Планирование и организация производства

    1   Полный факторный эксперимент 

    Суть  математического планирования эксперимента заключается в том, чтобы получить математическое описание процесса, т.е. нужно получить некоторое представление  о функции отклика в виде:

    y  = (х1,….,хn),                                                      (1)

    где y – полученное для каждого выходного параметра уравнение связи с

выходными параметрами (факторами);

х1,….,хn – независимые параметры процесса (факторы).

    Область изменения параметров называется факторным  пространством. Геометрический образ, соответствующий функции отклика  – это поверхность отклика. Факторами  могут быть: давление, температура, рН и т.д. Численное значение любого фактора должно устанавливаться независимо от значений других факторов.

    Для применения математического планирования необходимо, чтобы опыты были воспроизводимыми (дисперсии однородны). Рассматривают  случаи с нормальным распределением ошибок.

    Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой  локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности точки  с координатами (х01,х02,….,х0n).

    Перейдем  к кодированным переменным Хi:

    Хi = ,                                                          (2)

    где i = 1,2, …, n.

    Полным  факторным экспериментом называют систему опытов, содержащую все возможные неповторяющиеся комбинации варьирования факторов. Он служит для получения математического описания процесса в виде  

    отрезка ряда Тейлора:

     ,         (3)      

    где = y (0,…, 0) – значения функции отклика в начале координат

(центре плана);

     - соответствующие частные производные:

, , и т.д.                                                                (4)

     При этом обычно отделяют линейную часть разложения и члены, содержащие произведения факторов  в первой степени. Таким образом, удается найти уравнение локального участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика.

    Чтобы подчеркнуть, что уравнение несет  на себе отпечаток погрешностей эксперимента, в уравнении вместо символов β, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

    Таким образом, получают уравнение:

        (5)       

    Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами регрессии. 

    1.1 Построение плана полного двухуровнего трёхфакторного эксперимента (ПФЭ )

    Для удобства вычислений коэффициентов  регрессии все факторы варьируются  на двух уровнях, соответствующих значением  кодированных переменных +1 (верхний) и -1 (нижний).

    В таблице 1 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента 2³.  

    Таблица 1 – Полный трехфакторный эксперимент 2³

 

    Из  таблицы видны основные принципы построения матриц планирования ПФЭ:

    - уровни варьирования первого  фактора чередуются от опыта  к опыту;

    - частота смены уровней варьирования  каждого последующего фактора  вдвое меньше, чем у предыдущего.

    Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:

                  ;                                                               (6)

                                               ;                                                              (7)

                                               ,                                                          (8)

    где N – число опытов ПФЭ;

    u – номер опыта;

    i,j – номера факторов (i ,  j).

    Свойство, выраженное уравнением (8), называется ортогональностью.

    Планы, удовлетворяющие условию (8), называются ортогональными планами  . Для того чтобы в уравнение регрессии добавить новые взаимосвязи переменных нужно расширить матрицу планирования столбцом и столбцами, содержащими новые связи. При этом необходимо, чтобы число опытов N удовлетворяло условиям:

     ,                                                          (9)

    где k – число факторов.

    Общее количество опытов в матрице планирования:

                                                                                                                   (10)

    где n – число факторов. (Если бы каждый фактор менялся не на 2, а на m

уровнях, то опытов было бы ). Поэтому матрицу планирования

называют  .

    Если  обозначить верхний уровень фактора  как  , а нижний - , то центр эксперимента для планов ПФЭ и :

                                               = .                                                    (11)

    Интервал  варьирования будет определяться из выражения

                                                .                       (12) 

    Уравнение, описывающее процесс, будем искать в виде частного случая выражения (5):

    

                           (13) 

    Центр эксперимента по формуле (11):

                                       °С;

     

атм;

     

мин

    Интервалы варьирования по формуле (12):

                                     °С;

                                     атм;

                                     °С

    План  эксперимента можно записать следующим  образом, приведенным в таблице 2. 

    Таблица 2 – План ПФЭ в различном выражении факторов

 

    Изображение области исследования в различных системах приведено в Приложении А, (рисунок А 1 – План ПФЭ в объёме при натуральной размерности факторов, рисунок А 2 - План ПФЭ в безразличном выражении факторов. 

    1.2 Построение плана полного трехуровнего трехфакторного эксперимента (ПФЭ ) 

    Трехуровневые планы относятся к планам второго  порядка. Минимальное число опытов для 3-х факторов N = = 27, при трех уровнях изменения переменных –(-1;0;+1). В таблице 3 приведем пример составления плана ПФЭ в безразмерном выражении факторов. 

    Таблица 3 – План ПФЭ