Статистический анализ работы группы горных предприятий

 

    Интервальный вариационный ряд позволяет более компактно представить исследуемую статистическую совокупность.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2 Графическое изображение  вариационного ряда

 

    Графическое изображение вариационного ряда состоит в изображении последнего в виде полигона, кумуляты, огивы  и гистограммы.

    Полигон строится в прямоугольной системе  координат. По оси абсцисс отмечают точки, соответствующие значениям  вариант (для дискретного ряда) или серединам интервалов (для интервального ряда). Из этих точек восстанавливают перпендикуляры, на которых откладывают отрезки пропорциональные частотам. Полученные точки соединяют отрезками прямых линий.

    

    

 
 
 
 
 
 

    Кумулята  – изображение в прямоугольной  системе координат вариационного  ряда с накопленными частотами. Накопленную  частоту определенного варианта получают суммированием всех частот вариантов, предшествующих данному, с  частотой этого варианта. По оси абсцисс откладываются значения вариант или интервалов (для интервального ряда), а по оси ординат накопленные частоты. Соединив полученные точки отрезками прямой получают кумуляту. При построении кумуляты интервального вариационного ряда нижней границе первого интервала ставят в соответствие частоту равную нулю, а верхней границе – частоту первого интервала. Верхней границе последнего интервала соответствует накопленная частота, равная численности всей совокупности. 

 

 
 

    Если  по оси ординат откладывать значение признака, а по оси абсцисс накопленные  частоты или частости и соединить  вершины абсцисс прямыми линиями, то получим огиву.

    

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Гистограмма распределения строится в прямоугольной  системе координат. На оси абсцисс  откладываются отрезки соответствующие  интервалам вариационного ряда, и  на каждом из них строится в принятом масштабе прямоугольник, высота которого пропорциональна частоте.

    

 

    Графики распределения вариационного ряда служат наглядным изображением распределения  данной совокупности и позволяют  до проведения трудоемких расчетов дать ответ на вопрос о примерной подчиненности  вариационного ряда нормальному закону распределения. Графики позволяют без расчета оценить средние характеристики вариационного ряда (моду, медиану).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3. Определение средних  значений вариационного  ряда

 

    Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности. В статистической практике используются различные виды средних: собственно средние и структурные средние (мода и медиана). Собственно средние подразделяются на средние арифметические, средние гармонические средняя квадратическая и др. Наиболее распространенным видом средней является средняя арифметическая.

    Средняя арифметическая используется в тех  случаях, когда значение признака в  ряду распределения встречается  только один раз и определяется из выражения:

    где Xi – значение i-го варианта признака;

    n_i – количество вариант.

    Вычислим  значение средней арифметической простой:

=8550/20=427,5

 

    Для определения средней арифметической интервального ряда используется выражение:

    

    где х^,_i – серединное значение i-го интервала.

    Вычислим  среднюю арифметическую для интервального  ряда:

инт = (290×3+370×5+450×6+530×4+610×2)/20 = 438

 

    Мода  – это наиболее часто встречающееся значение в вариационном ряду. В дискретном ряду – это варианта с наибольшей частотой. Мода интервального ряда определяется по формуле:

    

 ,

    где х_о – нижняя граница модального интервала.

    m_mo – частота модального интервала;

    m_mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

    m_mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

    Модальный интервал в интервальном вариационном ряду – интервал, обладающий наибольшей частотой.

 

    Медиана – значение изучаемого признака, которое по своей величине занимает серединное место в ряду вариантов, расположенных в порядке их возрастания или убывания. Медиана дискретного ранжированного ряда с нечетным числом членов – это варианта, расположенная в центре ряда. Медиана интервального ряда определяется из выражения:            

    

    где me – частота медианного интервала;

    S_me–1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

               – полусумма частот ряда.

    Для определения медианного интервала  следует пользоваться суммой накопленных  частот. Тот интервал, в котором сумма накопленных частот превысит их полусумму, и будет медианным.

    Используя вышеприведенные формулы, определим  моду и медиану:

    М_о = 410+(80/3)=436,67

    M_e = 410+80*((10-8)/6)=436,67 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.4 Вычисление характеристик меры и степени вариации

 

    Средняя величина, являясь абстрактной обобщающей характеристикой признака изучаемой  совокупности, не дает представления  о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. Степень близости данных отдельных единиц к средней характеризуют следующие характеристики меры и степени вариации:

• размах вариации (R). Размахом вариации называют амплитуду колебаний, определяемую как разность между максимальным и минимальным значением признака, положенного в основу ряда распределения:

    R =Xmax – Xmin

    В данной курсовой работе размах равен:

    R = 650-250 = 400

 
    

• среднее линейное отклонение (d). Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных отклонений

                

                          или

               

    Вычислим  среднее линейное отклонение для  дискретного ряда:

d = |442-427.5|+|472-427.5|+|521-427.5|+|252-427.5|+|444-427.5|+|287-427.5|+|470-427.5|+

20

      +|332-427.5|+|491-427.5|+|351-427.5|+|359-427.5|+|338-427.5|+|460-427.5|+|571-427.5|+

20

            +|355-427.5|+|250-427.5|+|650-427.5|+|450-427.5|+|500-427.5|+|555-427.5| =89.6(дробями)

20

    Вычислим  среднее линейное отклонение для  интервального ряда:

    d = |290-438|*3+|370-438|*5+|450-438|*6+|530-438|*4+|610-438|*2= 78.4

    20

      Оно показывает абсолютную меру вариации.

• дисперсия (s²). Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия определяется из выражения:

s² =

    для дискретного ряда

              s² =

      для интервального ряда

 

    Определим  дисперсию для дискретного ряда:

s² = (|442-427.5|)^2+(|472-427.5|)^2+(|521-427.5|)^2+(|252-427.5|)^2+(|444-427.5|)^2+

20

+(|287-427.5|)^2+(|470-427.5|)^2+(|332-427.5|)^2+(|491-427.5|)^2+(|351-427.5|)^2+

20

+(|359-427.5|)^2+(|338-427.5|)^2+(|460-427.5|)^2+(|571-427.5|)^2+(|355-427.5|)^2+

20

(|250-427.5|)^2+(|650-427.5|)^2+(|450-427.5|)^2+(|500-427.5|)^2+(|555-427.5|)^2 =11259.75

20

Определим дисперсию для интервального ряда:

    s² = (|290-438|)^2*3+(|370-438|)^2*5+(|450-438|)^2*6+(|530-438|)^2*4+

    20

    +(|610-438|)^2*2= 9136

              20

    среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

s =

     - для дискретного ряда

s =

       - для интервального ряда

 

    Вычислим  среднеквадратическое отклонение для  дискретного ряда:

s = √11259.75 ≈ 106.11

 

    Вычислим  среднеквадратическое отклонение для  интервального ряда:

s = √9136 ≈ 95,6 

 

    Значения d и s представляют собой абсолютные величины. При достаточно большом объеме совокупности и распределения признака, близком к нормальному, между d и s имеет место следующая зависимость:

s = 1,25* d

Для дискретного  ряда:

 

s = 1,25*89.6 = 112     s = 106.11 (соотношение приблизительно выполняется)

 
 
 

Для интервального  ряда:

 

s = 1,25*78,4 = 98      s = 95,6 (соотношение приблизительно выполняется)

 

    Для характеристики меры вариации и ее экономической значимости пользуются коэффициентом вариации, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего отклонения со средним уровнем явления, а результат выражается в процентах:

                            Vd = d*100 /    или   Vs = s*100 /

    Для дискретного ряда:

 Vd = 89.6*100 / 427.5 = 20,96

Vs = 106.11*100 /427.5 = 24,82

    Для интервального ряда: