Прогнозирование данных по тренду и сезонной составляющей

получим формулы  для вычисления оценок параметров а и Ь:

                             (2.1)

  

  где  ;   ∑yt

 

  Чтобы охарактеризовать, насколько хорошо линейный тренд  представляет основную тенденцию временного ряда, вычисляют остаточную сумму квадратов Qe, оценку дисперсии остатков S² и коэффициент детерминации R².

  Остаточная  сумма квадратов Qe определяется по формуле

  

  Часто более  удобно вычисления вести в следующей  последовательности. Рассчитывают суммы квадратов Qy, Qr, Qt

                  (2.4)

                           (2.5)

                                    (2.6)

 
 
 

                                                           -10-

Затем находят остаточную сумму квадратов из тождества:

Qy=QR+Qe;  Qe=Qy-QR                                         (2.7)

Определяют оценку дисперсии остатков:

                                           (2.8)  и коэффициент детерминации:

                                            (2.9)

  Коэффициент детерминации показывает, какая доля дисперсии исходного ряда объясняется линейным трендом.

 

б) Рассмотрим  вычисление  коэффициентов  квадратичного  тренда  для  временного  ряда  у_t , t = 1, 2, ....n .

Квадратичный  тренд  запишем  в  виде :

      у_t = a+bt+ct² .

Как  и  в  случае  линейного  тренда , оценки  параметров a ,b , c определяются  из  условия минимума  суммы квадратов :

 

      Q= [у_t - ( a+bt+ct²)] ².

 

Из  необходимых  условий  минимума :

      

получим  систему  нормальных  уравнений. Ее  решением  будут  оценки  параметров :

         (12)

 
 
 
 

                                                            -11-

Решение системы (12) упрощается, если  данные  ( t, y_t) , t = 1 , 2 ....n предварительно  преобразовать  так, чтобы =0 , =0 . Для этого исходя  из  исходных  значений  t вычитают  средние арифметические :

 
 

, а  из значений  y_t  - средние арифметические  наблюдаемых значений :

.

Таким  образом, исходные  данные  преобразуются  с  помощью формул:

t’ =t -

.

Этот  прием  можно  использовать  при  определении  линейного  тренда.

Расчет  удобней  вести  в  виде  таблицы . Для  оценки  того , насколько  хорошо квадратичный  тренд  описывает  главную  тенденцию  временного  ряда , как  и  в  случае  линейного  тренда , вычисляют  остаточную  сумму квадратов Qe , оценку  дисперсии результатов наблюдений S² ,коэффициент  детерминации  R² . Остаточная  сумма  квадратов  вычисляется  по  формуле (9) :

      Qe = Qy +Q_R ,

      где Q_R = ,  ( 13 )

а Qy  вычисляется по  формуле (6) . Оценка  дисперсии вычисляется по  формуле :

      S² = Qe /(n -3) (14) ,

а  коэффициент  детерминации R² - по  формуле ( 11 ) .

 

2.2 Определение тренда  на основе сглаживания  методом скользящего  среднего.

Сглаживание временного ряда означает представление тренда в данной точке посредством среднего значения ряда, вычисленного в окрестности данной точки. Если значение ряда из окрестности данной точки входят с одним и тем же весом, то операция сглаживания называется простым скользящим средним.  Рассмотрим процедуру простого скользящего среднего по четырем точкам.

 
 
 

                                                           -12-

Сначала вычисляется последовательно среднее арифметическое для первых четырех значений:

      y’_ср = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4, 

затем для следующих четырех значений

      y’’_ср = (y2 + y3 + y4 + y5) / 4,

      y’’’_ср = (y3 + y4 + y5 + y6) / 4 и т.д,

Для квартальных  данных вычисленные значения представляют тренд соответственно в точках между 2-ым и 3-им кварталами, между 3-им и 4-ым кварталами, между 4-ым и 1-ым кварталами и т.д. Такое неудобство возникает всегда, если для сглаживания используется база из четного числа точек. В этом случае полученные значения центрируют, применяя к ним процедуру простого скользящего среднего  по двум точкам. Последовательно вычисляем:

y’ = (y’_ср + y’’_{ср) / 2,}

y’’ = (y’’_ср + y’’’_ср) /2   и т.д.

Полученные  значения представляют значения тренда в 3-ем квартале, в 4-ом квартале и т.д.

      Внесем  следующие замечания:

к недостаткам  при определении тренда методом регрессивного анализа можно отнести следующие особенности этой процедуры:

1) а) трудно производить обновление  параметров тренда при получении  новых данных (их нужно рассчитывать  заново);

б) так как оценка тренда и сезонной составляющей обычно проводится итеративно, то объем вычислений при пересчете возрастает.

2. при выделении тренда методами скользящего среднего недостатки     следующие:

а) не оценивается тренд в первых и последних точках ряда;

б) функции тренда в явном виде не определяются;

в) искажаются циклическая и случайная  компонента ряда.

3. тренд должен выражать главную тенденцию ряда, а не следовать за его флуктуациями.

 
 
 
 

                                                           -13-

                 3.  Определение сезонной составляющей ряда (сезон. индексов)

        методом отношения  к скользящему  среднему.

 

      Предположим, что исходный ряд представлен  мультипликативной моделью:

y _t = u_{t *} W_{t *} S_{t *} e_t

      Сезонные  эффекты определяются сезонными  индексами, вычисляемыми для каждого  квартала: S₁, S₂,S₃,S₄ в процентах. Сумма квартальных сезонных индексов S₁+ S₂+S₃+S₄ = 400%.    Если ряд представляет месячные данные, то вычисляются месячные сезонные индексы: S₁, S₂,S₃,... S₁₂; сумма месячных сезонных индексов: S₁+ S₂+S₃+...+ S₁₂ = 1200%.     Рассмотрим вычисление квартальных сезонных индексов. Процедура состоит из нескольких шагов.

      Шаг 1. Выделяется тренд и циклическая  составляющая при помощи процедуры центрированного скользящего среднего по четырем точкам.

      Шаг 2. Вычисляется сезонная и остаточная составляющие в процентах делением исходных данных на значение тренда и циклической составляющей, полученных на шаге 1: y₁ / (центр. скольз. среднее) * 100 = (u_{t *} W_{t *} S_{t *} e_t) / (u_{t *} W_t) * 100 = S_{t *} e_t *100

      Шаг 3. Вычисляются средние результатов шага 2 для каждого квартала S’₁, S’₂,S’₃,S’₄. При этом минимальные и максимальные значения в совокупностях квартальных  данных отбрасывается.

      Шаг 4. Определяется корректирующий коэффициент:

k = 400 / (S’₁+ S’₂+S’₃+S’₄)

      Шаг 5. Определяются скорректированные сезонные индексы: S_i = k*S_i, i = 1,2,3,4, сумма которых в точности равна 400%.

Здесь также требуется  внести некоторые  замечания:

1. Приведенный выше метод определения сезонной составляющей не имеет достаточного математического обоснования, однако широко используется  в практике обработки временных рядов. Имеется несколько модификаций этого метода. В частности: тренд можно определять по уравнению регрессии; при определении сезонных индексов вычисляются не средние арифметические, а медианы; в некоторых случаях рекомендуется применять сглаживание к данным без сезонной составляющей и т.д.

 
 
 

                                                           -14-

2. Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то метод на 2-ом, 4-ом и 5-ом шагах используется так:

      Шаг 2. После выделения тренда и циклической  составляющей, вычитают эти компоненты из исходных данных:   y_t - (u_t +W_t) = S_{t +} e_t

      Шаг 4. Сумма сезонных индексов для аддитивной модели должна быть равна нулю, поэтому  корректирующий коэффициент вычисляется по формуле:

с = (S’₁+ S’₂+S’₃+S’₄) / 4

      Шаг 5. Вычисляют скорректированные сезонные индексы:

S = S’ - c,  i = 1,2,3,4.

3. Если временной ряд представлен месячными данными, то вычисляется двенадцать сезонных  индексов по той же схеме.
4. Качество той или иной модели временного ряда оценивается  по остаточной компоненте, в частности по значению ее дисперсии, некоррелированности остатков (критерий Дарбина-Уотсона), а также по значению ошибки прогноза.

 

4.  Метод прогнозирования

  Прогнозирование  ряда по тренду  и сезонной составляющей.

Для ряда, представленного мультипликативной  моделью:  y_t  = u_t *S_t *e_t, 

t = 1,2,3,...n  

прогнозируемое  значение для t = n + k, , вычисляется по формуле:

  где S_i  - значение сезонного индекса, соответствующего моменту времени n+k, a - прогнозируемое значение тренда. В случае аддитивной модели прогнозируемое значение на момент i = n + k вычисляется по формуле:

 

Для вычисления ошибки прогноза временной ряд y1, y2,...y_n разбивается на две части:

y1, y2,...y_m - значение ряда в период предыстории;

y_m+1, y_m+2,...y_m+l - значение ряда в период прогноза;

где l - прогнозируемый период, m + l = n.

 
 
 

                                                           -15-

Точность  прогноза определяется по средней абсолютной процентной ошибке прогноза (МАРЕ):

 (14),  где У_m+k - фактическое значение временного ряда, - прогнозируемое значение. Ошибка прогноза зависит, таким образом, и от периода предыстории (m) и от периода прогноза (l).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                             -16-

 
 

  Список  использованной литературы:

 

  1) Анализ временных рядов (Э.А.Вуколов)

  2) Регрессионный анализ (Э.А.Вуколов)

  3) Лекции по высшей алгебре А.М.Ревякина