Оцінка параметрів неоднорідного вхідного потоку у телекомунікаційних мережах

На додаток до статистичної подібності при масштабуванні самоподібні  процеси можна виявити за декількома рівноцінними ознаками.

По-перше, вони мають гіперболічно затухаючу коваріаційну функцію виду

 

де L(t) — функція, що повільно змінюється на нескінченності (тобто для усіх

х > 0 ). Отже, коваріаційна функція є непідсумовуваною, і ряд, утворений послідовними значеннями коваріаційної функції, розходиться:

 

Ця нескінченна сума є ще одним  визначенням довготривалої залежності (ДВЗ), тому майже усі самоподібні процеси є довготривало залежними. Наслідки цього дуже істотні, оскільки кумулятивний ефект в широкому діапазоні затримок може значно відрізнятися від того, який спостерігається в короткочасно залежном КВЗ (SRD-Short Range Dependence) процесі(наприклад, пуасоновський, марківський або авторегресійний(AR- AutoRegressive) процес).

Хоча у минулому аналіз телетрафіку  в основному базувався на КВЗ  моделях, наслідки ДВЗ можуть бути дуже серйозними. Оскільки ДВЗ є причиною тривалих пульсацій, які перевищують  середні рівні трафіку, ця властивість призводить до переповнювання буферів і викликає втрати і/або затримки.

По-друге, вибіркова дисперсія агрегованих процесів затухає повільніше, ніж величина, зворотна розміру вибірки. Якщо ввести в розгляд нову тимчасову послідовність , отриману усереднюванням первинної послідовності по послідовних блоках розміру m, що не перетинаються, тоді для самоподібних процесів виявиться характерним повільніше загасання дисперсії згідно із законом

 

тоді  як для традиційних(несамоподібних) стаціонарних випадкових процесів , тобто затухає обернено пропорційно до довжини вибірки. Це говорить про те, що статистичні характеристики вибірки, такі як середнє значення і дисперсія, сходитимуться дуже повільно, особливо при H→1. Ця властивість відбивається на усіх заходах самоподібних процесів і буде детальніше розглянуто при оцінці статистичних характеристик.

По-третє, якщо розглядати самоподібні процеси в частотній області, то явище довготривалої залежності призводить до степенного характеру спектральної щільності поблизу нуля:

 

де 0 < γ < 1; L₂ — що повільно змінюється в 0 і   — спектральна щільність. Отже, з позиції спектрального аналізу довготривала залежність має на увазі, що , тобто спектральна щільність прагне до  +∞, коли частота ω наближається до 0 (подібне явище надалі назване 1/f — шум). І навпаки, процеси з короткочасною залежністю характеризуються спектральною щільністю, що має позитивне і кінцеве значення при ω = 0.

Співвідношення (1.37), (1.39) і (1.40) пов'язані  з показником H, який називається показником Херста. Показник Херста самоподібного процесу лежить між 0,5 і 1. При наближенні H до 1 ряд стає усе більш самоподібним, проявляючи себе у все повільніше затухаючій коваріації, як це видно з (1.37).

 

3. Оцінка показника Херста

На практиці перевірка на самоподібність і оцінка показника Херста є складним завданням. Проблема в тому, що в  реальних умовах завжди оперують з  кінцевими наборами даних, тому неможливо  перевірити, чи є траса трафіку  самоподібною. Тобто необхідно досліджувати різні властивості самоподібності в реальному виміряному трафіку.

Перша проблема, з якою зазвичай стикаються, полягає в тому, що навіть якщо підтверджуються деякі перелічені вище властивості самоподібності, не можна відразу зробити висновок, що проаналізовані дані мають самоподібну структуру, оскільки існують інші дії, які можуть призводити до таких же властивостей (наприклад, присутність нестаціонарності). І оскільки аналіз грунтувався тільки на тих тестах, які можуть ввести в оману, розумно говорити про самоподібну структуру, в заданому масштабному діапазоні для заданого набору даних.

Друга проблема полягає в тому, що оцінка показника Херста залежить від багатьох чинників (наприклад, методики оцінки, розміру вибірки, масштабу часу, кореляційної структури і так далі), що затруднює знаходження найдоречнішої для поставленого завдання "оцінки H".

Третя проблема при використанні показника Херста в практичних цілях (наприклад, визначення розмірів буферів) полягає в тому, що інтерпретація показника H (яка очевидна для теоретичних самоподібних процесів) не очевидна для реального трафіку, який може ніколи не розглядатися як теоретично самоподібний процес. На сьогодні відомі декілька методів оцінки самоподібності в тимчасових рядах [2, 8-10]. Найпопулярніші методи: аналіз R/S-статистики; аналіз графіку зміни дисперсії; аналіз, грунтований на специфічних властивостях S(ω); оцінка Віттла; аналіз, грунтований на вейвлет-функціях.

Теоретична основа для багатьох з цих статистичних інструментальних засобів базується на центральних  або нецентральних граничних  теоремах для випадкових послідовностей з довготривалою залежністю. Докази вимагають розуміння структури моментів нелінійних функцій випадкових змінних гаусів і лінійних процесів.

 

1. Методи оцінки показника Херста в часовій області

Аналіз нормованого розмаху. Грунтуючись на дослідженні різних явищ (наприклад, зміни рівня води в річці), Херст розробив нормовану безрозмірну міру, здатну описати мінливість. Цей захід він назвав нормованим розмахом (R/S). Для заданого набору спостережень з вибірковим середнім вводиться поняття розмаху

 

де

 

тобто різниця між максимальним и мінімальним відхиленням.

Ця характеристика відрізняється  від розмаху тимчасової послідовності  випадкової величини X_j який дорівнює

 

Замість нього вибрана величина, що враховує накопичення і характеризуюча мінливість величини X відносно середнього значення. Для опису мінливості зручніша нормована безрозмірна характеристика

 

(1.69)

Херст назвав це відношення нормованим розмахом і  показав, що для багатьох природних  явищ справедливе емпіричне співвідношення

 

де с — позитивна кінцева константа, не залежна від п.

Прологарифмував обидві частини (1.70), отримаємо

 

Таким чином, параметр Н можна оцінити, зобразив графік , і, використовуючи отримані точки, підібрати по методу найменших квадратів пряму лінію з нахилом H.

R/S-метод не занадто точний, оскільки дає оцінку тільки рівня самоподібності в часовому ряду. Тому цей метод може використовуватися тільки для перевірки, чи є часовий ряд самоподібним і, якщо являється, отримати грубу оцінку H (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Графік R/S-статистики для Ethernet-трафіка

 

Цей результат може бути використаний, щоб оцінити показник Херста по заданому ряду спостережень. Проте, якщо спостереження  беруться з короткочасно залежного процесу, тоді показано, що

 

де d — кінцева додатня константа, не залежна від n. Цей випадок може розглядатися як характеристика процесу, що не має властивості самоподібності.

Графік зміни дисперсії. Як було показано вище для самоподібного процесу, зв'язок між дисперсією об'єднаного процесу і розміром блоку m формулюється як

 

де а — деяка кінцева додатня константа. Прологарифмувавши обидві частини (1.73), отримаємо залежність

 

Отже, можна отримати оцінку β, вичисливши для різних значень m і, відображаючи результати графічно від , провести через отримані точки пряму лінію по методу найменших квадратів. Оцінку для β визначимо як від'ємний нахил прямої лінії, підібраної по методу найменших квадратів. Оскільки відомо, що H пов'язаний з β через співвідношення H=1-β/2, це дає оцінку для H, рівну .

Рисунок 1.2 - Графік зміни дисперсії для даних Ethernet-трафіку

Рисунок 1.3 - Характеристики самоподібності трафіку: IDC-трафік

 

Результат використання цього методу для виміряної траси показаний на рисунок 1.2, де була вибрана логарифмічна шкала значень m, і відображався на фоні .

Як і у разі R/S-аналізу, метод  зміни дисперсії — лише евристичний метод. Обидва методи використовуються надалі при різних обмеженнях; наприклад, вони можуть бути дійсно обгрунтовані при малій кількості статистичних даних, доступних спостереженню з окремої вибірки самоподібного процесу. Отже, зміна дисперсії може використовуватися тільки для того, щоб перевірити, чи є часовий ряд самоподібним, і якщо являється, то отримати грубу оцінку H.

Індекс дисперсії для  відліків. Мірою опису мінливості трафіку на різних масштабах часу зазвичай є індекс дисперсії для відліків IDC.

 

Самоподібні процеси дають монотонно  зростаючий IDC виду m^-1t^2H-1. Накресливши графік від , отримуємо пряму лінію з приблизним нахилом 2H-1.

 

2. Методи оцінки показника Херста в частотній області

Оцінка Віттла. Тоді як графіки зміни дисперсії і R/S-графіки дуже корисні для виявлення самоподібності (здебільшого в евристичній манері), відсутність яких-небудь результатів для граничних законів відповідних статистичних характеристик робить їх непридатними, коли потрібен тонший аналіз даних (наприклад, довірчі інтервали для степені самоподібності H, критерій вибору моделі або критерії згоди). Тонший аналіз даних можливий, якщо використати оцінки максимальної правдоподібності (ОМП) і пов'язані з ними методи, що використовують періодограми.

Дамо визначення ОМП. Нехай задана спектральна щільність процеса X, де ; Н =  (α +1)/2 — показник самоподібності (див. Визначення 1.7); — параметры, що визначають КВЗ-структуру процесу. У якості масштабного коефіцієнта використовуємо дисперсію інновації ε в нескінченному AR уявленні процесу, тобто , де . Це означає, що має місце співвідношення

 

Оцінка Віттла для η вибирається з таким розрахунком, щоб значення наступного виразу було мінімальним (рисунок 1.4):

Рисунок 1.4 - Графік мінімізації

 

 

де

 

- періодограма, а оцінка знаходиться згідно

 

Тоді можна сказати, що є нормально розподіленою величиною, якщо може бути записаний у вигляді нескінченного процесу ковзаючого середнього. У разі гаусівського процесу асимптотичні розподіли оцінки і ОМП співпадають.

У цьому контексті з позиції  стійкості, як правило, виникають дві  проблеми: перша із-за відхилень  реального розподілу від гаусівського; друга - із-за відмінностей між реальною і передбачуваною моделями спектру. Для подолання першої проблеми можна  перетворити дані так, щоб приблизно  отримати необхідний маргінальний (нормальний) розподіл. До вирішення другої проблеми існує декілька підходів, у тому числі визначення оцінки H з ординат періодограми тільки на низьких частотах або ж обмеження періодограми високих частотах. За наявності великих наборів даних альтернативний і простіший метод для вирішення другої проблеми полягає у використанні методики об'єднання. Якщо гаусівський процес, то об'єднані (агреговані) процеси X^(m), m≥1, визначаються як

 

і сходяться (по розподілу) до фрактального гаусівського шуму  при m→∞ (L(-) — функція, що повільно змінюється, на нескінченності, див. (1.37)). Те ж саме справедливо, якщо , где — гаусівський процес з параметрами і . Отже, для досить великих т фрактальний гаусівський шум є хорошою моделлю для X^(m) і для нього можна застосовувати ОМП.

Поєднання приблизного ОМП підходу  Віттла і методики об'єднання дає  процедуру для отримання довірчих інтервалів показника самоподібності H.

Асимптотично незміщені оцінки, що отримуються методом максимальної правдоподібності, показують в цілому хорошу статистичну ефективність; їх недолік в тому, що вони є параметричними оцінками, які вимагають, щоб аналітична форма спектральної щільності була відома заздалегідь. Це створює великі труднощі їх використання для великих  наборів даних із-за високої обчислювальної складності. Крім того, якщо передбачувана  модель спектральної щільності є  некоректною, тоді і оцінка теж буде необ'єктивною. Із-за такого ризику оцінка Віттла на практиці дає не завжди стійкі результати.

Відмітимо, що при використанні оцінки Віттла передбачається, що процес насправді  самоподібний. Це призводить до оцінки показника Херста з певною упевненістю. Щоб визначити, чи дійсно ряд має  самоподібну структуру, додатково  використовуються такі методи, як R/S-статистика, графік зміни дисперсії і тому подібне.

Графічний метод оцінки спектральної щільності (періодограмний аналіз). Оцінка, грунтована на графіці спектральної щільності, складає суть методу, який забезпечує велику статистичну суворість, ніж оцінки, грунтовані на об'єднанні. Проте ціною існування параметричного методу є вимога, щоб модель процесу, що параметризується, була відома заздалегідь. Періодограма (чи "функція інтенсивності") I_N(ω) оцінює спектральну щільність дискретного стохастичного процесу X_t і може бути оцінена поруч (1.77) на інтервалі часу N:

 

де {X_k}—  часовий ряд; N — довжина часового ряду.

Враховуючи, що самоподібність впливає  на характер спектру S(ω) при ω→0, повинен виходити графік залежності спектральної щільності виду

 

Накресливши графік log[I_N(ω)] від logω (тільки для низьких частот), підбирають дотичну пряму лінію до кривої. Нахил лінії приблизно дорівнюватиме 1-2H. На практиці для обчислення оцінки повинні використовуватися тільки нижні 10 % частот, оскільки описана вище поведінка справедлива тільки для області частот, близьких до нуля [137].

Приклад оцінки показника Херста для  реальних даних за допомогою періодограмного  методу показаний на рисунку 1.5.