Исследование динамики развития потребительского рынка в России за 2003-2007 гг

 

   Временным рядом называют упорядоченную по времени последовательность наблюдений. Наблюдения во временной последовательности, как правило, зависимы, и во многом предопределены природой порождающего ряд процесса.

   Механизм  изменения временного ряда может  быть объяснён с помощью других переменных путём построения уравнения регрессии. Эта задача решается в рамках регрессионного анализа.

   В наиболее общем виде теоретико-вероятностную  схему временного ряда можно представить  как 

   Y_t=f(t)+e_t,     t=1, 2,…, T.

   Модель  временного ряда  содержит систематическую (детерминированную) f(t) и случайную e_t составляющие. Можно считать, что детерминированная составляющая отражает влияние основных факторов, она свободна от случайных воздействий и равна  математическому ожиданию Y_t, f(t) = My_t.. Случайная компонента образуется вследствие влияния большого числа факторов, каждый из которых оказывает незначительное влияние и не участвует в формировании систематической составляющей.

   В зависимости от того, в какой составляющей модели проявляется влияние временного фактора, выделяют три типа моделей  временных рядов:

   1. Если фактор времени в модели оказывает влияние только на детерминированную составляющую f(t). Для таких моделей целесообразно использовать трендовые модели.

   2. Если  фактор времени  в модели оказывает влияние только на случайную составляющую e_t. Для описания таких временных рядов применяются авторегрессионные модели, модели скользящего среднего, смешанную модель авторегрессии - скользящего среднего, конечные суммы тригонометрических функций и др.

   3. Если фактор времени  в модели оказывает влияние и на случайную, и на детерминированную составляющие. Тогда в зависимости от характера изменения детерминированной составляющей для описания f(t) могут быть применены регрессионные уравнения, трендовые модели, модели регулярных колебаний.

Построение  модели временного ряда

 

     Временной ряд имеет две основные  особенности, отличающие его от  случайной выборки. Во-первых, наблюдения  временного ряда не являются  взаимно-независимыми, и, в частности,  значение, которое мы получим  в один момент времени, может  существенно зависит от предыдущего наблюдения. Во-вторых, наблюдения временного ряда не образуют стационарной последовательности, это значит, что средняя и дисперсия зависят от номера наблюдений. Иначе говоря, при исследовании временных рядов существенное значение имеет тот порядок, в котором проводились наблюдения над исследуемой величиной.

Аналитическое выравнивание временных  рядов

    Трендовые модели⁵

   Сглаживание по аналитическим формулам позволяет  представить долгосрочную тенденцию  развития временных рядов в виде некоторой функции времени. Трендовая модель временного ряда 

   Возмущения e_t для любых моментов времени t некоррелированы, имеют нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию.

   Детерминированная составляющая представляет собой некоторую  функцию времени f(t). Если f(t) является линейной, то задача сводится к оценке параметров с помощью классического метода наименьших квадратов. Однако тенденция развития чаще представляет собой  некоторую достаточно гладкую кривую, тогда в качестве f(t) используют нелинейные функции, которые называют кривыми роста. Выбор типа кривой можно проводить визуально на основе графического представления временных данных или применить метод последовательных разностей для определения степени выравнивающего полинома.

Модели  автокорреляции и авторегрессии⁶

   Автокорреляция  уровней временного ряда имеет место, когда члены ряда статистически  зависимы друг от друга.

   Оценить зависимость между уровнями временного ряда можно с помощью коэффициента автокорреляции:    

   Величину  запаздывания уt относительно уt-t называют временным лагом. Величина временного лага не должна превышать одной четвертой объема выборки, т.е. в моем случаи t =15.

   Совокупность  значений коэффициента автокорреляции для t=1,...,р называют корреляционной функцией, ее графическая интерпретация называется коррелограммой. Анализ коррелограмм позволяет сделать некоторые заключения о внутренней структуре временного ряда.

   Автокорреляция искажает характер и тесноту зависимости между изучаемыми показателями. Поэтому коррелировать уровни рядов динамики можно лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. Следовательно, в случае наличия автокорреляции между уровнями ряда последняя должна быть устранена. Существуют различные методы ее устранения. Наиболее применяемые из этих методов:

   1) метод последовательных или конечных  разностей. 

   2) метод коррелирования отклонений  уровней ряда от основной тенденции.  Методически наиболее правомерным методом коррелирования временных рядов является метод измерения тесноты связи между отклонениями эмпирических значений уровней от выровненных по тренду.

Многомерные временные ряды. Лаговая  корреляция и лаговая  регрессия⁷

   Основная  особенность коррелирования временных показателей связана с автокорреляцией  уровней ряда. Присутствие автокорреляции искажает картину взаимосвязи признаков.

   Один  из способов устранения автокорреляции заключается в удалении тренда из временного ряда. В этом случае коррелируют не сами уровни рядов, а их отклонения от трендов.  Тренд может быть  выделен путем аналитического выравнивания или одним из методов сглаживания. После удаления тренда необходимо убедиться в отсутствии автокорреляции в отклонениях. Формула коэффициента корреляции по отклонениям от трендов имеет вид

   

   где х_t, Y_t  - фактические значения показателей; , -детерминированная составляющая  трендовой модели; - возмущения трендовой модели.

   Второй  способ удаления автокорреляции из временных  рядов  -  вычисление  последовательных разностей. Пусть х_t, Y_t  временные ряды, а - первые разности (от последующего наблюдения отнимаем предыдущее с соответствующим шагом t=2,3,…T) для них:

   Коэффициент корреляции последовательных разностей  определяют как:

   

   Корреляция  последовательных разностей более  эффективна для рядов, включающих краткосрочные  корреляции уровней. Вычисление последовательных разностей позволяет освободить временные ряды от автокорреляции.

   Лаговая корреляция рассматривается в ситуациях, связанных с запаздыванием, когда влияние одного показателя на другой проявляется с некоторым интервалом времени. Для лаговых зависимостей используется стандартная техника корреляционного и регрессионного анализа, но при условии, что временные ряды сдвинуты относительно друг друга на величину τ. При этом число взаимосвязанных наблюдений уменьшится на τ. Коэффициент лаговой корреляции рассчитывается по формуле:

   

   Величина  лага находится по формуле  , где Т – количество наблюдений.

                                            Проверка модели на адекватность

   Оценить качество полученной модели можно несколькими способами. Я выделила 4 наиболее значимых:

• Коэффициент детерминации
• Критерий Фишера
• Критерий Стьюдента
• Анализ остатков

   Разберем  каждый метод подробнее:

    Коэффициент детерминации

   Одним из показателей характеристики качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации  

   Коэффициент детерминации показывает долю объясненной  уравнением регрессии дисперсии  зависимой переменной. Он изменяется от 0 до 1. Высокое значение R² говорит о том, что включенные в уравнение регрессии факторы в основном объясняют вариацию значений зависимого признака. При невысоком значении R² можно сделать вывод о том, что факторы, оказывающие существенное влияние на результирующий показатель в уравнение не вошли.

    Проверка  значимости уравнения  регрессии c помощью критерия Фишера

   Целью данной процедуры является установление статистически значимой регрессионной  зависимости между результирующей и объясняющими переменными. Нулевая  процедура проверки значимости состоит  в том, что уравнение регрессии  незначимо, и следовательно, общая и остаточная дисперсии зависимой переменной равны:

   

   Альтернативная  гипотеза утверждает, что уравнение  значимо, то есть общая дисперсия  больше остаточной:

   

   Для проверки гипотезы в качестве критерия используется статистика, имеющая распределение Фишера-Снедекора. Критерий строится следующим образом:

      где n - объем выборки, p - количество факторов в уравнении регрессии.

   Расчетное значение F-критерия сравнивают с квантилью распределения Фишера F_γ1γ2 α соответствующей уровню значимости α и числу степеней свободы числителя γ₁ = n -1, и знаменателя γ₂ = n - p -1.

   Если F_расч> F_табл, то общая дисперсия существенно превышает остаточную, и нулевая гипотеза отвергается. Можно сделать вывод, что уравнение регрессии является значимым с вероятностью 1-α. И, наоборот, если расчетное значение       F-статистики меньше критического, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, и делаем вывод о не значимости уравнения; результаты, полученные на основе данного уравнения, будут ненадежными.

    Проверка  значимости параметров уравнения c помощью критерия Стьюдента

   Процедура проверки значимости параметров позволяет  установить существенность влияния  отдельных факторов на зависимую  переменную. Нулевая гипотеза относительно параметров модели гласит о том, что параметр регрессии βj не значимо отличается от нуля

   

   альтернативная  ей гипотеза утверждает, что βj значимо  отличается от нуля

   

   Проверка  значимости параметров проводится с использованием критерия Стьюдента:   где t - расчетная величина, если верна нулевая гипотеза, то статистка t имеет распределение Стьюдента;  - абсолютное значение оценки параметра; - стандартная ошибка параметра.

   Расчетное значение t-статистики сравнивают с  квантилью t-распределения tγα, которая  может быть найдена по таблицам распределения  Стьюдента. Параметры распределения: γ- число степеней свободы, γ=n-р-1; p - число факторов в уравнении регрессии; α - уровень значимости.

   Если  расчетное значение t больше критического, то параметр β_j  значим. Следовательно, фактор  x_i, оказывает существенное влияние на зависимую переменную, в противном случае, если t< tγα, то влияние фактора не существенно и он может быть исключен из уравнения регрессии.

    Анализ  остатков

   Для анализа остатков используем условия  Гаусса-Маркова. Прежде чем их использовать необходимо проверить остатки на нормальный закон распределения с помощью гистограммы и графика на нормальной вероятностной бумаге, или любого иного метода. Можно анализировать выполнение условий Гаусса-Маркова, только если остатки близки к нормальному закону распределения.

    Существует 5 условий:

1..Остатки  должны быть нормально распределены.