Оцінка параметрів неоднорідного вхідного потоку у телекомунікаційних мережах

                                            (1.7)

Визначення 1.1. Спектром узагальненої фрактальної розмірності Реньї , що характеризують розподіл точок в області £, називається сукупність величин

                                                    (1.8а)

де

                                        (1.8б)

Якщо , тобто не залежить від q, то ця множина точок є звичайним, регулярним фракталом, який характеризується усього лише однією величиною — фрактальною розмірністю . Напротив, якщо функція якось змінюється з q, то дана множина точок є мультифракталом.

Таким чином, мультифрактал в загальному випадку характеризується деякою нелінійною функцією , що визначає поведінку статистичної суми при :

 

Розглянемо, як поводиться узагальнена  статистична сума у разі звичайного регулярного фрактала з фрактальною  розмірністю . В цьому випадку в усіх зайнятих ячійках міститься однакова кількість точок , тобто фрактал є однорідним. Тоді очевидно, що відносні населеності усіх ячійок теж однакові і узагальнена статистична сума набирає вигляду

                                       (1.10)

Врахуємо тепер, що згідно з визначенням  фрактальної розмірності число зайнятих ячійок при досить малому ε поводиться наступним образом:

 

Підставляючи (1.11) в (1.10) і порівнюючи з (1.9), приходимо до висновку, що у разі звичайного фрактала функція

 

тобто є  лінійною. Тоді усі і дійсно не залежать від q. Для фрактала, уся узагальнена фрактальна розмірність якого співпадають, часто використовується термін «монофрактал».

Якщо розподіл точок по ячійкам  неоднаковий, то фрактал є неоднорідним, тобто представляє з себе мультифрактал, і для його характеристики потрібний цілий спектр узагальненої фрактальної розмірності , число яких в загальному випадку нескінченно.

Для характеристики розподілу точок  необхідно знати не лише функцію , але і її похідну, що безпосередньо обчислюється з виразів (1.8б) і (1.7) :

 

Ця похідна має важливий фізичний сенс. Якщо вона не залишається постійною  і змінюється з q, то це означає, що ми маємо справу з мультифракталом.

 

3. Фрактальна розмірність  і інформаційна  розмірність

З'ясуємо, який фізичний сенс має узагальнена  фрактальна розмірність  для деяких значень q. Так, при q=0 з вираження(1.7) виходить, що .

З іншого боку, згідно з формулами (1.9) и (1.8а)

 

Зіставляючи ці дві рівності, приходимо  до співвідношення . Це означає, що величина є звичайною хаусдорфовою розмірністю множини £, яка є найбільш грубою характеристикою мультифрактала і не несе інформації про його статистичні властивості.

З'ясуємо тепер фізичний сенс величини . Можна показати, що

 

З точністю до знаку сума в цій  формулі є ентропією фрактальної  множини S(ε):

 

В результаті узагальнена фрактальна розмірність пов'язана з ентропією S(ε) співвідношенням

 

Грунтуючись на подібних міркуваннях, Клод Шеннон узагальнив поняття ентропії S на абстрактні задачі теорії передачі і обробки інформації. Для цих задач ентропія стала мірою кількості інформації, необхідної для визначення системи в деякому стані i. Іншими словами, вона є мірою нашого незнання про систему. Повертаючись до початкової задачі про розподіл точок на фрактальній множині £, можна сказати, що оскільки

 

величина характеризує інформацію, необхідну для визначення місця розташування точки в деякій ячійці. У зв'язку з цим узагальнену фрактальну розмірність часто називають інформаційною розмірністю. Вона показує, як інформація, необхідна для визначення місця розташування точки, зростає при наближенні розміру ячійки ε до нуля.

Свойства фунцйії . Як ми вже говорили, мультифрактал характеризується неоднорідним розподілом точок по ячійкам. В той же час, якби точки, що становлять мультифрактал, були б розподілені по ньому рівномірно по усім N(ε) ячійкам з ймовірністю , ентропія такого розподілу була б максимальна і рівна

 

Іншими словами, вона була б більше фактичної величини ентропії мультифрактала, розрахованої для реального неоднорідного  розподілу точок, . Звідси слідує важливий висновок, що інформаційна розмірність мультифрактала завжди менше або дорівнює його хаусдорфовой розмірності Цю нерівність можна узагальнити для довільного показника міри q і довести, що узагальнена фрактальна розмірність  завжди монотонно спадає(чи в крайньому випадку залишається постійною) із зростанням q: при . Знак рівності має місце, наприклад, для однорідного фрактала. Максимального значення величина досягає при q→-∞, а мінімального   при q→∞.

Спектр фрактальних розмірностей. Таким чином, вище сформульовано поняття мультифрактала — об'єкту, що є неоднорідним фракталом. Для його опису введений набір узагальненої фрактальної розмірності , де q набуває будь-яких значень в інтервалі . Проте величини не являються, строго кажучи, фрактальною розмірністю в загальноприйнятому розумінні цього слова. З цієї причини вони і називаються узагальненою розмірністю.

Тому часто разом з ними для  характеристики мультифрактальної  множини використовують функцію  мультифрактального спектру f(α) (спектр сингулярностей мультифрактала), до якої більше підходить термін "фрактальна розмірність". Покажемо, що величина f(α) фактично дорівнює хаусдорфовій розмірності деякої однорідної фрактальної підмножини з початкової множини £, яке дає домінуючий вклад в статистичну суму при заданій величині q.

Однією з основних характеристик  мультифрактала є набір ймовірностей p_i, що показують відносну заселеність ячійок ε, якими можна покрити досліджувану множину. Чим менше розмір ячійки, тим менше величина її заселеності. Для самоподібних множин залежність p_i від розміру ячійки ε має степенний характер:

 

де α_i , є деяким показником степені(різний, взагалі кажучи, для різних ячійок i). Відомо, що для регулярного(однорідного) фрактала усі показники степені α_i однакові і дорівнюють фрактальній розмірності D_f :

 

В цьому  випадку статистична сума (1.7) має вигляд

 

Тому і усі узагальнені фрактальні розмірності в цьому випадку співпадають і не залежать від q.

Проте для такого складнішого об'єкту, як мультифрактал, внаслідок його неоднорідності, ймовірність заповнення ячійок p_i в загальному випадку неоднакова і показник степені α_i для різних ячійок може набувати різних значень. У разі монофрактала, для якого усі α_i однакові(і дорівнюють фрактальній розмірності ), число N(ε), очевидно, степенним чином залежить від розміру ячійки ε. Так що . Показник степені в цьому співвідношенні визначається фрактальною розмірністю множини .

Для мультифрактала це не так, і різні  значення α_i зустрічаються з ймовірністю,  що характеризується не однією і тією ж величиною , а різними(залежно від α) значеннями показника степені f(α),

 

Таким чином, фізичний сенс функції f(α) полягає в тому, що вона є хаусдорфовою розмірністю деякої однорідної фрактальної підмножини £_α з початкової множини £, що характеризується однаковими ймовірностями заповнення ячійок . Оскільки фрактальна розмірність підмножини очевидно завжди менше або дорівнює фрактальній розмірності початкової множини , має місце важлива нерівність для функції f(α):

 

В результаті приходимо до висновку, що набором різних значень функції f(α) (при різних α) є спектр фрактальних розмірностей однорідних підмножин £_α  початкової множини £, кожне з яких має своє власне значення фрактальної розмірності f(α).

Оскільки будь-якій підмножині належить лише частина від загального числа  ячійок N(ε), на які розбита початкова множина £, умова нормування ймовірностей , очевидно, не виконується при підсумовуванні тільки по цій підмножині. Сума цієї ймовірності виявляється менше одиниці. Тому і самі ймовірності з одним і тим же значенням α_i, очевидно, менше(чи в крайньому випадку одного порядку), ніж величина , яка обернено пропорційна до числа наявних ячійок, що покривають цю підмножину(нагадаємо, що у разі монофрактала ). В результаті приходимо до наступної важливої нерівності для функції f(α). А саме, при усіх значеннях α

 

Знак  рівності має місце, наприклад, для  повністю однорідного фрактала, де f(α)= α=.

 

2. Самоподібні процеси

 

1. Визначення і властивості самоподібних процесів

Розглянемо дискретний в часі випадковий процес або часовий ряд X(t), t, где X(t) () інтерпретується як об'єм трафіку (вимірюваний в пакетах, байтах або бітах) до моменту часу t.

Визначення 1.2. Будемо вважати, що дійсно значний процес має стаціонарні прирости, якщо

 

 Тут позначення = означає рівність в скінченномірних розподілах.

Послідовність приростів для при дискретному часі можна визначити як . Для цілей трафикового моделювання вважатимемо процес Х(t) "стаціонарним" в широкому сенсі, накладаючи обмеження, що ковариационная функція — є інваріантною відносно зрушення, тобто для будь-яких . Припустимо, що перші два моменти існують і кінцеві для будь-яких t. Тут М(-) — операція усереднювання; m — початковий момент (математичне очікування); σ² — дисперсія процесу X(t). Приймемо для зручності m = 0. Оскільки за умови стаціонарності , позначимо коваріацію як R(k), а коефіцієнт кориляції .

Визначення 1.3. [2] Дійснозначний процес є самоподібним з показником H>0 (H-ss), якщо для усіх а > 0 скінченномірні розподіли для   ідентичні скінченномірним розподілам ;  тобто, якщо для будь-яких і будь-яких a>0

 

Коротше рівняння (1.27) можна записати у виді

 

Формула (1.27) свідчить, що зміна тимчасового  масштабу еквівалентна зміні просторового масштабу станів. Тому типові реалізації самоподібного процесу візуально схожі незалежно від масштаба часу, на якому вони розглядаються. Це не означає, що процес повторюється в точності, швидше спостерігається схожість статистичних властивостей через те, що статистичні характеристики при масштабуванні не змінюються [2]. Параметр H, що дістав назву "показник Херста", має надзвичайно важливе значення в теорії самоподібних процесів, оскільки є індикатором самоподібності випадкового процеса, характеризує властивість довготривалої залежності.

Самоподібні процеси з показником самоподібності H отримали в літературі спеціальне позначення H-ss. Невироджений самоподібний H-ss процес не може бути стаціонарним. Проте існує важливий зв'язок між самоподібними і стаціонарними процесами.

Теорема 1.1. [2] Якщо є Н-ss, тоді

 

є стаціонарним.  І навпаки, якщо є стаціонарним, тоді

 

є Н-ss.

Теорема 1.1 показує, що існує безліч різних самоподібних процесів. З точки  зору використання на практиці цікаві ті, що мають стаціонарні прирости, оскільки вони призводять до стаціонарних послідовностей з особливими властивостями.

Процес H-ss (Н-Self-Similar), що має стаціонарні прирости, отримав спеціальне позначення Н-sssi (Self-similar process with Self-similarity parameter H with Stationary Increments).

Визначення 1.4. [2] Процес називається Н-sssi, якщо він є самоподібним з показником Н і має стаціонарні прирости.

Лема 1.1. [2]. Допустимо, що є (невиродженим) процесом Н-sssi з нескінченною дисперсією. Тоді 0<H≤1, X(0)=0 майже завжди і коваріація визначається із співвідношення

 

Якщо X(t) являється (невиродженим) Н-sssi процесом з кінцевою дисперсією, тоді 0 < Н < 1. При моделюванні трафіку інтерес представляє діапазон 0,5 < Н < 1, оскільки Н-sssi процес X(t) з H < 0 не можливо виміряти і представляє патологічні випадки, тоді як для випадку    Н > 1 автокореляція процесу приростів не існує. Діапазон 0 < H < 0,5 можна виключити з розгляду на практиці, оскільки в цьому випадку процес приростів являється КВЗ. Для практичних цілей важливий лише діапазон 0,5 < H < 1. У цьому діапазоні нормована кореляційна функція (коефіцієнт кореляції) процесу приростів Х(t)

 

має наступний  вид:

 

Агрегований процес. Нехай стаціонарний процес з кореляційною функцією R(k). Визначимо m-агрегований часовий ряд усереднюючи початковий ряд по блоках розміру m, що не перекриваються, замінюючи кожен блок його середнім значенням, тобто

 

чи в  компактнішому виді

 

і позначимо кореляційну функцію, що відповідає йому, як .

Визначення 1.5. Дискретний, випадковий процес є строго самоподібним в широкому сенсі(exactly second-order self-similar) з показником самоподібності H (0,5<H<1), якщо

 

для будь-яких k≥1. X(t) є асимптотично самоподібним в широкому сенсі(second-order asymptotical self-similarity-H-sssa), якщо

 

Можна перевірити, що формула (1.36) має на увазі для будь-яких m≥ 1. Тому самоподібність в широкому сенсі означає, що коваріаційна структура — точна умова (1.35) або приблизна (менш строга) умова (1.36) зберігається при агрегації тимчасового ряду.

Вид не випадковий і припускає додаткову структуру (довготривалу залежність), до якої повернемося пізніше. Самоподібність другого порядку — це основна структура для моделювання мережевого трафіку.

Є зв'язок між строго самоподібним в широкому сенсі процесом і процесом, самоподібним у вузькому сенсі.

Визначення 1.6. Процес X називається самоподібним у вузькому сенсі (strictly self-similarity) з параметром Н = 1-β/2, 0 < β < 1, якщо , де = означає рівність скінченномірних розподілів;   — усереднений по блоках довжини т процес X, компоненти якого визначаються рівністю

 

Зв'язок між процесом строго самоподібним в широкому сенсі і процесом, самоподібним у вузькому сенсі аналогічна зв'язку між процесами, стаціонарними в  широкому і вузькому сенсі.