Планирование и организация производства

 

    Дисперсия неадекватности по формуле (19):

     = 0,0225/(8-6) = 0,01125%²  т.к. N = 8, а N′ = 6

     < , расчетное значение критерия Фишера по формуле (21):

     = 0,02/0,01125 = 1,8

    По  приложению f1 = N(m-1) = 8*(3-1) = 16

    f2 = N - N′ = 8 – 6=2

     = 3,634, т.е. .

    На  этом основании, с вероятностью 0,95, полученное уравнение адекватно  экспериментальным данным. 

    5 Анализ получения эффективного описания процесса без учёта квадратичных эффектов факторов 

    Оценкой суммарного квадратичного эффекта  факторов будет являться

    разность:

                                               .                                                       (23)

    Если  эта разность при заданной вероятности  значима, то необходимо переходить к  планам 2-го порядка, позволяющим получить квадратичное описание процесса.

    Процедура проверки осуществляется в следующем  порядке:

1. рассчитывают среднеарифметическую оценку результата опыта и

  оценку дисперсии в центре эксперимента (принимают имеющиеся);

2. рассчитывают оценку дисперсии среднего результата по формуле:

                                   ,                                 (24)

    где - число опытов в центре плана;

3. оценку разности дисперсии рассчитывают:

                                                 (25)

   где N – число опытов ПФЭ (для ПФЭ , N = 8);

4. доверительную ошибку разности определяют:

                                      ,                                      (26)

    где - критерий Стьюдента по приложению;

    5)  если < , то с заданной вероятностью можно считать эту разность значимой. В уравнение необходимо включать оценки квадратичных эффектов факторов, при этом по результатам реализации плана ПФЭ невозможно получить хорошую математическую модель процесса.

    Если  > , то квадратичные эффекты в уравнении можно не представлять.

    Проведем  анализ получения эффективного описания процесса без учета квадратичных эффектов факторов для нашего примера. По данным задания, в центре плана  = 4,2. Разность по варианту задания:

    Оценка  дисперсии в центре эксперимента по формуле (24):

     %² 

    Оценка  дисперсии суммарного квадратичного  эффекта при условии, что     и %²  по формуле (25):

     %²  ; = 0,15%

    Число степеней свободы f = ( -1) + N(m-1) = (3-1)+8*(3-1) = 18,

    По  приложению, t(0,95;18) = 2,1

    Доверительная ошибка по формуле (26):

    

= 2,1 * 0,15 = 0,315%

    

= >0,315%

    Разность  с заданной вероятностью можно считать значимой. В уравнение необходимо включать оценки квадратичных эффектов факторов, при этом по результатам реализации плана ПФЭ невозможно получить хорошую математическую модель процесса. 

    6  Расчет программы оптимизации без учета квадратичных эффектов факторов 

    Обычно  качество процесса характеризуется  несколькими функциями 

    отклика, причем невозможно достигнуть одновременного экстремума всех функций. Например, максимальная производительность оборудования и минимальная себестоимость продукции чаще всего достигаются при различных технологических режимах.

    Важно отметить, что как влияющие факторы, так и функция отклика могут  изменяться только в определенных пределах. Так, например, температура и давление в аппарате не могут выходить за рамки безопасных пределов. Следовательно, оптимизацию процессов, как правило, осуществляют в условиях ограничений  на влияющие факторы и функции  отклика.

    Величина, численно характеризующая уровень  оптимизации процесса, называется критерием  оптимальности. В частном случае критерием оптимальности может  быть одна из функций, характеризующих  процесс.

    Оптимизация процесса представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается максимум критерия оптимальности (с учетом ограничений, наложенных на все влияющие факторы  и функции отклика). То есть необходимо определить экспериментально координаты экстремальной точки ( _{, ,…,} ) функции . Рассмотрим движение поверхности отклика. Известно, что движение по кратчайшему пути – это движение по градиенту перпендикулярно линиям y = const. Для функции градиент:

                                                                                        (27)

    Предполагается, что функция f непрерывна, дифференцируема, однозначна и не имеет особых точек. Д. Бокс и К. Уилсон предложили шаговый метод движения по поверхности отклика, в котором используется линейная модель:

                              

                                               (28)

    Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для оптимизации следующий метод, называемый методом крутого восхождения. Сущность такой оптимизации состоит в следующем.

    Пусть, например, критерием оптимальности  служит функция отклика y, представленная в виде уравнения множественной регрессии на шаг варьирования. Например, для первого фактора это произведение равно .

    Затем для базового фактора вычисляют  шаг движения , с которым будет осуществляться оптимизация. Обычно .

    После этого вычисляют отношение 

                                                                                                           (29)      

    Для всех остальных факторов шаги движения к оптимальным условиям рассчитывают по формуле

                                                = .                                                         (30)

    Значение  всех нужно округлять.

    Коэффициент не имеет знака. Знак шага движения определяет знак соответствующего коэффициента :

     - если функция отклика должна  достигать максимального значения, то знаки совпадают;

    - если функция отклика должна  стремиться к минимуму, то знаки  изменяют на противоположные.

    Выполним  расчет программы оптимизации без  учета квадратичных эффектов факторов.

    Уравнение регрессии:

    

    Центр эксперимента:

    

 °С; атм; мин

    Интервалы варьирования:

    

 °С; атм; мин

    Наибольшее  по модулю значение коэффициента для времени насыщения СО₂ . Примем шаг движения для времени

    

= 8 мин( ).

    Вычислим  отношение по формуле (29):

    

=8/(0,9125*25)=0,35

    В нашем случае значение функции отклика (сатурация воды) должна быть максимальной (но не выше 100%), поэтому знаки шага движения и соответствующего коэффициента совпадают.

    Примем  шаг движения  для температуры и давления по формуле (30):

    

= =0,35*(-0,2125)*3= -0,2231°С

                                        = =0,35*0,7125*0,5=0,12 атм

    В таблице 7 приведена программа оптимизации методом Бокса-Уилсона для числа опытов N =4. 

    Таблица 7 – Программа оптимизации

 

      

      %;

      %;

     %.

    Имеется основное ограничение –время не может быть больше 60 минут, а давление 2 СО₂ атм. Следовательно, оптимальный процесс сатурации воды будет находиться в следующих диапазонах изменения факторов, приведенных в таблице 8. 

    Таблица 8 – Диапазоны изменения факторов для оптимальной дегустационной оценки

 
 

    7   Метод дробных реплик 

    С увеличением количества факторов резко  возрастает количество опытов полного  факторного эксперимента (ПФЭ). Это  видно из уравнения (1). Однако для  нахождения коэффициентов регрессии  не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить  объём экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных  реплик или дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

    Рассматриваемый метод заключается в том, что  для нахождения математического  описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: ½, ¼ и т.д. Эти системы опытов называют дробными репликами. Чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. Число опытов при этом должно быть больше (или равно) числа неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.

    Анализируются условия смешивания оценок, чтобы  в максимальной степени разделить  оценки интересующих эффектов. Для  этого:

     - добавляют несколько столбцов  произведений факторов и из  них выбирают столбец, который  будет использован для получения  линейной оценки дополнительного  фактора (например, X3 = X1*X2);