Прогнозирование данных по тренду и сезонной составляющей

 

 

                                                           -5-

	Продажа канцтоваров в 1999,2000,2001,2002,2003 годах
	и прогноз продаж  на 2004 год.
		Аддитивная  модель
		кварталы	объем продаж тыс.$
	1999 год	1квартал	47,8135
		2квартал	230,034
		3квартал	212,053
		4квартал	358,055
	2000 год	1квартал	134,085
		2квартал	329,84
		3квартал	407,014
		4квартал	556,244
	2001 год	1квартал	94,5057
		2квартал	472,408
		3квартал	583,785
		4квартал	758,322
	2002 год	1квартал	115,979
		2квартал	477,786
		3квартал	599,773
		4квартал	796,36
	2003 год	1квартал	314,051
		2квартал	551,322
		3квартал	692,237
		4квартал	1047,92
	2004 год	1квартал	493,566
		2квартал	781,38
		3квартал	885,361
		4квартал	1064,78

 
 

 
 

                                                           -6-

Продажа канцтоваров в 1999,2000,2001,2002,2003 годах
				объем продаж    тыс.$
		1999 год	2000 год	2001 год	2002 год	2003 год
кварталы	1квартал	47,8135	134,085	94,5057	115,979	314,051
	2квартал	230,034	329,84	472,408	477,786	551,322
	3квартал	212,053	407,014	583,785	599,773	692,237
	4квартал	358,055	556,244	758,322	796,36	1047,92

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                           -7-

                                    Теоретическая часть

1. Основные характеристики и компоненты временного ряда

  Временным рядом называется последовательность наблюдений, упорядоченная по времени: y1, у2, .... уn , где у, - числа, представляющие наблюдение некоторой переменной в n равностоящих моментов времени   t = 1,2,...,n. Примерами данных, которые необходимо изучать во времени, являются: цены на товар, деловая активность, национальный валовой продукт. Особенностью, выделяющей анализ временных рядов, является зависимость данных, причем характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности.

  Основные  задачи анализа:

      1) прогнозирование на основе знания прошлого;

      2) сжатое описание характерных особенностей ряда;

      3) управление процессом, порождающим ряд. В теории временных рядов разработаны различные методы исследования и анализа: корреляционный и спектральный анализ, методы сглаживания и фильтрации, модели авторегрессии и скользящего среднего [1 – б ].

  С математической точки зрения временной ряд является реализацией случайного процесса с дискретным целочисленным параметром t. Случайным процессом с дискретным целочисленным параметром t называется се мейство случайных величин {Y(t)}, где параметр t принимает значения из множества целых чисел.

 Случайный  процесс является обобщением  понятия случайного вектора на случай бесконечного числа компонент. Случайный процесс называют также случайной функцией и обозначают как Y(t).

Математическим  ожиданием случайного процесса Y(t) является неслучайная функция m(t) = M[Y(t)]; при каждом значении tm(t) равно математическому ожиданию соответствующей случайной величины. Аналогично определяется дисперсия случайного процесса: D(t) = D[Y(t)].   Важнейшим понятием в анализе временных рядов является автокорреляционная функция:

 

k=0,1,2,…,n-2;  t=1,2,…,n.

 

Оценка автокорреляционной функции по значениям временного  ряда y1, у2,..., уn вычисляется следующим образом. Рассмотрим множество пар: (y1, у2), (у2, у3),..., (уn-1,yn). Это реализации двумерной случайной величины (Y(t), Y(t + 1)), по которым можно вычислить оценку коэффициента корреляции . Аналогично определяется оценка коэффициента корреляции по (n - 2) парам: (y1, у3), (у2, у4),..., (уn-2, yn). Оценки     коэффициента корреляции  по значениям временного ряда называют сериальными корреляциями и обозначают rk. Сериальные корреляции вычисляют по формуле

               (1.1)

 

                                                             -8-                 

                                                                                                                                                                                                               

 

  Если в (1.1) средние значения заменим средним всего ряда y1,..., уn, а в знаменатель подставить оценку дисперсии всего ряда, то формула значительно упростится:

                                                                             (1.2)

 

  где 

  График  значений rk в функции k называется выборочной коррелограммой. Коррелограмма .показывает, насколько сильна линейная зависимость между членами ряда, разделенными (k-1) наблюдениями (k= 1,2,3, ...,n-k).

  Составляющие  временного ряда. В общем случае рассматривают следующие компоненты временного ряда:

  а) тренд - определяющий главную тенденцию временного ряда;

  б) более  или менее регулярные колебания относительно тренда -циклы;

  в) в экономических  рядах регулярные колебания обычно имеют годовую периодичность и называются сезонной составляющей:

  г) остаточные колебания, носящие случайный характер. Временной ряд может быть представлен различными математическими моделями. Пусть Ut- тренд, Wt, t - соответственно циклическая, сезонная и остаточная составляющие.

Аддитивная  модель записывается в виде

               уt= ut+ Wt + St+ t,

                мультипликативная модель имеет вид

                 уt = UtWtSt t, при переходе к логарифмам она сводится к аддитивной модели.

  Если предположить, что сезонная составляющая St пропорциональна сумме тренда и циклической составляющей: St = (ut + Wt)Ct, то временной ряд будет представлен в виде смешанной модели:

yt=(Ut+Wt)(l+Gt)+ t

  Выбор модели зависит от конкретной совокупности явлений, определяющих данный временной ряд, и их взаимосвязей.

  Представление временного ряда в виде той или  иной композиции его компонент естественно  приводит к идее последовательного  выделения этих компонент и прогнозирования на основе полученной модели. Оказалось, однако, что выделение одной какой-либо компоненты дает порой абсурдные результаты.

 
 
 
 
 
 
 
 

                                                             -9-

2. Определение тренда и сглаживание временного ряда

  Пусть временной  рад представляется в виде суммы  тренда и остаточной составляющей:

yt = ut +

t.

  В ряде случаев  тренд является известной функцией времени. Если эта функция зависит  линейно от параметров, то для определения  тренда используются методы регрессионного анализа. Если тренд нельзя представить простой функцией времени на всем рассматриваемом интервале, то применяют методы сглаживания на основе скользящего среднего.

 

2.1. Определение тренда методами регрессионного анализа

a) Рассмотрим определение линейного тренда. Предположим, что тренд описывается линейной функцией:

ut = а + bt

  Оценки  параметров а и Ь вычисляются  из условия минимума суммы квадратов:

Q= (yt-a-bt)².

Из необходимых условий минимума

=0;   =0