Регрессионный анализ социально-экономических показателей по следующим признакам: денежные доходы на душу 2007 г., потребительские расходы н

      Дисперсия ( ) наиболее часто используемый показатель вариации, показывает среднюю площадь отклонений вариантов признака от средней величины.

    простая дисперсия    ,

    взвешенная дисперсия   . 

      Среднее квадратическое отклонение ( ) определяется как квадратный корень из дисперсии. .

      Для сравнения степени вариации признака в разных совокупностях используется коэффициент вариации (ν): 

    

. 

      Коэффициент вариации может также использоваться для характеристики степени однородности исследуемой совокупности. В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными. 

      2.2 Основы регрессионного и корреляционного анализа 

      Во  многих технических, экономических, организационных  задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин X. Зависимость между значениями параметров X и Y может быть:

      - функциональной;

      - статистической;

      - корреляционной.

      Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

      Параметр  Y связан с параметром X функциональной зависимостью в том случае, когда конкретному значению соответствует одно и только одно значение . Например, если принять, что X - это градусы по шкале Цельсия, а Y - градусы по шкале Фаренгейта, то между этими параметрами существует функциональная зависимость 

   

. 

      Функциональность  связи определяется тем, что для  конкретной температуры по Цельсию существует одна и только одна температура по Фаренгейту.

      В экономических процессах строгая  функциональная зависимость реализуется редко, т.к. часто оба параметра или один из них подвержены еще действию разнообразных случайных факторов, например, объем продаж товара не определяется жестко его ценой. На него могут влиять такие случайные факторы, как погода, сезон, эффект ажиотажного спроса и т.д. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин X влечет изменение распределения (т.е. множества возможных значений) Y другой. Например, пусть при цене на лимоны в 15 руб. семья со средним достатком покупает в месяц от 10 до 15 лимонов, при цене в 25 руб. - от 7 до 10 шт., а при цене в 40 руб. - 3-5 шт. Т.е. изменение цены X изменяет возможное количество покупаемых цитрусовых Y.

      Статистическую  зависимость называют корреляционной, если при изменении одной из величин X изменяется среднее значение другой. Например, с одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений X снимают различный урожай Y, т.е. Y не является функцией от X. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха, плодородие почвы и др.). Но как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е. Y связан с X корреляционной зависимостью.

      Рассмотрим  графическое представление данных о расходах на рекламу товара и (рисунок 1.1). 

      Рисунок 1.1 – Статистическая зависимость между величинами Х и Y 

      Из  графика a) видно, что связь между параметрами близка к линейной. В случае данных, представленных на графике b) можно предположить, что линейная модель неприменима для описания исследуемой зависимости. Уравнение прямой из рис.1 а) является моделью связи, существующей между параметрами X и Y.

     Первым  шагом в анализе связи между  параметрами является изучение переменных. Параметр Y, значение которого нужно предсказывать, является зависимым. Параметр X, значения которого нам известны заранее, и который влияет на значения Y называется независимым. Важным моментом является то, что для любого конкретного значения параметра Х существует распределение возможного значения Y. Для усреднения всех возможных значений параметра Y, которые соответствуют значению , используют понятие условного среднего , т.е. среднего арифметического всех значений Y, которые наблюдались при значении . Если каждому значению x соответствует одно значение условной средней , то условная средняя есть функция от x; в этом случае говорят, что Y зависит от X корреляционно.

     Корреляционная  зависимость Y от X - это функциональная зависимость условной средней от x: . Данное уравнение называется уравнением регрессии Y на X.

     Выделяют  две основные задачи регрессионного и корреляционного анализа:

1. Установить форму корреляционной связи, т.е. вид функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.).
2. Оценить тесноту (силу) корреляционной связи по коэффициенту корреляции. Чем теснее линейная связь, тем ближе величина объясненной вариации к величине общей вариации. Поэтому используется отношение этих вариаций, называемое коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации показывает величину дисперсии Y, которая объясняется независимой переменной X. Он часто выражается в процентах и в случае наличия функциональной зависимости между параметрами равен или 100%. Если же корреляционная связь отсутствует, то .

     Перед тем, как использовать коэффициент  корреляции, необходимо проверить его  значимость. Для этого вычисляется  расчетное значение: 

     

. 

     Расчетное значение сравнивают с критическим. Критическое значение вычисляют с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР.

     Уравнения регрессии применимо прогнозирования возможных ожидаемых значений результативного признака. При этом следует учесть, что перенос закономерности связи, измеренной в варьирующей совокупности, в статике на динамику не является, строго говоря, корректным и требует проверки условий допустимости такого переноса (экстраполяции), что выходит за рамки статистики и может быть сделано только специалистом, хорошо знающим объект (систему) и возможности его развития в будущем.

     Ограничением прогнозирования на основании регрессионного уравнения, тем более парного, служит условие стабильности или по крайней мере малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними. Если резко изменится "внешняя среда" протекающего процесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака на факторный потеряет свое значение. В сильно засушливый год доза удобрений может не оказать влияния на урожайность сельскохозяйственной культуры, так как последнюю лимитирует недостаточная влагообеспеченность.

     Прогнозируемое значение результативного показателя получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины факторного признака. При таком прогнозировании следует соблюдать еще одно ограничение: нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличающиеся от входящих в базисную информацию, по которой вычислено уравнение регрессии. При качественно иных уровнях фактора, если они даже возможны в принципе, были бы другими параметры уравнения.

     Можно рекомендовать при определении значений факторов не выходить за пределы трети размаха вариации как за минимальное, так и за максимальное значение признака-фактора, имевшееся в исходной информации.

     Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значением средней ошибки прогноза или доверительным интервалам прогноза с достаточно большой вероятностью.

       При статистической постановке прогнозной задачи 

       

,

       где — заданное, а среднее значение независимой переменной х. 

     Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента.

     Если  нанести доверительные границы  на график, то они расположены выше и ниже линии регрессии в виде ветвей гиперболы, ограничивая доверительную  область (рис. 1.2).

     Доверительный интервал уменьшается при увеличении продолжительности наблюдения (периода основания прогноза) и растет с увеличением периода упреждения прогноза. 

       

       Рисунок 1.2 - Динамика доверительного интервала 

2.3 Статистические показатели динамики  социально – экономических явлений 

     Для количественной оценки динамики социально–экономических  явлений применяются статистические показатели : абсолютные темпы роста  и прироста , темпы наращивания и т. д.

     В основе расчета показателей рядов  динамики лежит сравнение его уровней. В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения.

     Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными. Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим . Такие показатели называются цепными.

     Абсолютный  прирост – важнейший статистический показатель динамики, определяется в  разностном соотношении, сопоставлении  двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации. Бывает цепной и базисный:

1. Базисный абсолютный прирост определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения :

 

     

. 

     

2. Цепной  абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем и уровнем, который ему предшествует, :

 

     

. 

     Абсолютный  прирост может иметь и отрицательный  знак, показывающий, насколько уровень  изучаемого периода ниже базисного.

     Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности: 

     

. 

     Показатель  абсолютного ускорения применяется  только в цепном варианте, но не в  базисном. Отрицательная величина ускорения  говорит о  замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

     Темп  роста – распространенный статистический показатель динамики. Он характеризует  отношение двух уровней ряда и  может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

1. Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

 

. 

     

2. Цепные  темпы роста  исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень :

 

. 

     Если  темп роста больше единицы (или 100 %) , то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным. Темп роста ,равный единице (или 100%), показывает, что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился. Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным.

     Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

1. Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения :

 

     

. 

     

2. Цепной  темп прироста - это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню :

 

= : .