justify"> 

Решение.

Коэффициент рождаемости вычисляется по формуле:

     Кр= Чр/Чн= 1,46/144,2 = 0,0101

Коэффициент смертности вычисляется по формуле:

     Кс = Чу/Чн = 2,3/144,2 = 0,016

Коэффициент естественного движения вычисляется  по формуле:

     Кед = Кр – Кс = - 0,005; Т.к. коэффициент естественного движения меньше нуля, значит,  в 2005 году в России происходит естественная убыль населения.

Коэффициент механического движения населения  вычисляется по формуле:

     Кмд = Чм/Чн = (2,09 – 1,98)/144,2 = 0,0007

Коэффициент общего движения вычисляется по формуле:

     Код = Кед +Кмд = 0,0007- 0,005 = -0,0043

Таким образом в 2005 году в России произошло уменьшение численности населения на 0,0043. 
 
 
 
 
 

Задача  №2.

      По  имеющимся в следующей таблице  данным по группе из 20 студентов заочного отделения необходимо:

      1) построить интервальный ряд распределения  признака и его график;

      2) рассчитать модальное, медианное  и среднее значение, установить  его типичность с помощью коэффициентов  вариации;

      3) проверить распределение на нормальность  с помощью коэффициентов асимметрии  и эксцесса. 

 

Решение.

     1)n = 1 +3,322 lg N,

n = 1+3,322 lg 20 = 5,32.   Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.

h = (Х_mах –Х_min )/ n,

h = (10-1)/5 = 1,8.  

Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

 

     2) Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:

     ;

     = 1 +1,8 = 1,41.

     Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Для интервального ряда с равными интервалами величина медианы определяется так:

; Me = 4,6 + 1,8 = 5,68

       Среднее значение определяется  по формуле: 

= ; = = 5,77

     Среднее линейное отклонение определяется по формуле:

; Л=  = 1,94

     Разделив  это значение на средний число  друзей, получим линейный коэффициент вариации:

λ= = 0,34.  По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о нетипичности среднего числа друзей, т.к. расчетное значение коэффициента вариации превышает критериальное

  (0,34 > 0,333).

     Дисперсия определяется по формуле :

; Д= 105,43/ 20 = 5,27

     Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле:

;  σ = 2,29

;  v = 2,29/ 5,77 = 0,38. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о нетипичности среднего числа друзей, т.к. расчетное значение коэффициента вариации превышает критериальное (0,38 > 0,333).

     3) В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка и коэффициент асимметрии Пирсона:

,   .

=   = 1,7/20 = 0,085= 0,085/12 = 0,007> 0, значит, распределение студентов по росту с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона:

= = 1,9

      Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:

= ;  = = 52,704

= 52,707/27,48 = 1,9

= 1,9 – 3 = -1,1.  Так как Ex<0, то распределение низковершинное.

Задача  №3.

 

      Для изучения вкладов населения в  коммерческом банке города была проведена 5%-я случайная выборка лицевых  счетов, в результате которой получено следующее распределение клиентов по размеру вкладов: 

 
 
 

            

        С вероятностью 0,954 определить:

      1) средний размер вклада во всем  банке; 

      2) долю вкладчиков во всем банке  с размером вклада свыше 15тыс.  у.е.;

      3) необходимую численность выборки  при определении среднего размера  вклада, чтобы не ошибиться более  чем на 0,5 тыс.  у.е.;

      4) необходимую численность выборки  при определении доли вкладчиков  во всем банке с размером  вклада свыше 30 тыс. у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%.

 

Решение.

Таблица 2. Вспомогательные расчеты для решения задачи

 

=

= = 11,9

; Д=31535  / 250 = 126,14

Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле:

= t ,

=

=  = 0,7 (тыс. у.е)

Дисперсия доли альтернативного признака w  определяется по формуле: . 

В нашей  задаче долю альтернативного признака ( долю вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 15тыс. у.е.) найдем как отношение числа таких вкладчиков к общему числу вкладчиков  в выборке: w = 90/250 = 0,36 . 

=0,36 (1 – 0,36) = 0,23

=  = 0,03 = 3%

      Предельная  ошибка выборки по формуле  будет  равна: = 2*0,7 = 1,4 (у.е.) при определении среднего дохода; = 2*0,03 = 0,06 или 6% при определении доли вкладчиков с размером вклада  более 15 тыс. у.е.

      После расчета предельной ошибки находят  доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности для средней величины и по формуле:

      ( - ) ( + )  

      11,9- 1,4 11,9+ 1,4

        или 10,5 у.е. 13,3 у.е., то есть средний размер вклада всех вкладчиков банка с вероятностью 95,4 % будет лежать в пределах от 10,5 до 13,3 у.е.

      Аналогично  определяем доверительный интервал для доли альтернативного признака по формуле:

      (w- ) p (w + ) 

      0,36-0,06 p 0,36+0,06

        или 0,3 p 0,42;

то есть доля рабочих с доходами более 15  тыс. у.е. на всем предприятии с вероятностью 95,4% будет лежать в пределах от 30% до 42%.

      Минимальная численность выборки определяется по формуле:

      n_повт = ;

необходимая численность выборки при определении  среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.:

      n_повт =126,14 *= 20,1824, т.е. 20 вкладчиков.