изучение основ теории фильтрации газа в пористой среде, 

     -рассмотрение  и вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа, разработанного Л.С. Лейбензоном, 

     -рассмотрение линеаризации уравнение и его решение 

     -применение принципа суперпозиции к задачам неустановившейся фильтрации газа

     -рассмотрение приближенного решения задач об отборе газа из замкнутого пласта при помощи уравнения материального баланса                                              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

     1.1. Вывод дифференциального уравнения Лейбензона

     Основы  теории движения газа в пористой среде  были разработаны основателем советской  школы нефтегазовой гидромеханики  академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые  получил дифференциальные уравнения  неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарен. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболическою типа впоследствии было названо уравнением Лейбензова.

     При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т.е. температура гида и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона – Б.Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов. Показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих, скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

     Для вывода дифференциального уравнения  неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое  справедливо для любого сжимаемого флюида:

                                                                                     (1)

где коэффициенты проницаемости (k) и вязкости (динамической ) постоянны.

     Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле

                                                                                                            (2)

     Продифференцируем выражение (2) по координатам 2 раза

   ^{,            ,} 

   .                                                                                                              (3)

     Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость т₀  постоянной и учитывая, что для совершенного газа

,                                                                                                                       (4) получим:

^.                   (5)

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

.                                                                                          (6)

     Выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р², поэтому уравнение (6) можно кратко записать в виде

   .                                  (7)

     Полученное  дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (6) называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение (1) в виде произведения , в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

     Уравнение Лейбензона (6) можно записать по-другому, умножив правую и левую части  на давление р и заменив

   ;

   .                                                                                      (8)

     В такой записи под знаками производных  по координатам и по времени находится  одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kp/( ) – переменный,  в него входит искомая функция р(х, у, z, t).

Нетрудно показать, что неустановившаяся фильтрация реального  газа с уравнением состояния  и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды ( =const, k =const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа: