Средние величины, их применение в статистическом анализе

              Сущность этой теории нашла отражение в работах ряда теоретиков статистики как теория « истинных величин ». У Кетле были последователи — немецкий статистик и экономист Лексис (1837-19014), перенесший теорию       « истинных величин » на экономическими явления общественной жизни. Его теория известна под названием « теория устойчивости ». Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869-1957); является одним из самых видных теоретиков новейшего времени в области теории средних величин. Его концепция средних величин изложена в книге « Элементы статистики ». А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тем самым отрывает количество от качества. Он писал, значение средних или, как он выражается, « их функция » ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним. Взгляд на метод средних как на технический прием упрощений цифровых материалов разделяли Р. Фишер (1890-1968), Дж. Юл (1871 - 1951), Фредерик С. Миллс (родился 1892) и др.

В 30-е и последующие годы средняя величина все чаще стала рассматриваться как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных. Однако зарубежная статистика не ставит вопрос о связи между средними величинами по разным признакам, не рассматривает системы средних.

              Виднейшие представители итальянской школы Бенини (1862-1956) и Коррадо Джини (1884-1965), считая статистику отраслью логики, расширили область применения статистической индукции. Причем познавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемых явлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

1.3.  Направление, цели и задачи применение средних в статистике.

Средние величины имеют большое распространение в статистике коммерческой деятельности. В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Правильное понимания сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного).

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют.3

3.см. Гусаров В.М. Статистика. – «ЮНИТИ», М., 2003г., стр. 54.

Глава 2: Методология анализа средних величин.

2.1 Степенные средние.

Степенные средние – выражают типичные значения признака однородных совокупностей, как правило принимают абстрактные значения.

Степенные средние величины исчисляются в двух формах – простой и взвешенной. Простая средняя величина считается по несгруппированным данным  и имеет следующий вид:

,                                                                                                                                            (1)

где  - варианта (значение) осредняемого признака; - показатель степени средней; - число вариант (наблюдений).

Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленных виде дискретных или интервальных рядов распределения:

,                                                                                                                              (2)

где - варианта (значение) осредняемого признака или срединное значение интервала, в котором измеряется варианта; - показатель степени средней; - частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

Формула расчёта степенных средних включает показатель степени (m). В зависимости от его значения различают следующие виды степенных средних приведённые в табл. 2.1. Теперь опираясь на данные таблицы подробнее рассмотрим каждый вид степенной средней, определим их свойства и правила применения.

Таблица 2.1

Виды степенных средних

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может простой и взвешенной. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

           Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным. Использовать её можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес. Расчёт средней арифметической взвешенной производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.4

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, более полно раскрывающими её сущность:

1)     Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: ;

2)     Произведение средней на сумму частот равно сумме произведения отдельных вариантов на соответствующие им частоты: 

3)     Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в А раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

4)     Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число:

5)     Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться:

4. См. Гусаров В.М. Статистика. – «ЮНИТИ», М., 2003г., стр. 56.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

Формула средней гармонической взвешенной (простой) величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить , откуда .Средняя гармоническая простая  это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака. Средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значение для единиц совокупности равны.

Ещё одной формулой, по которой может осуществляться расчёт среднего показателя, является средняя геометрическая. Рассматриваемая величина ис­пользуется для вычисления средних темпов роста и прироста (снижения) наблюдаемых явлений. Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Правило мажорантности: Чем выше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше значение средней.

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

2.2. Практическое применение структурных средних.

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности, и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние мода () и медиана ().

Мода – это значение показателя наиболее часто встречаемого в совокупности т.е мода это варианта с наибольшей частотой

Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце находится наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Может оказаться, что два признака имеют одинаковую частоту. В этом случае ряд будет называться бимодальным.

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряде распределения мода вычисляется по формуле:

где  - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота в модальном интервале;

- частота интервала перед модальным интервалом;

- частота интервала после модального интервала.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

Моду можно определить графически по гистограмме. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ 2-х смежных столбцов проводят линии, затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет соответствовать моде.

Мода широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательского спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана – это значение признака, которое приходиться на середину упорядоченной совокупности. Она делит совокупность на две равные части. Значение в одной части будут меньше медианного в другой больше медианного.

В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы по формуле:

          , где

n – число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака x. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

,

где x0 - нижняя гранича медианного интервала;

hMe - величина медианного интервала;

SMe-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

fMe - частота медианного интервала.

Медиану можно определить графически. Для этого строится кумулята. Для определения Ме высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через полученную точку проводятся прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и является Ме.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.