Эконометрика

 
 

     

    Задача  №1.

    По  территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

    Таблица №1. Исходные данные для расчета.

Территории  федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции  в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия – Алания	7,6	1,600
8. Краснодарский край1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край	43,4	15,104
10. Астраханская обл.	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.	50,0	10,936
12. Ростовская обл.	69,0	20,014
Итого, S	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое  отклонение, s	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

 

    ¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

    Задание:

    1. Расположите территории по возрастанию  фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

    2. Постройте поле корреляции и  сформулируйте гипотезу о возможной  форме и направлении связи.

    3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

    4. Оцените тесноту связи с помощью  показателей корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

    5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

    6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

    7. По лучшему уравнению регрессии  рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

    8. Рассчитайте прогнозное значение  результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ). 

    9. Рассчитайте интегральную и предельную  ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза.

    Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . Данные представим следующем виде:

 

    Таблица №2. Исходные данные, расположенные по возрастанию значения фактора .

Территории  федерального округа	Инвестиции  в основной капитал, млрд. руб.	Валовой региональный продукт, млрд. руб.
	X	Y
6	0,61	4,3
3	0,93	2
1	1,264	5,1
7	1,6	7,6
4	2,382	10,5
2	3,344	13
5	6,689	2,1
11	10,936	50
10	12,633	18,9
9	15,104	43,4
12	20,014	69
Итого, S	75,506	225,9
Средняя	6,8642	20,536
Среднее квадратическое  отклонение, s	6,4427	21,852
Дисперсия, D	41,5079	477,50

    2. Построим поле корреляции:

    

2. Начнем  моделирование с построения уравнения  прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

    Расчёт  неизвестных параметров уравнения  выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

    Таблица №3. Разработочная таблица.

№ А 1 2 3 4 5 6 7 8 6 0,61 4,3 0,3721 2,623 1,674041 2,625959 6,895661 0,127871013 3 0,93 2 0,8649 1,86 2,639146 -0,63915 0,408508 0,031123201 1 1,264 5,1 1,597696 6,4464 3,646475 1,453525 2,112736 0,070779383 7 1,6 7,6 2,56 12,16 4,659835 2,940165 8,64457 0,143171259 4 2,382 10,5 5,673924 25,011 7,018311 3,481689 12,12216 0,169540766 2 3,344 13 11,18234 43,472 9,919658 3,080342 9,488505 0,149997162 5 6,689 2,1 44,74272 14,0469 20,00802 -17,908 320,6973 0,872030745 11 10,936 50 119,5961 546,8 32,81678 17,18322 295,2631 0,836736525 10 12,633 18,9 159,5927 238,7637 37,93485 -19,0349 362,3256 0,926901643 9 15,104 43,4 228,1308 655,5136 45,38727 -1,98727 3,949257 0,096770244 12 20,014 69 400,5602 1380,966 60,19561 8,804394 77,51735 0,428729725 Итого 75,506 225,9 974,8735 2927,663 225,9 4,97E-14 1099,425 385,3651666 Средняя 6,8642 20,536 — — — —   35,03319697 σ 6,4427 21,852 — — — —   — Дисперсия, D 41,5079 477,5 — — — —   — Δ= 5022,452               Δа0= -832,174 -0,16569           Δа1= 15147,48 3,015954

      Расчёт определителя системы выполним по формуле:

    

9*974,8735 – 75,506*75,506 = 5022,452;

      Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

    

225,9*974,8735 – 2927,663*75,506 = -832,174.

      Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

    

9*2927,663 – 225,9*75,506 = 15147,48.

    

    

    Полученное  уравнение имеет  вид  . В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 3,016 млрд. руб. Свободный член оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объем валового регионального продукта.

    Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

    

    В нашем случае, когда рассматривается  линейная зависимость, расчётная формула  преобразуется к виду:

    

    Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней

3. Определим коэффициенты для логарифмической функции . Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4.

    Таблица №4. Разработочная таблица.

№ А 1 2 3 4 5 6 7 8 6 0,61 -0,4943 4,3 0,2443 -2,1255 -6,3197 10,6197 0,5171 3 0,93 -0,0726 2 0,0053 -0,1451 -0,1491 2,1491 0,1046 1 1,264 0,2343 5,1 0,0549 1,1948 4,3407 0,7593 0,0369 7 1,6 0,47 7,6 0,2209 3,572 7,7898 -0,1898 0,0092 4 2,382 0,8679 10,5 0,7533 9,1134 13,6123 -3,1123 0,1515 2 3,344 1,2071 13 1,4573 15,6932 18,5758 -5,5758 0,2715 5 6,689 1,9005 2,1 3,6118 3,9909 28,72 -26,62 1,2963 11 10,936 2,3921 50 5,7219 119,603 35,9129 14,0871 0,6859 10 12,633 2,5363 18,9 6,4329 47,9363 38,0236 -19,1236 0,9312 9 15,104 2,7149 43,4 7,371 117,8292 40,6375 2,7624 0,1345 12 20,014 2,9964 69 8,9786 206,7538 44,7559 24,244 1,1806 Итого 75,506 14,7528 225,9 34,8521 523,4161 225,9 0 5,3196 Средняя 6,8642 1,3412 20,536 — — — — 48,3598 σ 6,4427 1,17033 21,852 — — — — — Дисперсия, D 41,5079 1,3697 477,5 — — — — — Δ= 165,7301               Δа0= 151,275 0,912779           Δа1= 2424,93 14,6318

      Расчёт определителя системы  выполним по формуле:

    

;

      Расчёт определителя свободного  члена уравнения выполним по  формуле:

    

      Расчёт определителя коэффициента  регрессии выполним по формуле:

    

    

    Полученное  уравнение имеет вид 

4. Определим показатели корреляции и детерминации:

    для линейной зависимости:

         

    Коэффициент корреляции, равный 0,8892, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость  между инвестициями в основной капитал  и валовым региональным продуктом. Коэффициент  детерминации, равный 0,790684, устанавливает, что  вариация валового регионального продукта на 79,1% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 20,9%, что является сравнительно небольшой величиной.

    для логарифмической функции:

         

5. Оценим надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

    для линейной зависимости:

    Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости валового продукта от инвестиций рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_{фактич.} и сравним его с табличным значением – F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

    

    Фактическое значение критерия показывает, что  факторная вариация результата почти  в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валового регионального продукта и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат  с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости α=0,05.