Показатели вариации и их значение в статистическом анализе

ign="justify">     Бывают:

           прямолинейные  (линейные)  связи  –  выражены  прямой  линией;

            криволинейные  связи  –  выражены  параболой,  гиперболой.

     По  числу  взаимосвязанных  признаков  различают:

           парные  связи  –  когда  анализируется  взаимосвязь  двух  признаков  (факторного  и  результативного);

           множественные  связи  –  характеризуют  влияние  нескольких  признаков  на  один  результативный.

     По  силе  взаимодействия  различают:

           слабые  (заметные)  связи;

          сильные  (тесные)  связи.

     Кроме  перечисленных,  различают  также  непосредственные,  косвенные  и  ложные  связи.  Собственно,  суть  каждой  из  них  очевидна  из  названия.  В  первом  случае  факторы  взаимодействуют  между  собой  непосредственно.  Для  косвенной  связи  характерно  участие  какой-то  третьей  переменной,  которая  опосредует  связь  между  изучаемыми  признаками.  Ложная  связь  –  это  связь,  установленная  формально  и,  как  правило,  подтвержденная  только  количественными  оценками.  Она  не  имеет  под  собой  качественной  основы  или  же  бессмысленна.

     Таким  образом,  можно  сказать,  что  вариацией  называется  различие  значений  признака  у  отдельных  единиц  изучаемой  совокупности  в  один  и  тот  же  период  или  момент  времени.  Исследование  вариации  в  статистике  имеет  большое  значение,  т.  к.  помогает  изучить  сущность  явления.  Измерение  вариации,  выяснение  ее  причины,  выявление  влияния  отдельных  факторов  дает  важную  информацию  (продолжительность  жизни,  доходы  и  расходы  населения  и  т.  д.)  для  принятия  научно-обоснованных  управленческих  решений.  Основная  задача  статистики  -  определить  наличие,  направление,  форму  и  тесноту  взаимосвязи.

 

2. Абсолютные  и  относительные  показатели  вариации

 

     Абсолютные  измерители  вариации  –  это  размах  вариации,  среднее  линейное  отклонение,  среднее  квадратическое  отклонение,  дисперсия.  Данные  показатели  ограниченно  пригодны  для  сравнительного  анализа  вариаций  различных  совокупностей.  Поэтому  для  этих  целей  используются  относительные  показатели  вариации.  К  ним  относятся  коэффициент  осцилляции,  относительное  линейное  отклонение  и  коэффициент  вариации:

     Рассмотрим,  как  рассчитываются  абсолютные  показатели  вариации:

     1.  Размах  вариации  R.  Размах  вариации  измеряет  разность  между  максимальным  и  минимальным  значениями  варьирующего  признака,  это  наиболее  простой  способ  измерения  колеблемости.  Это  самый  доступный  по  простоте  расчета  абсолютный  показатель,  который  определяется  как  разность  между  самым  большим  и  самым  малым  значениями  признака  у  единиц  данной  совокупности  (3): 

      ,                     (3)

     где  Хmax  – максимальное  значение  признака;

     Хmin  – минимальное значение  признака.

     Размах  вариации  (размах  колебаний)  – это важный  показатель  колеблемости  признака,  но  он  дает  возможность  увидеть  только  крайние  отклонения,  что  ограничивает  область  его  применения.  Для  более  точной  характеристики  вариации  признака  на  основе  учета  его  колеблемости  используются  другие  показатели.

     2.  Среднее  линейное  отклонение  d,  которое  вычисляют  для  того,  чтобы  учесть  различия  всех  единиц  исследуемой  совокупности.  Эта  величина  определяется  как  средняя  арифметическая  из  абсолютных  значений  отклонений  от  средней.  Так  как  сумма  отклонений  значений  признака  от  средней  величины  равна  нулю,  то  все  отклонения  берутся  по  модулю.

     Формула  среднего  линейного  отклонения  (простая)  (4):

      ,                      (4)

     где  n  – количество  признаков.

     Формула  среднего  линейного  отклонения  (взвешенная)  (5): 

      ,                      (5)

     где  f  – вес,  учитывающий степень важности  признака.

     3.  При  использовании  показателя  среднего  линейного  отклонения  возникают  определенные  неудобства,  связанные  с  тем,  что  приходится  иметь  дело  не  только  с  положительными,  но  и  с  отрицательными  величинами,  что  побудило  искать  другие  способы  оценки  вариации,  чтобы  иметь  дело  только  с  положительными  величинами.  Таким  способом  стало  возведение  всех  отклонений  во  вторую  степень.  Обобщающие  показатели,  найденные  с  использованием  вторых  степеней  отклонений,  получили  очень  широкое  распространение.  К  таким  показателям  относятся  среднее  квадратическое  отклонение    и  среднее  квадратическое  отклонение  в  квадрате  ,  которое  называют  дисперсией.  Среднее  квадратическое  отклонение  -  это  корень  квадратный  из  суммы  квадратов  отклонений  индивидуальных  значений  признака  от  их  средней,  т.е.  из  дисперсии.

     Средняя  квадратическая  простая  (6):

                           (6)

     Средняя  квадратическая  взвешенная  (7):

                           (7) 

     4.  Дисперсия  есть  не  что  иное,  как  средний  квадрат  отклонений  индивидуальных  значений  признака  от  его  средней  величины.

     Формулы  дисперсии  взвешенной  и  простой    (8): 

      (8)

     Расчет  дисперсии  можно  упростить.  Для  этого  используется  способ  отсчета  от  условного  нуля  (способ  моментов),  если  имеют  место  равные  интервалы  в  вариационном  ряду.

     Абсолютные  показатели  вариации,  за  исключением  дисперсии,  имеют  те  же  единицы  измерение,  что  и  исследуемый  показатель  вариационного  ряда.  Поэтому,  если  экономическая  интерпретация,  например,  среднего  линейного  отклонения,  проста  и  понятна  физически,  то  в  случае  с  дисперсией  она  затруднена.  Однако  дисперсия  рассчитывается  в  статистическом  анализе  гораздо  чаще,  чем  другие  показатели  вариации.  Связано  это  с  тем,  что  дисперсия  широко  используется  в  таких  видах  статистического  анализа,  как  корреляционный,  регрессионный,  дисперсионный,  при  оценках  результатов  выборочного  наблюдения.  Кроме  того,  именно  с  помощью  дисперсии  можно  оценить  влияние  случайных  и  систематических  факторов  на  формирование  значений  случайной  величины.

     Кроме  показателей  вариации,  выраженных  в  абсолютных  величинах,  в  статистическом  исследовании  используются  показатели  вариации  (V),  выраженные  в  относительных  величинах,  особенно  для  целей  сравнения  колеблемости  различных  признаков  одной  и  той  же  совокупности  или  для  сравнения  колеблемости  одного  и  того  же  признака  в  нескольких  совокупностях.  Как было  сказано выше,  к ним относятся коэффициент  осцилляции,  относительное  линейное  отклонение  и  коэффициент  вариации.  Они могут использоваться  для  сравнения  вариации  одного  и  того  же  показателя  в  разных  совокупностях  (например,  заработной  платы  двух  рекламных  агентств)  или  вариации  разных  показателей  в  одной  совокупности  (например,  вариации  заработной  платы  и  возраста  в  одном  рекламном  агентстве).

     Данные  показатели  рассчитываются  как  отношение  размаха  вариации  к  средней  величине  признака  (коэффициент  осцилляции),  отношение  среднего  линейного  отклонения  к  средней  величине  признака  (линейный  коэффициент  вариации),  отношение  среднего  квадратического  отклонения  к  средней  величине  признака  (коэффициент  вариации)  и,  как  правило,  выражаются  в  процентах.

     Формулы  расчета  относительных  показателей  вариации  (9):

      (9)

     где  V_R  -  коэффициент  осцилляции; 

      -  линейный  коэффициент  вариации; 

      -  коэффициент  вариации.

     Из  приведенных  формул  видно,  что  чем  больше  коэффициент  V  приближен  к  нулю,  тем  меньше  вариация  значений  признака.

     В  статистической  практике  наиболее  часто  применяется  коэффициент  вариации.  Он  используется  не  только  для  сравнительной  оценки  вариации,  но  и  для  характеристики  однородности  совокупности.  Дисперсия  и  среднее  квадратическое  отклонение  недостаточно  полно  характеризуют  колеблемость  признака,  т.к.  показывают  абсолютный  размер  отклонений,  что  затрудняет  сравнение  изменчивости  различных  признаков.  Для  характеристики  колеблемости  явлений  среднее  квадратическое  отклонение  сопоставляют  с  его  средней  величиной  и  выражают  в  процентах.  Коэффициент  вариации  является  самым  распространенным  относительным  показателем  колеблемости.  Он  более  точно  характеризует  различие  колеблемости  признаков.  По  величине  коэффициента  вариации  можно  судить  о  степени  вариации  признаков  совокупности.  Чем  больше  его  величина,  тем  больше  разброс  значений  вокруг  средней,  тем  менее  однородна  совокупность  по  своему  составу  и  тем  менее  представительна  средняя.

     Совокупность  считается  однородной,  если  коэффициент  вариации  не  превышает  33%  (для  распределений,  близких  к  нормальному).  Если  значение  коэффициента  вариации  >  33%,  то  совокупность  неоднородна,  и  для  дальнейшего  статистического  анализа  следует  либо  исключить  крайние  значения  признака,  либо  разбить  совокупность  на  однородные  группы.

     Таким  образом,  абсолютные  и  относительные  показатели  вариации  помогают  в  своей  совокупности  изучить  тот  или  иной  процесс  или  явление  и  служат  для  его  характеристики  с  разных  сторон.  И  абсолютные,  и  относительные  показатели  вариации  широко  используются  в  изучении  социально-экономических  процессов,  пронизывающих  всю  нашу  жизнь. 
 

 

     

3. Виды  дисперсий  и  правило  их  сложения

 

     В  статистическом  исследовании  очень  часто  бывает  необходимо  не  только  изучить  вариации  признака  по  всей  совокупности,  но  и  проследить  количественные  изменения  признака  по  однородным  группам  совокупности,  а  также  и  между  группами.  Следовательно,  помимо  общей  средней  для  всей  совокупности  необходимо  просчитывать  и  частные  средние  величины  по  отдельным  группам.

     Различают  три  вида  дисперсий:

           общая;

           средняя  внутригрупповая;

            межгрупповая.

     Общая  дисперсия  ( )  характеризует  вариацию  признака  всей  совокупности  под  влиянием  всех  тех  факторов,  которые  обусловили  данную  вариацию.  Эта  величина  определяется  по  формуле  (10): 

                      (10) 

     где  -  общая  средняя  арифметическая  всей  исследуемой  совокупности.

     Средняя  внутригрупповая  дисперсия  ( )  свидетельствует  о  случайной  вариации,  которая  может  возникнуть  под  влиянием  каких-либо  неучтенных  факторов  и  которая  не  зависит  от  признака-фактора,  положенного  в  основу  группировки.  Данная  дисперсия  рассчитывается  следующим  образом:  сначала  рассчитываются  дисперсии  по  отдельным  группам  ( ),  затем  рассчитывается  средняя  внутригрупповая  дисперсия    (11): 

                    (11)

     где  n_i  -  число  единиц  в  группе

     Межгрупповая  дисперсия    (дисперсия  групповых  средних)  характеризует  систематическую  вариацию,  т.е.  различия  в  величине  исследуемого  признака,  возникающие  под  влиянием  признака-фактора,  который  положен  в  основу  группировки.  Эта  дисперсия  рассчитывается  по  формуле  (12): 

                       (12)

     где  -  средняя  величина  по  отдельной  группе. 

     Все  три  вида  дисперсии  связаны  между  собой:  общая  дисперсия  равна  сумме  средней  внутригрупповой  дисперсии  и  межгрупповой  дисперсии  (13): 

                        (13)

     Данное  соотношение  отражает  закон,  который  называют  правилом  сложения  дисперсий.  Согласно  этому  закону  (правилу),  общая  дисперсия,  которая  возникает  под  влиянием  всех  факторов,  равна  сумме  дисперсий,  которые  появляются  как  под  влиянием  признака-фактора,  положенного  в  основу  группировки,  так  и  под  влиянием  других  факторов.  Благодаря  правилу  сложения  дисперсий  можно  определить,  какая  часть  общей  дисперсии  находится  под  влиянием  признака-фактора,  положенного  в  основу  группировки.