Частотно-регулируемый электропривод магистрального насоса головной нефтеперекачивающей станции

4   Математическая модель синхронного электропривода

 

При изучении установившихся симметричных режимов  рассматривается не вся машина в  целом, а лишь процесс в одной  фазе при действии результирующего  магнитного поля, создаваемого всеми  фазами. Этот прием обычен и в  традиционном курсе электрических  машин, когда рассматриваются схемы  замещения и строятся векторные  диаграммы для одной фазы преобразователей.

Если  число фаз машины m равно двум или больше двух, то токи в фазах создают вращающиеся магнитные поля. При числе фаз m=2 число электрических контуров машины меньше, чем при числе фаз m>2, и следовательно, удобно воспользоваться моделью двигателя, где трехфазная обмотка статора заменена двумя, неподвижными относительно вращающейся системы координат d-q.

В этом случае вектор потокосцеплений определяется составляющими (проекциями) на взаимно перпендикулярные оси фаз эквивалентной двухфазной машины. Вектор, изображающий геометрическую сумму косинусоидальных функций (или синусоидальных) с одинаковым периодом, называется изображающим вектором. Имея изображающий вектор потокосцеплений статора , можно говорить об эквивалентных фазах двухфазной машины и . Как правило, в качестве оси одной из фаз эквивалентной машины принимается ось одной из фаз реальной машины.

В многофазных  машинах при преобразованиях  сохраняются постоянными полная мощность или мощность каждой фазы. В классической теории при анализе, например, асинхронных машин принято  рассматривать только одну фазу. Это  может быть сделано и в математической модели. Поэтому удобно сохранять  мощность каждой фазы инвариантной. Однако, для тех случаев, когда в уравнения  входят моменты инерции и вращающие  моменты, относящиеся ко всей машине, целесообразно сохранить инвариантной мощность всей машины.

При преобразовании должны быть инвариантными:

- МДС фазы обмотки; потоки и потокосцепления ;

- число полюсов и синхронная частота вращения;

- потери;

- момент;

- электромагнитная мощность, мощность на валу и другие энергетические показатели.

Рассмотрим  пространственные трехфазную и двухфазную обмотки

(рисунок  4.1, 4.2)

Рисунок 4.1 – Трехфазная схема замещения обмоток двигателя

Рисунок 4.2 – Двухфазная схема замещения обмоток двигателя

Симметричная  система токов трехфазной обмотки

 

                                                                                                                             _(4.1)

создает потокосцепления взаимной индукции трех фаз, которые могут быть изображены в виде векторов , , в направлениях осей фаз.

При замене трехфазной машины эквивалентной двухфазной необходимо, чтобы две фазы a и b создавали то же результирующее потокосцепление взаимоиндукции, что и действительная трехфазная машина.

Токи  в обмотках a и b двухфазной машины, создающие вращающееся с постоянной скоростью магнитное поле с постоянной амплитудой:

 

                                                                         _(4.2)

 

Простые геометрические соображения позволяют  получить формулы перехода от трехфазной системы к эквивалентной двухфазной: составляющие вектора  по новым осям a и b приравниваются к сумме проекций составляющих этого вектора по старым осям, то есть

 

,   (4.3)

.         (4.4)

 

К этим двум уравнениям необходимо добавить еще  одно для потокосцепления нулевой  последовательности:

 

.                                                                              (4.5)

 

Токи  эквивалентной двухфазной машины, выраженные через токи фаз исходной трехфазной системы:

 

,                                                                                      (4.6)

,                                                                                            (4.7)

.                                                                                        (4.8)

 

Преобразование  ABC→ab0 для токов в матричной форме может быть записано следующим образом:

 

                                                     (4.9)

 

Потокосцепления или токи трехфазной машины, выраженные через потокосцепления или токи эквивалентной двухфазной машины, могут быть получены либо при нахождении проекций соответствующих векторов на оси ABC (рисунок 4.2), либо по уравнению (4.9). В обоих случаях при отсутствии тока ток фазы a равен току . Решение задачи, связанной с анализом электромеханических процессов, выполненное один раз для двухфазной машины, может быть распространено на любую многофазную машину.

Представленные  уравнения и пояснения к ним  справедливы при преобразовании к двухфазной системе как статорных, так и роторных величин.

 

4.1 Уравнения синхронной машины в осях dq

 

При разработке математической модели во избежание  слишком громоздких и сложных  описаний применены следующие допущения:

- отсутствуют  потери в стали;

- воздушный  зазор равномерен, магнитная проводимость  одинакова и распределение магнитного  поля в воздушном зазоре синусоидально;

- отсутствует  влияние емкостей внутри и  между обмотками;

- активное  сопротивление не зависит от  температуры;

- статор  и ротор имеют трехфазные симметричные  обмотки.

Обычно  в каталогах на синхронные машины параметры даются в относительных  единицах. Поэтому целесообразно  при рассмотрении математического  описания электромагнитных процессов  в синхронном двигателе также  перейти к относительным единицам, то есть нормировать уравнения, входящие в его математическое описание. Базовые  значения, относительно которых выполняется  нормирование, должны быть выбраны  так, чтобы максимально упростить  исходные уравнения при сохранении их соответствия физическим процессам, происходящим в двигателе [12].

В качестве базисного напряжения принимается  номинальное фазное напряжение

 

;                                                                                                          (4.10)

 

базисный ток

 

;                                                                                                           (4.11)

 

 

базисная мощность

 

;                                                                                                            (4.12)

 

базисное сопротивление

 

;                                                                                          (4.13)

 

базисная частота вращения

 

;                                                                        (4.14)

 

где f=50 Гц – частота питающей сети;

синхронная частота вращения, о.е.: ;

базисное время

 

;                                                                                                                 (4.15)

 

время в о.е.

 

,

 

то  есть 1 с соответствует 314 о.е. времени;

 

базисная единица для индуктивности:

 

.                                                                                              (4.16)

 

Как видно из (4.13) и (4.16) при синхронной скорости ( ) индуктивность  
и индуктивное сопротивление в относительных единицах численно равны.

Базисная единица для потокосцепления:

;                                                                                                              (4.17)

 

базисная единица для момента:

 

.

 

При анализе режимов работы и  переходных процессов, происходящих в  СД, вместо напряжений, токов и потокосцеплений  отдельных фаз рассматривается  обобщенный вектор напряжения, тока и  потокосцепления, характеризующий  результирующее действие симметричной трехфазной системы. При вращении обобщенного  вектора в ту же сторону, что и  системы трех векторов чередование  осей времени фаз необходимо принять  противоположным чередованию векторов фазных величин.

Обобщенный вектор напряжения симметричной трехфазной системы можно выразить через фазные значения

 

, (4.18)

 

где – множитель;

u_a, u_b, u_c – напряжения фаз.

Для того, чтобы избежать периодических коэффициентов, зависящих от углового положения  ротора, дифференциальные уравнения  синхронного генератора записываются в осях d, q, жестко связанных с его ротором.

Электромагнитные  процессы, происходящие в СД описываются  уранениями Парка-Горева.

ДУ, описывающие  поведение СД с многоконтурным ротором (i=1,2,...,k), основываясь на [13], можно представить следующим образом:

 

          (4.19)

 

где – оператор дифференцирования;

 – напряжение  на выводах  СД по осям d и q;

 – потокосцепления статора,  i-ого роторного контура СД по осям d, q и потокосцепление обмотки возбуждения соответственно;

 – производные потокосцеплений  статора,  
i-ого роторного контура СД по осям d, q и производная потокосцепления обмотки возбуждения соответственно;

 – напряжение обмотки возбуждения;

 – частота вращения ротора СД;

 – механическая постоянная времени,

 – суммарный момент инерции;

 – момент сопротивления  механизма и вращающий момент  двигателя;

 – результирующие векторы  тока статора и его потокосцепления;

 – угол поворота ротора, т.е. угол между осью d и электрической осью обмотки фазы a;

 – коэффициенты затухания  контура статора, i-ого роторного контура по оси d, i-ого роторного контура по оси q и обмотки возбуждения:

 

,         (4.20)

 

где – активное сопротивление обмотки статора, i-ого роторного контура по оси d, i-ого роторного контура по оси q и обмотки возбуждения;

  – индуктивность рассеяния обмотки статора, i-ого роторного контура по оси d, i-ого роторного контура по оси q и обмотки возбуждения.

Потокосцепление ветви намагничивания по продольной и поперечной оси:

 

;

 

где – коэффициенты распределения потокосцеплений статора, i-ого роторного контура по осям d, q, и обмотки возбуждения соответственно, которые определяются как:

 

,       (4.21)

 

где  

 

 

где   – индуктивность ветви намагничивания по осям d и q.

Сопротивления схемы замещения, постоянные времени обмоток  
по продольной и поперечной оси для неявнополюсного двигателя равны.

Токи статора, обмотки возбуждения  и i-ого роторного контура определяются из следующих соотношений:

 

         (4.22)

 

Уравнения для определения напряжения возбуждения, учитывающие тип возбудителя и АРВ, являются частью математической модели СД. С учетом действия форсировки возбуждения, уравнение для определения напряжения возбуждения двигателя с системой самовозбуждения представлено как:

 

              (4.23)

где – номинальное значение напряжения возбуждения;

 – номинальное напряжение  статора;

 – действующее значение  напряжения статора;

 – кратность форсировки  возбуждения.

Для моделирования  такой системы лучше всего  подходит математический комплекс MatLab (Matrix Laboratory) а именно его расширение Simulink в котором уже есть почти все необходимые для моделирования блоки.

Система уравнений синхронной машины составленная из блоков Simulink и схема с механической системой представлены в приложении В.

Необходимо  также добавить уравнение движения:

 

                                                                                           (4.24)

 

Подключим ко входам модели блоки преобразования ABC→dq (система dq связана с ротором) (см. приложение Г)

Для того чтобы воспользоваться уже имеющимися в Simulink электротехническими блоками необходимо подключить ко входам модели вольтметры и управляемые источники тока по предложенной схеме. Это позволит моделировать модель как электрическую – мощность может передаваться в обе стороны (обычные, неэлектрические блоки Simulink однонаправленные) (Приложение Г).