Эконометрика

    Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.₁=k и d.f.₂=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

     .

    В нашем случае расчёт выглядит следующим образом:

     .

    Для принятия обоснованного решения  F_фактич. сравнивается с F_{табличн}., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.₁  = k) и остаточной (d.f.₂ = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.₁=k= 2 и d.f.₂=n-k-1 = 9-2-1=6 при α=0,05 F_табл = 4,74. В силу того, что F_фактич =48,5> F_табл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

7. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть и , получено на основе средней величины:

     .        .

    После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

     (млрд. руб.)

8. Аналитическая записка

• Полученные коэффициенты корреляции и детерминации , показывают, что выявлена достаточно тесная связь между Х₂, Х₃ и Y, кроме того они описывают 94%вариации валового регионального продукта.

• Уравнение, полученное в стандартизированном масштабе показывает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на одну сигму от своей средней валовой региональный продукт увеличится на 0,873 от своей сигмы , с увеличением кредитов на результат увеличится на 0,439 .
• Сравнивая b-коэффициенты, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае , , то есть увеличение валового регионального продукта происходит в основном под влиянием среднегодовой стоимости основных фондов в экономике, кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам оказывают влияние в меньшей степени.
• Уравнение, полученное в естественной форме показывает, что с увеличением среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1 млрд. руб. валовой региональные продукт увеличится на 0,265 млрд. руб., с увеличением кредитов, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 9,246 млрд. руб.

    Полученные  коэффициенты эластичности ; показывают, что с ростом среднегодовой стоимости основных фондов в экономике на 1% валовой региональный продукт увеличиться на 1, 005% и с ростом кредитов, предоставленных в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, на 1% валовой региональный продукт увеличится на 0, 165%. Таким образом регулирование валового регионального продукта через среднегодовую стоимость основных фондов в экономике будет более результативным, чем через кредиты.

• Полученной значение критерия Фишера позволяет сделать вывод о том, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 48,5 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.
• Выполненный прогноз показывает, что если среднегодовая стоимость основных фондов в экономике  возрастет до 123,7248 млрд. руб., а кредит, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам до 0,58023, тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастет на 2,46% от своего среднего уровня.

 

Задача №3.

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи  социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация  за 2000 год  по территориям Центрального федерального округа.

Y₁- среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y₂ – стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

X₁ - инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам;

X₃ – среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям  выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская  обл.) с аномальными  значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке  исходных данных получены следующие  значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних  квадратических отклонений -σ:

N=15.

Для проверки рабочей гипотезы №1.                           Для проверки рабочей гипотезы №2.

	Y1	X1	X2		Y2		X3
Y1	1	0,7823	0,7093	Y2	1	0,8474	0,7337
X1	0,7823	1	0,6107		0,8474	1	0,7061
X2	0,7093	0,6107	1	X3	0,7337	0,7061	1
Средняя	115,83	5,600	0,2701	Средняя	23,77	115,83	0,5697
	30,0303	2,4666	0,2036		7,2743	30,0303	0,1160

Задание:

1. Составьте  систему уравнений в соответствии  с выдвинутыми рабочими гипотезами.

2. Определите  вид уравнений и системы.

3. На  основе приведённых в условии  значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

• определите бета коэффициенты (b) и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;
• дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;
• рассчитайте параметры a₁, a₂ и a₀  уравнений множественной регрессии в естественной форме;
• с помощью коэффициентов парной корреляции  и b коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R²);
• оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.
3. Выводы оформите краткой аналитической запиской.

Решение:

1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначим через b , коэффициенты при экзогенных переменных - через a. Каждый коэффициент имеет двойную индексацию: первый индекс – номер уравнения, второй – индивидуальный номер признака. Тогда:

    

2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y₁, значения которой формируются в условиях данной системы., а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.
3. Выполним расчёт b-коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

    

        

    По  полученным результатам построено  уравнение в стандартизованном виде:

     

    Второе  уравнение можно построить на основе следующих результатов:

    

 

    Второе  уравнение в стандартизованной  форме имеет вид:  .

4. Расчёт параметров уравнения регрессии в естественной форме даёт следующие результаты:

    

    

= 115,83-6,7788*5,6 – 54,4661*0,2701 = 63,1577.

    По  полученным результатам построено  уравнение №1 в естественной форме:

    

.

    Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным  образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .

    Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

    

; ;

    

.

    По  полученным результатам построено  уравнение №2 в естественной форме: .

    Представим  результаты построения уравнений в  виде рекурсивной системы:

    

    Значения  коэффициентов регрессии каждого  из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого  из факторов на результат. Но для сравнительной  оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , ,   и .

5. Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.

    

.

    

.

6. Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей: