Эконометрика

После подстановки значения в первое приведённое уравнение и преобразования подобных членов, получаем следующий результат:

Как видим, полученный результат соответствует  исходной рабочей гипотезе. Анализ показывает, что стоимость розничного товарооборота находится в прямой зависимости от численности занятых в экономике, основных фондов в экономике и от суммы доходов населения за год. Указанные переменные объясняют 79,1% вариации результата, а характеристики установленной зависимости являются статистически значимыми и надёжными, так как

  для   .

Следовательно, есть основания для отклонения нулевой гипотезы о случайной природе выявленной зависимости.

цЗадача 6.

Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – Q_t, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.

Годы	Qt	Годы	Qt
1993	43	1998	48
1994	42	1999	51
1995	43	2000	55
1996	43	2001	58
1997	44

Задание:

1. Постройте  график фактических уровней динамического  ряда - Q_t

2. Рассчитайте  параметры уравнения линейного  тренда 

3. Оцените  полученные результаты:

• с помощью показателей тесноты связи  ( r  и r² );
• значимость модели тренда (F-критерий);
• качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните  прогноз до 2003 года, рассчитайте  ошибки прогноза, доверительный  интервал прогноза и оцените  его точность.

5. Проанализируйте  полученные результаты.

Решение:

    Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём  дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1, 2, 3, …,n. См. табл. 1.

    В первую очередь выявим линейный тренд  и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго  порядка, используя формулы, рассмотренные нами в зад. 1. Получены значения определителей: ; ; . С их помощью получены следующие параметры линейного тренда: ;  , уравнение имеет вид: . Уравнение детерминирует 92,2% вариации численности занятых ( ; ).

Таблица 1.

Годы	Qt	T	t2	Qt*t	Qt расч.	DQt	(dQt)2
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1993	43	1	1	43	39,44	3,56		0,075035
1994	42	2	4	84	41,44	0,56		0,011803
1995	43	3	9	129	43,44	-0,44		0,009274
1996	43	4	16	172	45,44	-2,44		0,051429
1997	44	5	25	220	47,44	-3,44		0,072506
1998	48	6	36	288	49,44	-1,44		0,030351
1999	51	7	49	357	51,44	-0,44		0,009274
2000	55	8	64	440	53,44	1,56		0,032881
2001	58	9	81	522	55,44	2,56		0,053958
Итого	427	45	285	2255	426,96	0,04	0	0,346511
Средняя	47,4444	5	—	—	—	—	—	3,8501
Сигма	5,59982	2,5819	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D			—	—	—	—	—	—

    Средняя ошибка аппроксимации очень невелика ( = 3,85%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач.  Фактическое значение F-критерия составило 39,823 и сравнение с 5,59 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.

    Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней  от рассчитанных по уравнению тренда. Если будет установлено отсутствие связи отклонений, это укажет на их случайную природу, то есть на то, что тренд выбран верно, что он полностью исключил основную тенденцию из фактических уровней ряда и что он сформировал случайный значения отклонений.

    

Выполним  расчёт в табл.2. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:

Используем  значения определителей второго  порядка для расчёта коэффициента регрессии с₁,  который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:

  

Отсюда  . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

    

, то есть установлено отсутствие  связи отклонений и тренд выбран  верно.

Таблица 2

	(Y)	(X)
	3,56	—	—	—
1	0,56	3,56	1,9936	12,6736
2	-0,44	0,56	-0,2464	0,3136
3	-2,44	-0,44	1,0736	0,1936
4	-3,44	-2,44	8,3936	5,9536
5	-1,44	-3,44	4,9536	11,8336
6	-0,44	-1,44	0,6336	2,0736
7	1,56	-0,44	-0,6864	0,1936
8	2,56	1,56	3,9936	2,4336
Итого	-3,52	-2,52	20,1088	35,6688
Средняя	-0,44	-0,315	—	—
Сигма	1,870829	2,087912	—	—

Заканчиваем решение проведением прогноза.

 га;

 га;

В нашем  случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

Ошибка  положения регрессии составит: =

=  = 0,4873 га.

Интегральная  ошибка прогноза составит: = =2,5038 га.

Предельная  ошибка прогноза, которая не будет  превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,37*2,5038 = 5,93 ≈ 6 (га). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7  составит 2,37. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит га.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 47,44 + 6,0 = 53,44(га).

Нижняя  граница доверительного интервала  составит:

= 47,44 - 6,0 = 41,44(га).

Относительная величина различий значений верхней  и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 1,29 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза достаточна велика и его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. 

 

Задача 7.

Данные  о стоимости экспорта (St)  и импорта (Kt) Индии, млрд. $, приводятся за 1990-1999 гг.

В уровнях  рядов  выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта –

По указанным  трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические  значения их уровней: и .

Годы	Экспорт (St)		Импорт (Kt)
	Sфакт.	=	K факт..
1990	18,0	16,4	23,6	18,5
1991	17,7	18,7	20,4	21,4
1992	19,6	21,0	23,6	24,3
1993	21,6	23,3	22,8	27,2
1994	25,1	25,6	26,8	30,1
1995	30,8	27,9	34,5	33,0
1996	33,1	30,2	37,4	35,9
1997	34,2	32,5	41,0	38,8
1998	32,9	34,8	42,2	41,7
1999	36,3	37,1	44,9	44,6

Предварительная обработка исходной информации дала следующие результаты:

	St	Kt	t
St	1	0,9725	0,9658
Kt	0,9725	1	0,9558
T	0,9658	0,9558	1
Итого	269,3	317,2	55
Средняя	26,93	31,72	5,5
	6,926	8,795	2,872

Задание:

1. Для  изучения связи рядов рассчитайте  отклонения фактических значений  каждого ряда от теоретических  (   );

2. Для  оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);

3. Постройте  уравнение множественной регрессии  с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте  полученные результаты.

Решение:

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)

Таблица 1.

Годы
1990	18	16,4	23,6	18,5	1,6	5,1	8,16	2,56	26,01
1991	17,7	18,7	20,4	21,4	-1	-1	1	1	1
1992	19,6	21	23,6	24,3	-1,4	-0,7	0,98	1,96	0,49
1993	21,6	23,3	22,8	27,2	-1,7	-4,4	7,48	2,89	19,36
1994	25,1	25,6	26,8	30,1	-0,5	-3,3	1,65	0,25	10,89
1995	30,8	27,9	34,5	33	2,9	1,5	4,35	8,41	2,25
1996	33,1	30,2	37,4	35,9	2,9	1,5	4,35	8,41	2,25
1997	34,2	32,5	41	38,8	1,7	2,2	3,74	2,89	4,84
1998	32,9	34,8	42,2	41,7	-1,9	0,5	-0,95	3,61	0,25
1999	36,3	37,1	44,9	44,6	-0,8	0,3	-0,24	0,64	0,09
Итого	269,3		317,2		1,8	1,7	30,52	32,62	67,43
Средняя	26,93		31,72		0,18	0,17
Сигма	6,926478		8,794521		1,7971	2,5911
D	47,9761		77,3436		3,2296	6,7141