Эконометрика

    В силу того, что  , нулевую гипотезу о статистической незначимости  выявленной зависимости валового регионального продукта от инвестиций в основной капитал и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

    для логарифмической функции:

    

    

6. Полученные  показатели позволяют сделать вывод о том, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель, т.к. сравнивая оценки тесноты выявленной связи, получим: > .Таким образом, по сравнению с линейной моделью линейно-логарифмическая модель менее пригодна для описания изучаемой связи.
7. По линейному уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения результата ( ), например, . Результаты расчетов приведены в Таблице 3 и отображены на рис.2.

    

    Рис. 2. Теоретическая линия регрессии  и фактические значения.

    Определим среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср.

     Результаты расчетов для линейной зависимости приведены в таблице №3, для линейно-логарифмической – в таблице №4.

      Сравнивая полученные результаты, видно, что средняя ошибка аппроксимации для линейно-логарифмической зависимости больше, чем для линейной (48,35%>35,03%), что еще раз подтверждает правильность выбора модели. Тем не менее результат, полученный даже для линейной модели (35,03%) указывает на невысокое качество построенной модели и ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

8. Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

      Если предположить, что прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит 1,062 от среднего уровня , то есть X_{прогнозн}.= 6,8642*1,062=7,289, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_{прогнозн.} =-0,16569+3,015954*7,289=21,81995 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,25% процента ( .

      Рассчитаем интегральную ошибку  прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .

    В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

    Ошибка  положения регрессии составит: =

     =  = 0,0664 (млрд. руб.).

    Интегральная  ошибка прогноза составит: = =11,05272 (млрд. руб.).

    Предельная  ошибка прогноза, которая не будет  превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*11,05272 = 24,97 ≈ 25 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9  составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

    В данном случае полученная ошибка больше, чем среднее значение, поэтому  сложно говорить о какой-либо точности прогноза.

      Причиной небольшой точности  прогноза является повышенная  ошибка аппроксимации из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Республика Калмыкия с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

    Задача  №2.

      Проводится  анализ значений социально-экономических  показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.

Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.;

X₁ – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X₃ – Кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

      Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального  продукта.

      Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям  выявил наличие одной  территории (г. Санкт-Петербург) с аномальными  значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

      При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних  и среднеквадратических отклонений -σ:

N=9.

	Y	X1	X2	X3
Y	1	0,7677	0,8653	0,4237
X1	0,7677	1	0,8897	0,0157
X2	0,8653	0,8897	1	-0,0179
X3	0,4237	0,0157	-0,0179	1
Средняя	31,92	8,87	121,18	0,5683
σ	14,61	5,198	48,19	0,6942

 

Б) - коэффициентов  частной корреляции

	Y	X1	X2	X3
Y	1	-0,1462	0,8737	0,8791
X1	-0,1462	1	0,5562	0,1612
X2	0,8737	0,5562	1	-0,7842
X3	0,8791	0,1612	-0,7842	1

Задание:

1. По значениям  линейных коэффициентов парной  и частной корреляции выберите  неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните  расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По  значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a₁, a₂ и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

4. Оцените  тесноту множественной связи  с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи  - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).

5. Рассчитайте  прогнозное значение  результата, предполагая, что прогнозные значения  факторов составят 102,1 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы  оформите аналитической запиской. 

    Решение:

1. Анализируя, таблицу линейных коэффициентов парной корреляции, можно заметить, что валовой региональный продукт Y наиболее тесно связан со среднегодовой стоимостью основных фондов – X₂ ( ), немного меньше с инвестициями 2000 года в основной капитал – X₁ ( ) и менее всего связан с кредитами, предоставленными в 2000 году – X₃ ( ).Анализируя, таблицу коэффициентов частной корреляции, можно заметить, что валовой региональный продукт Y примерно одинаково тесно связан с X₂ и X₃ ( , ) и наименее тесно связан с X₁ ( ). Для выбора информативных факторов проведем расчет серии коэффициентов частной корреляции для трех возможных комбинаций факторных признаков. Пример расчета приведем только для одной пары факторных признаков, при этом остальные расчеты проведем аналогичным образом с подстановкой соответствующих каждой паре значений коэффициентов.

    

      

    Полученные  результаты позволяют отбросить пару факторов X₁ и X₂, поскольку они тесно связаны между собой, а связь X₁ с результатом незначительна. Выбрать между парами факторов X₂ и X₃ и X₁ и X₃ достаточно сложно, т.к. обе пары показывают как достаточно сильную связь с результатом, так и между собой. Руководствуясь требованиями МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия, можно было выбрать пару X₁ и X₃, т.к. они меньше связаны между собой, но пара X₂ и X₃ показывает большую связь с результатом. Для большей надежности проведем построение двухфакторной регрессионной модели для обеих пар признаков.

2. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае исходное уравнение приобретает вид: или . Выполним расчёт b-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

     ;

     ;

    Для второй пары факторов расчеты будем  проводить аналогичным образом, например:

    

    

    В результате получено уравнение в  стандартизованном масштабе:

     и

3. Используя полученные коэффициенты, рассчитаем параметры уравнения в естественной форме:

      

     .

    В конечном счёте, имеем уравнение: .

      

     .

    В конечном счёте, имеем уравнение: .

4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности.

     ;

     ;

5. Тесноту выявленной зависимости оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β - коэффициентов. В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

     .

    

     .

    

    По  полученным данным видно, что факторы  Х₂ и Х₃ теснее связаны с Y (0,97>0,87), они же описывают большей процент вариации валового регионального продукта ( 94% ). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать именно эту пару факторов.

6. Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .