Показатели вариации и их значения в статистике

– наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

1.2 Виды  дисперсий и закон сложения  дисперсий.

Наряду с изучением  вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

Выделяют общую, межгрупповую и внутригрупповую  дисперсии.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности:

 

                       где   - общая средняя для всей изучаемой совокупности

 

Межгрупповая  дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних     около общей средней :

где  – средняя по отдельным группам,

        – общая средняя,

           - численность отдельных групп.

 

Средняя внутригрупповая дисперсия  характеризует случайную вариацию в каждой группе. Эта вариация возникает под влиянием других неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки:

  

Существует  закон, связывающий три вида дисперсии (правило сложения дисперсий): общая дисперсия равна сумме средних из внутригрупповой и межгруповой  дисперсии:   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Практическая часть.

2.1 Исходные данные

Номер предприятия	Выпуск товаров и услуг в 1 квартале текущего года, тыс. руб.			Среднесписочная численность работников, чел.		Среднемесячная  стоимость ОПФ в марте
	Январь	Февраль	Март	Февраль	Март
1	2	3	4	5	6	7
43	1869	1912	1950	115	112	1027
44	2060	2110	2195	133	135	1203
45	550	577	603	76	79	468
46	1404	1299	1496	94	92	784
47	1210	1274	1302	79	74	512
48	2045	2190	2300	123	130	998
49	1564	1618	1745	100	97	848
50	772	790	808	76	74	672
51	560	587	613	79	82	448
52	1482	1513	1562	102	97	785
53	1200	1200	1286	77	74	672
54	1020	1000	1178	80	76	800
55	1504	1558	1705	100	96	859
56	1852	1894	1935	115	113	1020
57	1652	1739	1800	103	108	999
58	1562	1618	1598	102	105	845
59	1760	1810	1880	120	114	894
60	1332	1458	1519	95	98	754
61	778	799	832	79	77	596
62	1702	1653	1690	102	98	989
63	1116	1120	1190	86	84	672
64	450	480	500	70	66	395
65	1632	1743	1812	103	108	942
66	1270	1305	1410	92	95	754
67	1742	1703	1720	105	94	939
68	1745	169	1735	103	100	981
69	1855	1900	1920	117	112	1035
70	792	810	828	76	72	593
71	2090	2184	2210	140	142	1048
72	1720	1770	1830	115	103	1280

 

2.2 Группировка статистических данных

 

xi	395	448	468	512	593	596			672		754		784		785		800
mi	1	1	1	1	1	1			3		2		1		1		1
1234567891011
xi	845	848	859	894	939	942			981		989		998		999		1020
mi	1	1	1	1	1	1			1		1		1		1		1
1213141516171819202122
xi	1027	1035	1048	1203	1280
mi	1	1	1	1	1
2324252627

 

Величина равных интервалов определяется по формуле:

 

K=

 

Результаты  группировки и сводки излагаются в виде статистической таблицы.

 

Табл.1 Зависимость между размером предприятия по стоимости ОПФ и выпуском товаров и услуг

№ п/п	Группы предприятий по среднемесячной стоимости ОПФ, тыс. руб.	Количество  предприятий	Выпуск товаров  и услуг в целом по группе, тыс. руб.	Средний выпуск товаров и услуг, тыс. руб.	Изменение среднего выпуска товаров и услуг по сравнению с 1й группой, %
1	2	3	4	5	6
1	395,00-542,50	4	1823	455.75	100
2	542,50-690,00	6	3205	641	140,6
3	690,00-837,50	5	3877	775,4	170,1
4	837,50-985,00	7	6308	901,1	197,7
5	985,00-1132,50	7	7116	1016,6	223
6	1132,50-1280,00	2	2483	1241,5	272,4
Итого		30	24812	827,07	181,5

 

2.3 Ряды распределения

 

xi	500	603	613	808	828	832	1178	1190	1286	1302	1410
mi	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
∑ mi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
xi	1496	1519	1562	1598	1690	1705	1720	1735	1745	1800	1812
mi	1	1	2	1	1	1	1	1	1	1	1
∑ mi	12	13	15	16	17	18	19	20	21	22	23
xi	1830	1880	1920	1935	1950	2210	2300
mi	1	1	1	1	1	1	1
∑ mi	24	25	26	27	28	29	30

 

 

Формула Стерджисса:

 

Расчёт средней  арифметической и показателей вариации

Интервалы по xi							2
500-800*	3	650	1950	3	782	2346	611524	1 834 572
800-1100	3	950	2850	6	482	1446	232324	696 972
1100-1400	4	1250	5000	10	182	728	33124	132 496
1400-1700	6	1550	9300	16	118	708	13924	83 544
1700-2000	11	1850	20350	27	418	4598	174724	1 921 964
2000-2300	2	2150	4300	30	718	1436	515524	1 031 048
Итого:	30	-	43750	-	-	11262	-	5 700 596

*- верхняя граница  включительно.

 

 

Средняя арифметическая для дискретного ряда

 

 

где x_i - варианты признака;

m_i - соответствующие частоты.

Средняя арифметическая для интервального ряда

 

 

где х_срi - центр i-ого интервала;

m_i - частота в i-ом интервале

Мода и  медиана

1) для дискретного ряда

При четном числе  вариантов медиана будет равна  средней арифметической из двух срединных  вариантов.

 

 

2) для интервального ряда

Медианным является первый интервал, для которого ∑m_i превышает половину от общего числа наблюдений. Т.е. интервал 1401,5 - 1702 - медианный.

 

где х_Меmin - нижняя граница медианного интервала;

∆х - длина интервала;

- половина накопленных частот;

ν_m-1 - накопленная частота интервалов, предшествующая медианному интервалу

m_Me - частота медианного интервала.

Мода - это вариант, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду.

1) для дискретного ряда - это вариант с наибольшей частотой.

М_о1 = 1417;

2) для интервального ряда определяют модальный интервал по наибольшей частоте (m_Мо = 10)

 

 

где  х_Моmin - нижняя граница модального интервала;

К - величина интервала;

m_Мо - частота интервала;

m_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

m_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Показатели  вариации

1. Размах вариации:

 

R = x_max - x_min = 2300-500=1800

 

. Среднее линейное  отклонение (для интервального ряда):

 

3. Дисперсия:

 

 

где  - средняя из квадратов значений признака;

- квадрат средней арифметической;

4. Среднее квадратичное отклонение

 

 

5. Коэффициенты вариации:

 

 

2.4 Дисперсия. Виды дисперсий. Закон сложения дисперсий

 

1. Общая дисперсия

 

,

 

где - общая средняя для всей совокупности.

 

xi	mi	xi*mi
500	1	500	932	868 624
603	1	603	829	687 241
613	1	613	819	670 761
808	1	808	624	389 376
828	1	828	604	364 816
832	1	832	600	360 000
1178	1	1178	254	64 516
1190	1	1190	242	58 564
1286	1	1286	146	21 316
1302	1	1302	130	16 900
1410	1	1410	22	484
1496	1	1496	64	4096
1519	1	1519	87	7569
1562	2	1562	130	16 900
1598	1	1598	156	24 336
1690	1	1690	248	61 504
1705	1	1705	263	69 169
1720	1	1720	278	77 284
1735	1	1735	293	85 849
1745	1	1745	308	94 864
1800	1	1800	363	131 769
1812	1	1812	375	140 625
1830	1	1830	393	154 449
1880	1	1880	443	196 249
1920	1	1920	483	233 289
1935	1	1935	498	248 004
1950	1	1950	513	263 169
2210	1	2210	778	605 284
2300	1	2300	868	753 424
Итого:	30	42957		6 581 364

 

 

2. Внутригрупповая дисперсия

 

 

где  - среднее значение признака в i-й группе;

- повторяемость отдельных значений  признака в i-й группе.

 

1 группа

xi	fi	xi * fi
500	1	500	51.5	2652,25
603	1	603	48.5	2352,25
Итого:	2	1103		5004,5

 

 

 

2 группа

xi	fi	xi * fi
613	1	613	238,8	57 025, 44
808	1	808	43,8	1918, 44
828	1	828	23,8	566,44
832	1	832	19,8	392,04
1178	1	1178	326,2	106 406, 44
Итого:	5	4259		166 308,8

 

 

группа

xi	fi	xi * fi
1190	1	1190	205	42 025
1286	1	1286	109	11 881
1302	1	1302	93	8649
1410	1	1410	15	225
1496	1	1496	101	10 201
1519	1	1519	124	15 376
1562	1	1562	167	27 889
Итого:	7	9765		116 246

 

 

группа

xi	fi	xi * fi
1598	1	1598	91.6	8390,56
1690	1	1690	0,4	0,16
1705	1	1705	15,4	237,16
1720	1	1720	30,4	924,16
1735	1	1735	45,4	2061,16
Итого:	5	8448		11613,2

 

 

группа

xi	fi	xi * fi
1745	1	1745	40,6	1648,36
1800	1	1800	14,4	207,36
1812	1	1812	26,4	696,96
Итого:	3	5357		2552,68