Экономикалық талдау

ІІ тақырып. Қаржының математикалық негіздері

І. Ақшаның  уақытша құны түсінігі

ІІ. Қаржы математикасының базалық түсініктері

2.1. Пайыздық ставкаларды есептеудің антисипативті және декурсивті әдістері

2.2. Пайыздық  мөлшерлемелердің баламалылығы

2.3. Инфляциялық құнсыздану есебі

2.4. Аннуитеттер

2.5. Бағалы қағаздар  бойынша дивидендтер мен пайыздар. Бағалы қағаздармен жүргізілетін операциялардың табыстылығы

 

І. Ақшаның  уақытша құны түсінігі

 

Ақшаның уақытша  құны (ағыл. time value of money ) – бұл қаржыдағы ең маңызды түсініктердің бірі. Бұл түсінікті 1202 жылы Леонардо Фибоначчи әзірлеп, негізін қалыптастырды. Ақшаның уақытша құны ақша пайда әкелуі тиіс дейді. Сондықтан, қазіргі таңдағы ақша сомасы кейінге қалдырылған дәл осы сомадан құндырақ болады, себебі қазір салынған сома кейін пайда әкеледі.

Уақытша құнды жақсы түсіну үшін қарапайым мысал келтірейік.

Мысалы, екі адамды алайық: Серік пен Берік. Бастапқы сома (ағыл. present value) 5 000$. Серік бұл ақшаны кейін, бес жылдан соң алуды ұйғарды, ал Берік оны қазір жай мөлшерлемемен жылдық 12%-дық депозитке салды деп алайық. Серіктің ақшаны бес жылдан кейін алуға ұйғарғанын ескере отырып, оның ақшасының қазіргі таңдағы нақты құнын есептейік. Әрине, қазір Серік ештеңе алмағандықтан, бұл мысалда біз оның тек мүмкіндікті бастапқы сомасын ғана есептей аламыз. Бірақ бастапқы соманы есептеу (мейлі, мүмкіндікті болса да) егер Серік Берік сияқты соманы кезеңнің соңында 5000-ға өсіретіндей ақылды болса оның қазір қанша алу керектігін түсінуімізге мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, ақшаны қазір салып, бес жыл өткен соң 5000 алу үшін қолыңда қанша қаржы болуы керек? Біздің мысалымыздағы жылдық мөлшерлеме еш өзгерген жоқ, 12%-ды құрайды.

S=Р*(1+ni)

Р=S/(1+ni)=5000/(1+0,12*5)=5000/1,6=3125

Сонымен, екінші нұсқаны таңдау (кейін төленетін сома) қазір алынатын 3125-ке тең. Енді негізгі сұраққа келейік: қайсысы жақсы, қазір алынатын 3125 пе әлде кейін төленетін 5000 ба? Яғни, кейін төленетін 5000-ды алу қазір алынатын 3125-ті алумен барабар. Бұл тіпті инфляцияны есептемегеннің өзінде солай.

 

 ІІ. Қаржы математикасының базалық түсініктері

 

Пайыздар – капиталды әр түрлі формада (несиелер, кредиттер) қарызға беруден я болмаса өндірістік немесе қаржы сипатындағы инвестициядан түскен табыс.

Пайыздық cтавка – пайыздарды есептеудің қарқындылығын сипаттайтын шама.

Қарыздың бастапқы сомасының өсуі – бұл есептелген пайыздардың (табыстың) қосылу есебінен қарыз сомасының ұлғаюы.

Ұлғайту коэффициенті – бастапқы капиталдың қаншалықты өскенін көрсететін шама.

Есептеу кезеңі – пайыздар есептелетін уақыт аралығы, яғни пайыздар есептелетін уақыт мерзімі.

Есептеу аралығы – ол өткен соң пайыздар есептелетін ең аз кезең.

Есептеудің  декурсивті әдісі (несиелік пайыз) – пайыздар есептеудің әрбір аралығының соңында есептеледі. Несиелік пайыз – белгілі бір аралықта есептелген соманың аталмыш аралықтың бас кезінде болған сомаға қатынасы.

Есептеудің  антисипативті әдісі (есептік ставка) – пайыздар есептеудің әрбір аралығының бас кезінде есептеледі. Есептік ставка – есептеудің белгілі бір аралығында төленген табыс сомасының осы аралық өткеннен кейін алынған өсірілген сома мөлшеріне қатынасы.

Жай пайыздық ставка – пайыздық ставка есептеудің барлық кезеңінде бірдей бастапқы ақша сомасына қолданылады.

Күрделі пайыздық ставка – есептеудің әрбір аралығы өткеннен кейін келесі аралықта пайыздар қарыздың сомасына және пайыздардың алдыңғы аралықтарына есептелген сомасына есептеледі.

Түсінікті болу үшін жай ставка бойынша есептеудің декурсивті әдісін алып қарастырайық. Мысалы үшін, 10% жай жылдық несиелік ставкада 36 айға 10 000 доллар көлемінде  кредит алдыңыз делік.

Яғни, S=10000*(1+3*0,1) =10000*1,3=13000.

Пайыздар – бұл  салынған капитал мен өсірілген  соманың арасындағы айырмашылық  – 3000.

 

Пайыздық ставка – 10%

Бастапқы соманың өсуі – 13000

Ұлғайту коэффициенті – 1,3

Кезең – 36 ай

Есептеу аралығы – 1 жыл

 

 

2.1. Пайыздық ставкаларды есептеудің антисипативті және декурсивті әдістері

 

Декурсивті	Жай (і)		Күрделі (іс)
	Өсірілген сома
	Егер есептеудің әр түрлі  аралығында әр түрлі пайыздық ставкалар қолданылатын болса, онда келесі формула пайдаланылады: Бірінші аралықтың соңында: , Бірінші аралықтың соңында: сәйкесінше, пайыздық табыстың жалпы сомасы тең болады: Және де өсірілген  сома келесіні құрайтын болады:		Күрделі несиелік ставканы есептеген кезде қарыздың сомасына алдыңғы аралықта есептелген пайыздарды қосып есептеу, басқаша айтқанда «пайызға пайызды» есептеу принципі қолданылады (бірінші жылы) (екінші жылы)  (үшінші жылы) Есептеу кезеңінің соңында өсірілген сома мынаны құрайды:  Немесе жылдан үздік есептеу (тоқсан, ай, күн) аралығында: Пайыздар үздіксіз өскенде, яғни m шексіздікке (мерзімі шектеусіз), ал есептеу аралығының ұзақтығы нөлге ұмтылса, яғни есептеу аралығы шектеусіз:   Егер есептеудің әр түрлі  аралығында пайыздық ставкалар сан алуан болатын болса, онда:   есептеудің бірінші  аралығында  екінші аралықта және т.б. Ал кезеңнің аяғында өсірілген сома келесіні құрайды:
	Дисконттау операциясы Р S=PxKH S=P/KH
	Ұлғайту коэффициенті
	Мерзімді (кезеңді) анықтау (n)
			Дәрежедегі белгісіз мәліметті табу үшін натуралды логарифмдерді табамыз: немесе жылдан үздік есептеу аралығындағы күрделі ставка жағдайында:
	Пайыздық ставканы анықтау
			Жылдан үздік есептеу  аралығындағы күрделі ставка жағдайында:
			69/72 ереже
	Өсірілген сома S
Антисипативті	Мұнда: P – нақты алынатын сома, ал D – аралықтың ең басында төленетін дисконт		Күрделі есептік ставканы есептеген кезде қарыздың сомасына алдыңғы аралықта есептелген пайыздарды қосып есептеу, басқаша айтқанда «пайызға пайызды» есептеу принципі қолданылады:
			Бірінші аралықтың өтуі бойынша       Екінші аралықтың  өтуі бойынша және т.б.; күрделі  несиелік пайыздардың ұқсас жағдайында кезең соңындағы өсірілген сома келесіні құрайды: Жылдан үздік есептеу  аралығында:
	Дисконттың сомасы D
	Дисконттау операциясы Р
	Ұлғайту коэффициенті kн а – дисконттау коэффициенті
			Есептеу аралығының саны нақты болмаған жағдайда:
	Мерзімді (кезеңді) анықтау (n)
		Дәрежедегі белгісіз мәліметті табу үшін натуралды логарифмдерді  табамыз: Жылдан үздік есептеу  аралығында:
	Пайыздық ставканы анықтау
			Екі бөлікті де түбірге енгізу арқылы дәрежеден құтыламыз Немесе жылдан үздік  есептеу аралығының ұқсас жағдайында:

 

і – несиелік ставканың салыстырмалы шамасы %

d – есептік ставканың салыстырмалы шамасы %

n – есептеу кезеңі

m – есептеу аралығы

І/D – есептеу кезеңіндегі пайыздық ақшаның жалпы сомасы

P – бастапқы капитал/ақша сомасы

S – өсірілген сома

KH – ұлғаю, ұлғайту коэффициенті

j/f – атаулы жылдық ставка

 

2.2. Пайыздық ставкалардың баламалылығы

 

Баламалы пайыздық ставкалар – бұл пайдаланылуы біртекті бастапқы жағдайларда бірдей қаржы нәтижелерін беретін алуан түрлі пайыздық ставкалар.

1) Жай есептік және несиелік ставкалардың баламалылығы

S=P(1+ni)

S=P/(1+nd)

Бірдей шарттар жағдайында, яғни мерзім, бастапқы сома бірдей болған кезде баламалы пайыздық ставка келесідей анықталады:

Баламалы есептік ставканы анықтаған кезде:

2) Жай және күрделі несиелік ставкалардың баламалылығы

S=P(1+ni)

S=P/(1+і) ⁿ

Аталмыш күрделі есептік ставкалардағы жай несиелік ставкалардың баламалылығын анықтау үшін баламалылық теңдеуін құрастырамыз:

Егер жай несиелік ставка берілген, бірақ оған балама күрделі есептік ставканы анықтау қажет болса, онда:

Егер күрделі несиелік ставка бойынша есептеу аралығы жылдан үздік болса, онда жай несиелік ставка келесідей анықталады:

Бұған қарама-қарсы жағдай туындаса, яғни пайыздың жай несиелік ставкасы берілген, бірақ есептеу аралығы жылдан үздік оған балама күрделі несиелік ставканы анықтау қажет болса, онда баламалылықтың келесі теңдеуі пайдаланылады:

3) Егер күрделі несиелік ставкаға балама есептеу аралығы бір жыл, бірақ есептеу аралығы жылдан үздік күрделі несиелік ставканы анықтау қажет болса, онда баламалылықтың келесі теңдеуі пайдаланылады:

Аталмыш ставка күрделі пайыздардың тиімді ставкасы деп аталады.

4) Күрделі есептік және несиелік ставкалардың баламалылығы

Аталмыш күрделі есептік ставканы анықтаған кезде баламалы күрделі несиелік ставка былай анықталады:

Теңдеудің екі бөлігін де түбірге енгіземіз:

Егер пайыздың күрделі несиелік ставкасы берілген, ал оған балама пайыздың күрделі есептік ставкасын анықтау қажет болса, онда келесі формула пайдаланылады:

5) Теңгермелі ставка. Бізге кейін, бірақ үлкен соманы немесе ертерек, алайда аз соманы төлеген тиімдірек пе, соны анықтайтын жағдай туындап тұр. Яғни, S₂<S₁ және n₂<n₁ болса, n₂ арқылы S₂ төлеген, немесе ертерек n₁ арқылы S₁ аз ғана соманы төлеген тиімдірек пе, соны анықтау қажет.  Яғни, мұндай шешім қабылдау үшін бұл мәндердің қазіргі кездегі шамаларын анықтау керек. Мұндай жағдайда екі мәннің де қазіргі кездегі шамалары, яғни Р₁=Р₂ сәйкес келетін жайтты сипаттайтын теңгермелі ставка анықталады:

Онда теңгермелі ставка мен Р₁=Р₂ қанағаттандыратын шартты анықтайық:

Яғни, і_с<і_о барлығында немесе теңестіретіннен аз күрделі ставкада аз мерзімге аз сома алған тиімдірек болады. Ал егер і_с<і_о болса, онда үлкен мерзімге үлкен сома алған дұрыс.

 

2.3. Инфляциялық  құнсыздану есебі

 

Инфляцияның қарқыны (а)

Инфляцияны  есептегендегі сома– Инфляцияны есептемегендегі сома	=	ΔS
Инфляцияны  есептемегендегі сома		S

 

Инфляцияны есептегендегі өсірілген  сома тең болады:

Инфляция индексі 

Егер есептеу кезеңі тұтас болмаса 

Егер бір жылдан аз аралықтағы инфляцияның деңгейі берілген болса .

Фишер формуласы:

а+іа мәні инфляциялық шығындарды өтеу үшін табыстылықтың нақты ставкасына қосылуы тиіс шама болып табылады.

Инфляцияны есептегендегі несиелік ставка:

Инфляцияны есептегендегі  жай есептік ставка:

 

Инфляцияны есептегенде  есептеудің жыл сайынғы аралығы  бар пайыздардың күрделі несиелік ставкасы:

Инфляцияны есептегенде  есептеу аралығы бар пайыздардың  күрделі несиелік ставкасы:

Инфляцияны есептегендегі  есептік ставка

Инфляцияны есептегендегі жай есептік ставка:

Инфляцияны есептегендегі есептеудің жыл сайынғы аралығы бар пайыздардың  күрделі несиелік ставкасы:

 

2.4. Аннуитеттер 

 

Аннуитет (қаржы  рентасы) – белгілі бір жылдар аралығындағы төленетін тең аралықтағы тізбектік төлемдер арасындағы бір бағыттағы төлемдер ағыны.

Постнумерандо аннуитеті (қарапайым) – аралықтар соңында жүзеге асырылатын төлемдер.

Барлық аннуитеттің өсірілген сомасы:

Пайыздар есептелетін  бірінші төлемнің сомасы келесіні құрайды:

S₁ = P (1+i_c)^n-1;

Екінші төлем үшін пайыздар бір жылға аз есептеледі:

S₂₁ = P (1+i_c)^n-1 және т.б.

n-жылдың соңында жүргізілген соңғы төлемге пайыздар есептелмейді:

S_n = P; жалпы өсірілген сома S_j барлық төлемдердің сомасын құрайды:

Геометриялық прогрессия мүшелерінің сомасына арналған математикалық  формуланы пайдаланамыз:

Бұл жерде геометриялық прогрессия мүшелерінің сомасы немесе төлемдердің жалпы саны прогрессияның бірінші мүшесі:

Яғни, постнумерандо аннуитетінің ұлғаю коэффициенті келесіні құрайды:

Әрбір төлемнің қазіргі  кездегі мәні:

Сәйкесінше, барлық аннуитеттің қазіргі кездегі мөлшері:

Тағы да геометриялық прогрессия мүшелерінің сомасын  анықтайтын формуланы пайдаланамыз: