Статистические методы изучения взаимосвязей финансовых показателей деятельности банка

     Регрессионный анализ называют основным методом современной  математической статистики для выявления  неявных и завуалированных связей между данными наблюдений. Электронные  таблицы делают такой анализ легко  доступным. Таким образом, регрессионные  вычисления и подбор хороших уравнений - это ценный, универсальный исследовательский  инструмент в самых разнообразных  отраслях деловой и научной деятельности (маркетинг, торговля, медицина и т. д.). Усвоив технологию использования  этого инструмента, можно применять  его по мере необходимости, получая  знание о скрытых связях, улучшая  аналитическую поддержку принятия решений и повышая их обоснованность.

     Корреляционно-регрессионный  анализ считается одним из главных  методов в маркетинге, наряду с  оптимизационными расчетами, а также  математическим и графическим моделированием трендов (тенденций). Широко применяются  как однофакторные, так и множественные  регрессионные модели.

1.3  Методы регрессионного  анализа в изучении  взаимосвязи показателей деятельности банка

     Задача  регрессионного анализа – выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных. Так, по исследуемой теме возможно определить форму связи между факторами прибыли банка и величины работающих активов.

     Связь признаков проявляется в их согласованной  вариации, при этом одни признаки выступают  как факторные (из исследуемых признаков  факторным будет выступать скорее величина работающих активов), а другие – как результативные (прибыль  банка). Причинно-следственная связь  факторных и результативных признаков  характеризуется по степени:

• тесноты;
• направлению;
• аналитическому выражению.

      Для оценки параметров уравнений регрессии  наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения прибыли банка должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических (фактических) значений, т.е.

                        . (1)

      При изучении связей исследуемых показателей  применяются различного вида уравнения  прямолинейной и криволинейной связи. Так, при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

        (2)

       Это наиболее часто используемая форма  связи между коррелируемыми признаками, при парной корреляции она выражается уравнением (2),  где а₀ – среднее значение в точке x=0, поэтому экономической интерпретации коэффициента нет; а₁ – коэффициент регрессии, показывает, на сколько изменяется в среднем значение прибыли банка при увеличении величины работающих активов на единицу собственного измерения.

       При криволинейной зависимости применяется  ряд математических функций:

полулогарифмическая    (3)

показательная   (4)

степенная   (5)

параболическая   (6)

гиперболическая   (7)

      Система нормальных уравнений МНК для линейной парной регрессии имеет следующий вид:

        ₍₈₎

Отсюда можно  выразить коэффициенты регрессии:

;             . (9)

      При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверить, насколько вычисленные  параметры типичны для отображаемого  комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. Значимость коэффициентов  регрессии применительно к совокупности  n<30  определяется с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия:

для параметра  а₀:   ,                                         (10)

для параметра  а₁:   .                                      (11)

В формулах (10) и (11):

- среднее квадратическое отклонение показателя (процентной доходности банка) от выровненных значений .              (12)

- среднее квадратическое отклонение величины выданных кредитов от общей средней .                                                                      (13)

    Полученные  по формулам (10) и (11) фактические значения и сравниваются с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν (ν=n-k-1, где n – число наблюдений, k – число факторов, включенных в уравнение регрессии). Рассчитанные параметры а₀ и а₁ уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

    На  практике часто приходится исследовать  зависимость прибыли банка от нескольких факторных признаков. Аналитическая  форма связи прибыли банка  от ряда факторных признаков выражается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии.

Линейное уравнение  множественной регрессии

                        .                      (14)

Система нормальных линейных уравнений МНК для оценки коэффициентов двухфакторной регрессии  имеет вид:

                                           ₍₁₅₎

1.4  Методы корреляционного  анализа в изучении  взаимосвязи показателей деятельности банка

    Корреляционная  связь (частный случай стохастической) – связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между  средним значением прибыли банка и признаками-факторами (одним из которых выступает величина работающих активов). Задача корреляционного анализа – измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Различают:

• парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным;
• частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;
• множественную – многофакторное влияние в статической модели .

       Теснота связи при линейной зависимости  измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который рассчитывается по одной из формул: 

                    (16)              .                                             (17)

Таблица 1 – Оценка линейного коэффициента корреляции

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Для этого определяется фактическое значение критерия :

                              ,                                  (18)

    Вычисленное по формуле (18) значение сравнивается с критическим , который получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы ν. Коэффициент корреляции считается статистически значимым, если t_расч превышает : t_расч > .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение:

                        ,                    (19)

где  – общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию одного из показателей результатов деятельности банка (прибыли) за счет всех факторов;

 – факторная дисперсия теоретических значений прибыли банка, отражает влияние одного фактора (величины работающих активов) на вариацию прибыли банка;

 – остаточная дисперсия эмпирических значений прибыли банка, отражает влияние на вариацию прибыли всех остальных факторов кроме величины работающих активов.

По  правилу сложения дисперсий:

          ,   т.е.  .      (20)

Таблица 2 – Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока)

       Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т.е. η = |r|.  Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости банковской прибыли от двух факторов вычисляется по формуле:

                        ,                   (21)

где   – парные коэффициенты корреляции между признаками.

       Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению  положителен: .

         Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

       Значимость  коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить  с помощью критерия Фишера:

                        ,                                        (22)

где R² – коэффициент множественной детерминации (R² );

      k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

       Связь считается существенной, если    F_расч > F_табл   – табличного значения F-критерия для заданного уровня значимости  α  и числе степеней свободы ν₁ = k, ν₂ = n – k – 1.

       Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи различных показателей деятельности банка, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ. Расчет частных коэффициентов корреляции в случае двухфакторной регрессии (в первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х₁):

          

;          ,(23)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

    Для оценки сравнительной силы влияния  факторов, по каждому фактору  рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

                              ,                                                (24)

где   – среднее значение факторного признака;