Управление портфелем ценных бумаг: теория и практика

распределения доходности актива. Ожидаемая  доходность актива в этом случае

определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают 

вероятности каждого события. В  сумме все возможные варианты событий 

должны составлять 100% вероятности. Формулу ожидаемой доходности актива

можно записать в следующем виде:

                                       

Ожидаемая доходность портфеля при невозможности 

заимствования средств  или осуществления коротких продаж

Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких ценных 

бумаг, каждая из которых обладает своей ожидаемой доходностью. Каким 

окажется значение ожидаемой доходности портфеля в результате их объединения?

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная 

ожидаемая доходность входящих в него бумаг, а именно:

                                       

 

 

 

 

 

 

Удельный вес бумаги в портфеле рассчитывается как отношение ее 

стоимости к стоимости всего  портфеля:

⁶

Определение риска

 

Основополагающими мерами риска финансового актива являются такие

показатели как стандартное  отклонение и дисперсия его доходности. В качестве

синонима понятия стандартное  отклонение используют также термин "вола-

тильность". Стандартное отклонение и дисперсия доходности актива говорят о

степени возможного разброса его фактической  доходности вокруг его средней 

доходности. Данные меры риска можно  определить на основе прошлых данных

статистики доходности актива. Рассмотрим технику определения дисперсии  и 

стандартного  отклонения доходности на примере акции.

Пусть имеются значения доходности акции за n лет. За первый год она

составила величину r₁, за второй - r₂, третий - r₃ и т.д., за n -й год - r_n. Разобьем

расчеты на несколько шагов.

ШАГ 1. Определяем среднее значение доходности акции за n лет. Это

просто  среднее арифметическое значений ее доходности за этот период:

                                                 

ШАГ 2. Определяем для каждого года отклонение фактического значения

доходности  от ее средней доходности, и возводим полученные данные в 

квадрат. Для  первого года получаем: , для второго года - , и т. д.,

для n -го года - .

ШАГ 3. Суммируем квадраты отклонений:

ШАГ 4. Делим  полученную сумму на количество лет:

                                                       

 

 

Величина  является дисперсией доходности акции в расчете на год. Как

уже отмечалось, дисперсия является показателем рассеяния фактических 

значений доходности акции вокруг ее средней доходности. Размерность  дисперсии 

представляет собой квадрат доходности акции. Если в формуле мы учитываем

доходность в процентах, то размерность  дисперсии - это процент в квадрате.

Показателем такой размерности  не всегда удобно пользоваться, поскольку  сама

доходность акции измеряется в  процентах. Поэтому из дисперсии извлекают

квадратный корень и получают стандартное  отклонение доходности:

                                                       

Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, т.е. в тех же 

единицах, что и сама доходность.

Если предположить, что при расчете  дисперсии и стандартного отклонения

мы учли все существующие значения доходности, т. е., как говорят, всю 

генеральную совокупность случайной  переменной, то полученная по формуле  шага 4

дисперсия называется генеральной дисперсией, а стандартное отклонение в

последней формуле - генеральным стандартным отклонением. Однако на практике

невозможно учесть все фактические  значения доходности акции, так как  это 

непрерывная случайная величина. Поэтому  оценку данных показателей 

проводят на основе только части  их значений, т.е. на основе некоторой  выборки 

данных. Тогда в результате расчета  по формуле шага 4 получают так называемую

выборочную дисперсию.

Если в качестве оценки генеральной  дисперсии принять выборочную 

дисперсию, то она будет приводить к систематическим ошибкам, занижая значение

генеральной дисперсии. Это происходит потому, что при расчете отклонения

его считают не от истинного среднего значения переменной, а от выборочного.

Выборочное же среднее непосредственно находится в центре выборки и 

поэтому отклонения от него выборочных данных в среднем меньше, чем от 

действительного среднего значения переменной в генеральной совокупности. Чтобы

скорректировать данную погрешность  переходят к так называемой  исправленной дисперсии. Она определяется по формуле:

                                               

Данная формула отличается от формулы  шага 4 только знаменателем. Данная

корректировка осуществляется для  того, чтобы получить несмещенную  оценку генеральной дисперсии. Корректировка  является существенной, если оценку

дисперсии проводят на основе небольшого количества данных. При большом 

объеме выборки различие в расчетах будет незначительным. На практике 

пользуются исправленной дисперсией, если количество наблюдений примерно

меньше 30. Соответственно исправленное стандартное отклонение 

определяется по формуле:

                                         

 

 

Математические основы принятия решения в условиях риска и неопределённости

 

Один из основополагающих вопросов теории состоит в изучении 

поведения инвесторов на финансовом рынке, определении  мотивов и закономерностей 

в принятия ими решений. Рыночная экономика - это  экономика 

неопределенности  и риска. Постоянное изменение конъюнктуры, которое проявляется в 

изменении собственно цен товаров, валютных курсов, курсов ценных бумаг, 

процентных  ставок, приводит к тому, что большая  часть решений участников 

финансового рынка принимается в условиях неполной информации. 

Ограниченность  или неточность информации приводит к двум возможным ситуациям -

принятию  решений в условиях: а) риска и  б) неопределенности. В первом 

случае  лицо, принимающее решение, знает  законы распределения случайных 

величин, входящих в модель принятия решения. Во втором случае информация о 

законах распределения случайных  величин отсутствует.

 

Приобретая рискованные активы, инвестор действует в условиях риска  и неопределенности. В результате полезность, которую он может получить от владения активом,  зависит от будущей конъюнктуры рынка. Разные ситуации, например, 

экономический подъем или спад, определят  и разную полезность одного и того же 

актива, так как он принесет разные суммы денег. В результате возникнут  разные

возможности для удовлетворения потребностей инвестора. Будущая 

конъюнктура не поддается точному  прогнозированию, поэтому полезность рискованного актива целесообразно оценивать как среднее значение полезностей, 

характеризующих в глазах инвестора  данный актив для каждой возможной ситуации на

рынке. В этом случае говорят об ожидаемой полезности актива, т.е. его 

средней полезности.

 

Пусть финансовый актив S может принести n различных результатов с

известными вероятностями P1, P2...Pn и каждому результату для инвестора 

соответствует полезность Ul,U2...Un. Тогда ожидаемая полезность актива 

рассчитывается как средняя  арифметическая взвешенная величина, где весами 

выступают вероятности получения  соответствующего уровня полезности:

Приведенная выше формула соответствует случаю дискретной случайной

величины, например, доходу, приносимому  финансовым активом. Если 

случайная величина является непрерывной, например, рассматривается доходность

актива, то ожидаемая полезность определяется как:

 

В условиях неопределенности рыночной конъюнктуры в основе принятия

инвестором решений лежит функция  ожидаемой полезности. С ее помощью 

можно сравнивать альтернативные варианты решений, сопоставляя каждому из

них некоторый уровень полезности и обозначая его некоторым числом. 

Поэтому процесс принятия решения  на финансовом рынке сводится к максимизации

функции ожидаемой полезности. Такую  теоретическую посылку можно  пользовать только в том случае, если принятие решений инвесторами  основывается на определенных принципах рационального поведения.

 

Всех инвесторов можно разделить  на три группы: а) не склонных к риску;

б) склонных к риску и в) нейтральных  к риску. Инвестор считается не склонным

к риску, если из двух активов с  одинаковой ожидаемой доходностью, но разным

риском, он выберет менее рискованный  актив, т.е. актив с меньшей дисперсией

результатов. В финансовой теории полагается, что большинство инвесторов не

склонны к риску. Это, однако, не означает, что они не готовы идти на более 

высокий риск. Это говорит лишь о том, что в случае увеличения риска актива в

качестве потенциальной компенсации  они требуют и более высокой 

ожидаемой доходности с его стороны.

 

Инвестор считается склонным к  риску, если из двух активов с одинаковой

ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный

актив, т.е. актив с большей дисперсией результатов. Такой инвестор 

предпочитает рискнуть в надежде  получить более высокую доходность в случае 

благоприятного исхода, однако, может понести и потери при неблагоприятном 

развитии событий. Он рассчитывает получить дополнительную полезность от 

дополнительного риска.

 

Инвестор считается нейтральным  к риску, если он не учитывает его  при 

принятии инвестиционных решений. Это означает, что инвестор безразличен в

выборе между двумя активами с одинаковой ожидаемой доходностью, но 

разным риском. Как правило, инвесторы  нейтральны к риску для его  небольших 

значений.

 

Как было отмечено выше, функция полезности, т.е. зависимость 

полезности от уровня богатства, является возрастающей. Однако ее форма должна 

отличаться в зависимости от степени склонности инвестора к  риску. Для 

выяснения формы функции полезности каждой группы инвесторов, определим  их 

несколько иначе, чем было сделано  выше. Пусть инвестор может выбирать между

покупкой актива и гарантированным  получением суммы денег равной по 

величине ожидаемому доходу этого  актива. В первом случае возникает  риск, так 

как фактический доход по активу может оказаться как выше, так  и ниже его 

ожидаемого дохода. Инвестор, предпочитающий получить сумму денег равную

ожидаемому доходу актива, чем купить актив, является не склонным к риску.

Инвестор, выбирающий покупку актива, вместо получения суммы денег  равной

его ожидаемому доходу, является склонным к риску. Инвестор безразличный в

выборе между получением суммы  денег равной ожидаемому доходу актива и 

его покупкой является нейтральным  к риску.

 

Переформулируем приведенные определения  с использованием понятий 

функций полезности и ожидаемой  полезности. Инвестор является не склонным к риску, если значение функции полезности от получаемой суммы денег равной

ожидаемому доходу, больше значения функции ожидаемой полезности от 

покупки актива. Инвестор склонен  к риску, если значение функции полезности от

получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу актива меньше значения

функции ожидаемой полезности от покупки  актива. Если оба значения для него

одинаковы, он нейтрален к риску.

Пусть некоторый актив S может принести только два результата - доход а 

с вероятностью р и доход b с вероятностью (l-p). Тогда ожидаемый доход

актива E(S) составляет:

 

                                            

Величина полезности, получаемая инвестором как функция от гарантированной 

суммы равной ожидаемому доходу актива, равна:

                                          

где - полезность гарантированно получаемой суммы, равной 

ожидаемому доходу актива.

Значение ожидаемой полезности рискованного актива, на которое

инвестор ориентируется при  принятии решения о его покупке, определяется как

средневзвешенная полезность каждого  из возможных фактических результатов.

Весами выступают вероятности  исходов. В нашем случае она равна:

                                         

Данная функция является линейной комбинацией полезностей U(a) и U(b) для

разных значений вероятностей исходов. Поэтому графически она представляет

собой прямую линию, соединяющую эти  точки.

Выше мы определили, что инвестор не склонен к риску, если значение его 

функции полезности от суммы, соответствующей  ожидаемому доходу, больше

значения ожидаемой полезности от покупки актива, т.е. или:

                                     

Поскольку графически правая часть  неравенства - это прямая линия, то

его левая часть должна представлять собой выпуклую вверх функцию на 

участке аb. Таким образом, неравенство показывает, что функция полезности

инвестора не склонного к риску  имеет выпуклую вверх форму. Ее график 

представлен на рис. 2. По оси ординат откладывается полезность (U), по оси