Показатели активности фондовых

Временной интервал, за который начисляют проценты назы­вается периодом начисления. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления (простые проценты) или присоединяться к основной сумме долга (сложные проценты).

Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов называют наращением или ростом этой суммы, а саму сумму наращенной.

Процентные ставки могут быть фиксированными, дискретно изменяющимися и непрерывными.

27.1.2. Наращение по простой процентной ставке

Простые процентные вычисления применяются в финансовых обязательствах, как правило, на срок не больше года. При про-

440

стых процентах расчеты производятся исходя из постоянной ба­зы, в качестве которой выступает первоначальная сумма долга. Под наращенной суммой понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Наращенная сумма определяется умножением начальной суммы

на множитель наращения.

Для записи формулы наращения простых процентов примем

обозначения:

/ — проценты за весь срок ссуды; Р — первоначальная сумма долга;

S — наращенная сумма, или сумма в конце срока;

/ — ставка наращения (десятичная дробь);

п — срок ссуды (в годах).

Срок ссуды обычно измеряется в годах, соответственно / — годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. На­численные за весь срок проценты составят / = Pni.

>   Тогда наращенная сумма (формула простых процентов):

S = P + I = P = Pni = P(l + ni),           (27.1)

где ( 1 + ni) — множитель наращения простых процентов.

Проценты за весь срок ссуды составляют:

Из формулы (27.1) можно выразить:

>   продолжительность инвестирования (срок ссуды):

п =

величину процентной ставки:

. _ S - Р Р-п

(27.2)

(27.3)

При сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору.

Величину п — общий срок ссуды выразим в виде дроби:

п = •

где t — число дней ссуды;

к — число дней в году, или временная база.

При расчете простых процентов предполагают, что к = 360 (12 месяцев по 30 дней) — это обыкновенные, или коммерческие проценты, или к = 365, 366 дней — точные проценты.

>   Наращенная сумма (при краткосрочных ссудах):

-^•0 к

(27.4)

441

Записав формулу (27.4) как:

находим срок ссуды:

P-i

величину процентной ставки:

S-P

г =---------к .

Pt

(27.5)

(27.6)

Задача 1. Кредит на сумму 10 тыс. руб. погашен через 6 месяцев. Какова наращенная (конечная) сумма, если клиент выплачивает банку 30% годовых?

Решение.

Наращенная сумма, тыс. руб.: t

Условия Р= 10 тыс. руб. t = 6 мес. = 180 дн.

к = 360 дней

180

„,.     1 0,3) =

Процентные деньги, тыс. руб.:          '

/ = S - Р = 11,5 -10 = 1,5 тыс. руб.

Задача 2. Заемщик взял банковский кредит в размере 10 тыс. руб. и вернул через 9 месяцев 12 тыс. руб.  Определите процентную ставку, под которую был взят кредит. Условия:                                              Решение.

Р = 10 тыс. руб.                                     {                S - Р                   "

/=270 дней                    S=P(~l+l^'^

5= 12 тыс. руб.

P-t

к = 360

(12-10). 360 10 • 270

= 0,27, или 27%.

> Если ставка процентов изменяется во времени, то нара­щенная сумма (простые переменные ставки), будет определяться но формуле:

5 =

«2/2 +.

«,/,),

(27.7)

где / — ставка простых процентов в периоде с, п — продолжительность периода.

Задача 3. Вкладчик поместил в банк 2 тыс. руб. Какова бу­дет наращенная сумма вклада за 3 месяца, если за первый месяц начисляются проценты в размере 20% годовых, а каждый месяц процентные ставки возрастают на 3%?

Решение.

Наращенная сумма, тыс. руб.:

: = 2.|1+^.0,2-   3°

360

360

.023 '

.21.0,261 = 2,115. 360

27.1.3. Сложные проценты

В средне - и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а при­соединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применя­ются сложные проценты. В соответствии с этим процесс роста пер­воначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что на каждом этапе во времени (раз или несколько раз в год — каждый квартал, месяц и т.д.) начисленные проценты присоединя­ются к сумме, которая служила базой для их определения. Такой процесс называют капитализацией процентов.

Наращение по сложным процентам можно рассматривать как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

2 7.1.4. Наращение по сложным процентным ставкам

Пусть проценты капитализируются один раз в год (годовые про­центы) на протяжении п лет.

Очевидно что в конце первого года проценты равны величи­не Р • /, а наращенная сумма составит: Р + Р • i = Р(\ + /). К концу второго года она достигнет величины: Р(\ + /) + Р(\ + /) • / = Р(1 + О2 и т.д.

В конце п -го года наращенная сумма по сложным процентам:

S = Р(\ + /)".                            (27.8)

Проценты за этот период равны / = S • Р = Р\(\ + /)" -1] и уве­личиваются с каждым годом.

Величину (1 + 0"  называют множителем наращения сложных

процентов.

Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов для п, равных от 1 до 50, 60, 70, 80,

90, 100 лет.

Если п > 50 и является целым числом, то искомую величину находят как произведение табличных значений для   и,   и   пг

(п = п{ + п2].

Например: (1 + О62 = (1 + <)6° • (1 + О2 •

Задача 4. В   какую  сумму  обратится долг, равный 10 тыс. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 10% годовых?

443

442

Решение.

Наращенная сумма по сложным процентам, тыс. руб.:

S = P(\ + /)" = 10 • (1 + 0,1)5 = 10 • Ц5 = 16,105. (расчет делаем с точностью до последней денежной единицы).

27. 1.5 -Определение наращенной суммы по смешанным процентным ставкам

Наращение по смешанным процентным ставкам применяет­ся для случаев, когда п не является целым числом:

S = Р(\ + if" (\ + nbi);   n = na + nb,               (27.9)

где, па — целое число лет; пь — дробная часть года.

Сопоставление  формул наращения по простым и сложным процентам позволяет сделать  вывод:

если я <  1, то (1 + я/) > (1  + /)"   — сложные проценты

меньше простых; если я =1, то (1  + я/) = (1 + /)"   — сложные проценты

равны простым; если п > 1 , то (1 + я/) < (1 + /)"   — сложные проценты

больше простых; где п — число периодов начисления процентов.

27 . 1 .6. Эквивалентные ставки

Записав равенство, найдем ставку простых процентов, экви­валентную ставке сложных процентов:

1 +л/п  =(1 +/с)", где /п — ставка простых процентов;

'   -

(27.10)

/с — ставка сложных процентов;

(27.11)

Эквивалентные ставки существенно зависят от срока на­числения я.

27.1.7. Номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются обыч­но не один, а несколько, т раз в году: по полугодиям, кварталам

444

и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют ежедневное начисление процентов.

В таком случае годовая ставка называется номинальной став­кой процентов и обозначается через / Тогда при т раз начисле­ний процентов в году ставка, действительно начисляемая в каж-

дом периоде, будет равна:

т

т

Формула наращения сложных процентов (при т раз начисле­ний в году,):

(27.12)

J__ т

Увеличение т приводит к более быстрому процессу нараще­ния, так как чаще происходит капитализация процентов. При большом числе периодов наращенная сумма может достичь ас­трономической величины, поэтому нельзя допускать возмож­ность помещать капитал на очень большой срок.

Задача 5. Изменим одно условие в задаче 4. Пусть теперь проценты начисляются поквартально. Требуется  найти  наращенную сумму. В этом случае: п = 5 лет; т = 4 квартала. Решение. Наращенная сумма, тыс. руб.:

1 +   -т

,-. . \

^-      =10(1,025)20=: 16,386.

4

27. 1.8. Эффективная ставка

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка дает

тот же процент, что и т - разовое наращение в год по ставке — .

m

Обозначим эффективную ставку через /, поскольку она явля-

ется годовой.

Множители наращения по определению должны быть равны:

т

Следовательно, эффективная ставка'.

/=    +^    -1. т

(27.13)

Как видим, эффективная ставка при т > 1 больше номи­нальной, при т = 1 равна ей: / — j.

445

Замена в договоре номинальной ставки j при w-разовом на­числении процентов на эффективную ставку / не изменяет фи­нансовых обязательств участвующих сторон, так как обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Задача 6. Какова эффективная ставка, если номинальная ставка

равна 25% при помесячном начислении:

Л"    ,    Г, , 0,25^12

^-    -1=1 + т             I        12

•1=0,28073.

Для сторон безразлично: применять ли ставку 25% (при помесячном начислении), или годовую ставку 28,073%.

При подготовке контрактов может возникнуть необходи­мость и в решении обратной задачи — определение j по задан­ным значениям / и т.

Находим номинальную ставку.

=т-\

(27.14)

Задача 7. В какой банк выгоднее поместить деньги сроком на 2 года в сумме 3 тыс. руб. на депозитный вклад: в первый банк под 6% годовых с ежеквартальной капитализацией или во второй банк под 4% годовых с ежемесячной капитализацией?

Решение.

Наращенная сумма, руб.:

г           . \ тп             /         ~ ~s N

в первом банке: 5 = Р-\\+±-'        °  ' ' '    '

т

= 3-1 +

= 3379.;

во втором банке: 5 = 3-  1 +

0,04 7Г

12-2

= 3249.

Следовательно, деньги выгоднее помещать в первый банк. Для сравнения: под простые проценты наращенная сумма составит, руб.: S = Р • (/ + ni) = 3 • (1 + 2 • 0,06) = 3360.

27.2. Математическое дисконтирование и банковский учет

В финансово-кредитных расчетах важную роль играет фак­тор времени. Это объясняется принципом «неравноценности» де­нег на разные временные даты. В связи с этим нельзя суммиро­вать деньги на разные моменты времени.

Для сопоставимости денег, относящихся к разным датам, при­бегают к дисконтированию, т. е. приведению к заданному моменту времени. Дисконтирование осуществляется при покупке банком или другим финансовым учреждением краткосрочных финансовых обя­зательств (векселей, тратт), оплата которых производится в будущем.

446

Следовательно, ставится задача, обратная определению на­ращения процентов: по заданной сумме 5, которую следует уп­латить через некоторое время п, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. В этих случаях говорят, что сумма 5 дис­контируется или учитывается. Сам процесс начисления про­центов и их удержание называют учетом, а удержанные процен­ты (разность S — Р = Д) — дисконтом (discont).

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, на­зывают современной, капитализированной (приведенной) вели­чиной суммы S.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода  дисконтирования: математическое дискон­тирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

2"J,2.1. Математическое дисконтирование

При математическом дисконтировании современная капита­лизированная величина суммы S определяется из уравнения (27.1):

S = Р (1 + ni), 1

р = S—!— , или Р=5(1 + и/У 1 + ni

(27.15)

где

1 1 + ni

дисконтный множитель, который показывает, какую

долю составляет первоначальная величина долга Р в окончательной его сумме S. Разность 5 — Р можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы 5, т. е. Д = 5 — Р.

Задача 8. Через 180 дней после подписания контракта должник уплатит 5 тыс. руб. Кредит выдан под 48% годовых.   Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна

365 дней.

Решение.

Согласно формуле (27.15) находим Р, тыс. руб.:

Условия: S = 5 тыс. руб. t = 180 дней к = 365 дней

Р-1

Р =

1 + ni

= 4,043.

Дисконт Д, тыс.руб.: = 8-Р = 5- 4,043 = 0,957 .

Заметим, что по соглашению сторон дисконт может быть ус­тановлен и в виде абсолютной величины для всего срока (без расчета по формуле).

447

27.2.2. Банковский учет (учет векселей)

Суть операции учета векселя заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству при­обретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, ука­занной на векселе, т. е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т. е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя не в полном объеме, однако раньше указанного срока.

При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта, или сумма учета, удерживаемая банком, равен Snd.

Таким образом, сумма, выплачиваемая при учете векселя, бу­дет равна:

Р = S - Snd = S (1 - nd),                 (27.16)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя;

(/ — nd) — дисконтный множитель.

Подставляя в формулу (27.16) значение п = — , имеем:

к

= S(\--d).

к

Из формул (27.16) и

,       S-P

срок ссуды: п =-------,

Sd

величину учетной ставки: d =

(27.17) находим:

или в днях: t =

S-P

S-P

, или в днях: d =

Sd S-P

(27.17)

(27.18) .(27.19)

с     , ------- .........       с

Sn                                  St

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе к= 360 дней, число дней ссуды обычно бе­рется точным.

Задача 9. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 10 тыс. руб. с уплатой 17 ноября. Владелец векселя учел его в банке 23. сентября по учетной ставке 20%. 1 )Определить каков доход банка? 2)Сколько денег владелец тратты получил в банке?

Решение.

Так как оставшийся до конца срока период равен 55 дням, то полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) составит, тыс. руб.:

= S-Snd = S(l-nd)=S\\ --d  =10 -И ---. 0,2   = 9,703.

2) Доход банка, тыс. руб. 10 - 9,703 = 0,297.

Учет платежного обязательства с начислением простых процентов

Операция начисления простых процентов и дисконтирование по учетной ставке могут совмещаться, например, при учете пла­тежного обязательства, предусматривающего начисление простых

процентов.

Сумма, выплачиваемая при учете обязательства с начислени-

ем простых процентов:

/1,0(1 -М).                   (27.20)

где Р} — первоначальная сумма ссуды;

и,   — общий срок платежного обязательства (срок начисления