Выборочное наблюдение

 

     d= Σ| x i- x ~ | f/ Σf= 38,667/30=1.289 (млрд. руб.) 

     Дисперсия представляет собой средний квадрат  отклонений индивидуальных

     значений  признака от их средней величины.

     

     б²= 72,167/30=2,406

     Среднее квадратическое отклонение определим  как корень квадратный из

     дисперсии:

      σ =    2,406 =1,551 (млрд. руб.)

     Определим коэффициент вариации по формуле:

     V= σ/ X ^*100%= 1,551/3,533=43,9% т.е. совокупность является количественно неоднородной, т.к. величина показателя превышает 33%.

     Рассчитаем  с вероятностью 0,954 возможные значения средней стоимости основных фондов. Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2):

     

      Δ_x= 2* = 0.549   (млрд. руб.) 

     Определим пределы генеральной средней:

     x = x ± Δ_X = 3.533±0.549

     Т.е. с вероятностью 0,954 можно утверждать, что возможные значения средней стоимости основных фондов магазинов находятся в пределах от 2,984 до 4,082 млрд. руб.

     Рассчитаем с вероятностью 0,997 возможные значения доли магазинов фирмы, имеющих стоимость основных фондов до 3,2 млрд. руб. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

     σ²_W =W(1-W)

     где M= - доля единиц, обладающим данным признаком в выборочной совокупности, в нашей задаче m = 15.

     w=

     σ²_W=0.5(1-0.5)=0.25

     Предельная  ошибка выборки для доли определяется так:

       
Δ_x=3 *   

      Пределы доли признака в генеральной  совокупности выглядят следующим

     образом:

     w –Δ_W≤p ≤w + Δ_W

     p = 0,5 ± 0,266

     0,234 ≤ p ≤ 0,766

     Т.е. возможные значения доли магазинов, имеющих стоимость основных фондов  до 3,2 млрд. руб., находятся в пределах от 23,4% до 76,6%. 
 

     Задача  №3 Найти уравнение корреляционной зависимости между признаками. Найти уравнение регрессии, коэффициент эластичности, ошибку аппроксимации. Рассчитать и проанализировать коэффициенты корреляции и детерминации. Сделать проверку. Зависимости между продолжительностью уборки озимой пшеницы и ее урожайностью.

     Решение:

 
 

     Связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

       Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = bx + a + ε

       Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

       Причины существования случайной  ошибки:

      1. Невключение в регрессионную  модель значимых объясняющих  переменных;

      2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления  – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

      3. Неправильное описание структуры  модели;

      4. Неправильная функциональная спецификация;

      5. Ошибки измерения.

       Так как отклонения ε_i  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

      1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β

      2) Оценками параметров α и β  регрессионной модели являются  соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

       Тогда оценочное уравнение регрессии  (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где  e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

       Для оценки параметров α и  β - используют МНК (метод наименьших  квадратов).

       Система нормальных уравнений. 

       Для наших данных система уравнений  имеет вид 

       Из первого уравнения выражаем  а и подставим во второе  уравнение

       Получаем b = -1.32, a = 45.09

       Уравнение регрессии:

      y = -1.32 x + 45.09

       Параметры уравнения регрессии.

       Выборочные средние. 
 
 

       Выборочные дисперсии. 
 

       Среднеквадратическое отклонение 
 

       Коэффициент корреляции

       Рассчитываем показатель тесноты  связи. Таким показателем является  выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: 

       Линейный коэффициент корреляции  принимает значения от –1 до +1.

       Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

      0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

      0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

      0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

      0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

      0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

       В нашем примере связь между признаком Y фактором X  высокая и обратная.

       Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии). 

       Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = -1.32 x  + 45.09

       Коэффициент эластичности. 
 

       Ошибка аппроксимации.

       Оценим качество уравнения регрессии  с помощью ошибки абсолютной  аппроксимации. 
 

       Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение). 

       где

      S_y0 = 2329.5 + 981.2 = 3310.7

       Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

       Для любой формы зависимости  теснота связи определяется с  помощью множественного коэффициента корреляции: 

       Коэффициент детерминации.

       Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его  выражают в процентах.

      R²= -0.76² = 0.5788

       Оценка параметров уравнения регрессии.

       Значимость коэффициента корреляции. 

       t_крит (n-m-1;α) = (28;0.01) = 2.467

       где m = 1 - количество объясняющих переменных.

       Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал). 

       Доверительный интервал для коэффициента  корреляции 

       r(-0.9505;-0.5711)

       Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

       Несмещенной оценкой дисперсии  возмущений является величина: 
 

       S²_y = 35.0428 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). 

       S_y = 5.9197 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

       S_a - стандартное отклонение случайной величины a. 
 

       S_b - стандартное отклонение случайной величины b. 
 

       Доверительные интервалы для зависимой переменной.

       (a + bx_p ± ε)

       где 

       Рассчитаем границы интервала,  в котором будет сосредоточено  99% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 15 

      (45.09 + -1.32*15 ± 2.806)

      (22.5;28.11)

       Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

       (a + bx_i ± ε)

       где