Шпаргалка по "Эконометрике"

Числовые  характеристики случайных  величин  

1 .   Математическое ожидание (среднее значение)

Определение: 
Математическим ожиданием называется 
- для дискретной случайной величины:      (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые  принимает случайная величина. Ряд  должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

- для непрерывной случайной величины: ;    (6.5)

Интеграл  должен быть абсолютно сходящимся (в  противном случае говорят, что случайная  величина не имеет математического  ожидания)

 

Свойства  математического ожидания:

a .   Если С - постоянная величина, то МС = С 
b .   МСх = СМх 
c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy 
d .   Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения х_i с различными вероятностями p(x_i/H_j) при разных условиях H_j, то условное математическое ожидание определяется

как   или  ;    (6.6)

Если  известны вероятности событий H_j, может быть найдено полное

математическое  ожидание:  ;    (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения  герба ? Эту задачу можно решать "в лоб"

xi	1    2     3  ... k..
p(xi) :		,

но эту  сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н₁ - герб выпал в первый же раз, Н₂ - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н₁) = р(Н₂) = ½;   Мx / Н₁ = 1; 
Мx / Н₂ на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем 
Мх = Мx / Н₁×р(Н₁) + Мx / Н₂×р(Н₂) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

- для дискретной случайной величины:  ;    (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые  принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для  непрерывной случайной величины: ;    (6.9)

Интеграл  должен быть абсолютно сходящимся.  

2 .   Дисперсия случайной величины 
Определение: 
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)²

- для дискретной случайной величины:  ;    (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые  принимает случайная величина. Ряд  должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

- для непрерывной случайной величины:  ;    (6.11)

Интеграл  должен быть сходящимся (в противном  случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства  дисперсии: 
a .   Если С - постоянная величина, то DС = 0 
b .   DСх = С²Dх 
c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин) 
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу: 

Dx = Mx² - (Mx)²      (6.12) 
 

4. Раскройте сущность  и принципы построения  гистограммы

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы  по данным вариационного ряда с равными  интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны  частотам (или относительным частотам).

Если  интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.

При графическом  изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность  изображается так, как если бы она  оставалась постоянной внутри каждого  интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение  по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, предствляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

Если  построена гистограмма интервального  распределения, то полигон того же распределения  можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований  прямоугольников. 

5.Раскройте сущность и принципы построения полигона

Наиболее  употребительными графиками для  изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами  или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.

 Полигон  чаще всего используют для  изображения дискретных рядов.  Для построения полигона в  прямоугольной системе координат  на оси абсцисс в произвольно  выбранном масштабе откладывают  значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в  произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс. 

6. Раскройте сущность  и принципы построения  кумуляты

Кумулята  служит для графического изображения  кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Цель  корреляционного анализа – количественная оценка тесноты связи между случайными величинами. 

7. Раскройте сущность  динамических рядов  и методов их  обработки.

Определение. Динамический ряд — ряд однородных величин, характеризующих изменения явления во времени

Область применения.

для установления тенденций и закономерностей изменений явлений, углубленного анализа динамического процесса (скоростей, временных характеристик текущего и стратегического планирования;

для прогнозирования  уровней явлений общественного  здоровья и здравоохранения

Числа (уровни) динамического ряда.

Динамические  ряды могут быть представлены только однородными величинами: абсолютными, относительными или средними величинами

Типы  динамических рядов 

Моментный ряд — характеризует изменение  значений явления на определенную дату (момент).

Интервальный ряд — характеризует изменения значений явления за определенный период (интервал времени). Применяется в случае необходимости анализа процесса в различные дробные периоды

Приемы  для установления тенденций или  закономерностей.

Преобразование  ряда — применяется для большей наглядности изменений изучаемых явлений Одно число ряда принимается за 1, чаще всего за 100 или 1000, и, по отношению к данному числу ряда, рассчитываются остальные.

Выравнивание  ряда — применяется при скачкообразных изменениях (колебаниях) уровней ряда. Цель выравнивания — устранить влияние случайных факторов и выявить тенденцию изменений значений явлений (или признаков), а в дальнейшем установить закономерности этих изменений

  Способы выравнивания  динамического ряда.

Способами выравнивания динамического ряда являются: укрупнение периодов, расчет групповой средней, расчет скользящей средней, метод наименьших квадратов  

Укрупнение  периодов — применяется, когда явление  в интервальном ряду выражено в абсолютных величинах, уровни которых суммируются по более крупным периодам. Применение возможно при кратном числе периодов.

Вычисление  групповой средней — применяется, когда уровни интервального ряда выражены в абсолютных, средних или  относительных величинах, которые  суммируются, а затем делятся на число слагаемых. Способ применяется при кратном числе периодов.

Расчет  скользящей средней — применяется, когда уровни явлений любого ряда выражены в абсолютных, средних или  относительных величинах. Данный метод  применяется при наличии некратного числа временных периодов (7, 11, 13, 17, 19) достаточно длинного динамического ряда. Путем вычисления групповой средней значений 3 периодов, а в последующем переходя на определенный уровень и два соседних с ним, осуществляется "скольжение" по периодам. Каждый уровень заменяется на среднюю величину (из данного уровня и двух соседних с ним). Данный метод применяется, когда не требуется особой точности, когда имеется достаточно длинный ряд и можно пренебречь потерей двух значений ряда; в случаях, когда изучается развитие явления под влиянием одного или двух факторов.

Метод наименьших квадратов применяется  для более точной количественной оценки динамики изучаемого явления. Этим способом получаются такие выровненные  значения уровней ряда, квадраты отклонений которых от истинных (эмпирических) показателей дают наименьшую сумму. 

Наиболее  простой и часто встречающейся  в практике является линейная зависимость, описываемая уравнением:  

Ух = а + вХ,     либо     Утеоретич. = Усреднее + вХ, 

где Ух — теоретические (расчетные) уровни ряда за каждый период;

а —  среднеарифметический показатель уровня ряда, рассчитывается по формуле:

а = ΣУфакт. / n;

в —  параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды, определяется путем расчета по формуле: в = Σ(ХУфакт)/ ΣХ2

где n — число уровней динамического ряда;

X — временные точки, натуральные числа, проставляемые от середины (центра) ряда в оба конца.  

При наличии  нечетного ряда уровень, занимающий срединное положение, принимается за 0. Например, при 9 уровнях ряда: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4.  

При четном числе уровней ряда две величины, занимающие срединное положение, обозначаются через -1 и +1, а все остальные —  через 2 интервала. Например, при 6 уровнях  ряда: -5, -3, -1, +1, +3, +5.  

Расчеты проводят в следующей последовательности:

Представляют  фактические уровни динамического  ряда (Уф) (см. табл.).

Суммируют фактические уровни ряда и получают сумму Уфакт.

Находят условные (теоретические) временные  точки ряда X, чтобы их сумма (ΣХ) была равна 0.