Показатели активности фондовых

процентов); и2   — срок от момента учета обязательства до даты погашения

долга, И| < п2 •

Задача 10. Пусть на первоначальную сумму долга — вексель 10 тыс. руб. — начисляются проценты по ставке простых процентов / = 12% годовых в течение t = 120 дней.

Тогда сумма получения при учете векселя, будет равна, руб.:

]20 360

. 0

'

- — - 0,2 | = 10 -(1,04 -0,97) =10 088.

360       )

27.2.3. Наращение по простой учетной ставке

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходи­мость при определении суммы, которую надо проставить в век­селе, если задана текущая сумма долга.

Наращенная сумма в этом случае:

1

\-nd

(27.21)

Множитель наращения здесь равен

1

\-nd

448

Заметим, что при п >— расчет лишен смысла, так как нара-

d щенная сумма становится бесконечно большим числом.

Задача 11. По данным задачи 1 определите наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке d = 30%.

449

Решение.

Наращенная сумма, тыс. руб.

5 = Р—-—=10-

• = 11,36.

27.2.4. Дисконтирование по сложным годовым учетным ставкам

Дисконтирование по сложной годовой учетной ставке осуще­ствляется по формуле:

P = S(l-dc)a,                        (27.22)

где dc — сложная годовая учетная ставка, дисконт Д = S — Р .

Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке про­исходит с замедлением, так как на каждом этапе во времени учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при учете по простой учетной ставке), а к сумме, меньшей на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге.

Задача 12.  Какова сумма дисконта финансового инструмента на сумму 5 тыс. руб., если срок его погашения равен 3 года, а поку­патель применял сложную годовую учетную ставку, равную 8%? Первоначальная сумма, тыс. руб.:

Р = S (1 - dc)" = 5(1- 0,08)3 = 3,893; Дисконт, тыс. руб.: Д = S -Р = 5 - 3,893 = 1,107.

27.2.5. Дисконтирование по сложной учетной ставке т раз в году

В этом случае применяют номинальную учетную ставку/. Дисконтирование по сложной учетной ставке т раз в году:

(27.23)

Задача 13. Продолжим задачу 12. Пусть дисконтирование по сложной учетной ставке производится не один, а 4 раза в году, то­гда m = 4; f = 0,08; m=12. Найти первоначальную сумму.

Сумма дисконта: 5000 - 3923 = 1077 руб.

27.2.6. Наращение по сложным учетным ставкам

Выше рассматривалось наращение по сложной ставке про­центов. Иногда наращение достигается и с помощью сложной учетной ставки. Из формулы (17.22) следует:

Наращенная сумма по сложной учетной годовой ставке:

S = P----------.                          (27.24)

(\-dc)"

Значения множителя наращения (l-dc)" помещены в специ­альной таблице.

Задача 14.  Найти  наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого 10 тыс. руб., срок погашения — 2 года. В контракте предусматривается сложная учетная годовая ставка в размере 10%. Решение.

1

5 = 10--

= 12,346 тыс.руб.

450

27.2.7. Наращение по сложной учетной ставке т раз в году

В этом случае применяют номинальную учетную ставку f. Наращенная сумма по сложной учетной ставке т раз в году.

S = P-----L----.                             (27.25)

(1 + i-)nm

т

Задача 15. Продолжим задачу 14. Пусть наращение по учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в году. Найти нара­щенную сумму долга.

Условия:                                           Решение:

/=0,1

m = 4

тп = 4 -2 = 8                           ([~'Т)

S-?

27.3-Наращение процентов и инфляция

В рассматриваемых выше методах наращения все денежные величины применялись по номиналу, т. е. не принималась во внимание реальная покупательная способность денег. Вместе с тем инфляция стала неотъемлемым элементом экономического развития, которую необходимо учитывать при проведении фи­нансовых операций.

451

= 10

= 12, 245 тыс.руб.

Изменение покупательной способности денег характеризуется с помощью индекса покупательной способности денег (рубля) /пср. Этот индекс равен обратной величине индекса цен:

'п.с.р=т--                               (27.26)

р

Тогда реальная наращенная сумма денег (с учетом ее обесце­нивания):

С = 5-/„.,„.                            (27.27)

Если наращение производится по простой ставке, реальная наращенная сумма (с учетом инфляции) равна:

С = р.1±^..                             (27.28)

Видим, что увеличение наращенной суммы с учетом сохра­нения покупательной способности денег имеет место тогда, ко­гда 1 + ni > Ip.

При наращении по сложным процентам реальная наращенная сумма (с учетом инфляции):

С = />.<1±^1.                             (27.29)

ip — индекс цен за весь период наращения (несколько месяцев):

'p = ipfip2'ip3-ipn,                       (27.30)

где ipK — индекс цен за каждый месяц (к=\,2,..., п).

Задача 16. На сумму 15 тыс. руб. в течение 3 месяцев начисляют­ся простые проценты по ставке 30% годовых (КТ<№- 360). Ежеме­сячная   инфляция  составляет  3%.   Определите (реальную с учетом обесценивания) сумму. Решение. Индекс цен:

/, = 1,09 • 1,09 • 1,09 = 1,295 .

Реальная наращенная сумма с учетом инфляции, тыс. руб., равна: ,    t   .        ,     90   п„

погашаемую

= Р-

I,

= 15-

1,295

= 12,452.

Аналогичен расчет по сложным процентам.

27.4. Консолидация платежей

В практической деятельности возникает необходимость из­менения условий контракта — объединение (консолидация) не­скольких платежей, замена единовременного платежа рядом по­следовательных, изменение сроков платежей. Основным требо-

452

ванием при совершении операций является финансовая эквива­лентность платежей.

Общий метод решения задач — построение уравнения эквивалентности.

При объединении платежей сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству.

Уравнение эквивалентности при применении простых процент­ных ставок имеет вид:

S0=^Sj(l + tj.i),                        (27.31)

где 5   — суммы объединяемых платежей; и0 — срок консолидированного платежа; п   — сроки объединяемых платежей, причем: п0 > пт ; t. =(и0 - п}) — временной интервал между сроками.

Задача 17.  Решено консолидировать три платежа со сроками 17мая, 17 июня и 17 августа. Сумма платежей соответственно 10, 20, 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31 августа.  Опре­делите   сумму консолидированного платежа, при условии, что ставка процентов равна 10% годовых.

Решение.

Сумма консолидированного платежа (уравнение эквивалентно­сти) будет равна, тыс. руб.:

sq   =  J|   + S2   + 03   !

27.5 Методы составления планов погашения

обязательств

Современные финансово-банковские операции часто пред­полагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задол­женности в рассрочку. Такие последовательности, или ряды платежей называются потоком платежей, отдельный элемент этого потока — членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финан-

453

1

совой рентой, или просто рентой, а иногда аннуитетом. Например, выплаты в рассрочку страховых премий, процентов по облигации и т.д. Во всех приведенных случаях выплаты или получение денег производится через равные промежутки времени. По количеству вы­плат (членов ренты) на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р - срочные (р — количество выплат в году).

По количеству начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением.

Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответ­ствующие ренты называются обыкновенными, или постнумерандо, если платежи производятся в начале периодов, то ренты назы­ваются пренумерандо.

27.5.1. Обыкновенная годовая рента

Рассмотрим   наиболее   простой   способ   составления   плана ежегодного   последовательного   погашения   задолженности    н а примере  полученного в банке кредита на п лет под простые проценты по ставке / процентов годовых.

Задача 18. Какими суммами следует погашать долг 100 тыс. руб. при условии, что средний срок долга составляет 5 лет, ставка простых процентов - 40% годовых, а долг погашается равномерны­ми платежами в конце каждого года.

Решение:

1.  Сумма ежегодного платежа, тыс. руб., равна: R = - = 20.

2.  Определяем сумму процентных платежей для каждого года из пяти лет (сумма процентных платежей находится по простым про­центам как  Р • i , где  Р  — первоначальная сумма долга, которая с каждым годом уменьшается на  величину предыдущего процентного платежа), тыс. руб.:

для 1-го года: 100 + 0,4 = 40;

для 2-го года: (100 - 40) 0,4 = 24;

для 3-го года: [100 - (40 + 24)]0,4 = 14,4;

для 4-го года: [100 - (40 + 24 + 14,4)] 0,4 = 8,64;

для 5-го года: [100 - (40 + 24 + 14,4 + 8,64)] 0,4 = 5,184.

3.  Определяем сумму поручений (срочных уплат) по годам при условии погашения долга равными долями, тыс. руб.:

454

для 1-го года: 20 + 40 = 60;

для 2-го года: 20 + 24 = 44;

для 3-го года: 20 + 14,4 = 34,4;

для 4-го года: 20 + 8,64 =*28,64;

лля 5-го года: 20 + 5.184 = 25.184; Всего: 192,224 тыс. руб.

Если бы должник отдавал весь долг в конце срока ссуды (через 5 лет), то он заплатил бы, тыс. руб.:

S = P(l + ni) = 100 • (1 + 5 • 0,4) = 210.

Таким образом, при ежегодном погашении долга равными до­лями должник получает экономию, тыс. руб.: 210 - 192,224 = 17,776.

Контрольные вопросы

1.     Что собой представляют финансовые вычисления?

2.     Что такое «процентные деньги» ?

3.    В чем отличие наращения денег по простым и сложным процентам ?

4.    Назовите формулы наращения по простой процентной ставке.

5.    Какой процесс называется капитализацией процентов?

6.    Назовите формулы наращения по сложным процентным ставкам.

7.    Как  осуществляется  определение  наращенной  суммы  по смешанным процентным ставкам ?

8.     Что такое номинальная и эффективная ставки? Назовите область их применения.

9.     Что понимают под современной величиной полученной ссуды?

10.  В чем сущность и назначение метода математического дисконтирования ?

11.  В чем суть операции банковского учета (учета векселей)?

12.  Как осуществляются дисконтирование и наращение по про­стым и сложным учетным ставкам?

13.  Как учитывается инфляция при нахождении реальной на­ращенной суммы по простым и сложным процентам?

14.  В чем сущность консолидации платежей?

15.  Кем исчисляется сумма консолидированного платежа?

16.   Что такое «финансовая рента» или «аннуитет» ?

17.  Охарактеризуйте методику составления плана последова­тельного погашения задолженности.

\

455