Особенности построения рядов распределения

      При к=2 – центральный момент второго  порядка:

           (1.26)

      (дисперсии) и являющийся мерой колеблемости признака. Если постоянная величина равна «а», то моменты называются условными и определяются по формуле:

                 (1.27)

      В связи с тем, что вычисление центральных моментов, которыми довольно часто пользуются для характеристики рядов распределений, довольно громоздко, вначале вычисляют условные моменты, а затем по специальным формулам переходят от условных моментов к центральным. Так математически доказано, что: (1.28); (1.29) ;      (1.30);                

      Условные  моменты используются для определения  дисперсий высоких степеней . Практически используются моменты первых четырех порядков. Если в качестве весов взять не частоты, а вероятности, то получим теоретические моменты распределения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.4. Кривые распределения

      Кривая  распределения — линия на плоскости, отражающая зависимость между значениями рассматриваемой случайной величины и соответствующими им числами наблюдений. Если на оси абсцисс откладывать значения варьирующего признака, а на оси ординат — частоты, то, соединяя эти точки, получаем эмпирическую кривую распределения. Пользуются также кумулятивной кривой распределения, указывающей для каждого данного значения «х» частоту тех значений, которые не превосходят «х». Кривая распределения служит отправным пунктом статистического исследования варьирующего признака, Она является обобщенной характеристикой особенностей формы распределения. Кривая распределения выражает закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения. Эмпирическая кривая — это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдеиия и отражающая как общие, так и случайные условия Определяющие распределение. Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными, в зависимости от того, какая, ветвь кривой распределения вытянута — правая или левая, различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными. В нормальном ряду распределения размах вариации   (1.31);   (1.32);   (1.33). Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Так, при Мo < М_е < разности между   - Мo и - М_е положительные и асимметрия правосторонняя, а при М₀ > М_е > , наоборот, разности между - Мо и - М_е отрицательные и симметрия левосторонняя.

                                       
 
 
 
 

                                       
 

        

      Правосторонняя  асимметрия.

                     

        Симметричная кривая 

                          

        

      Левосторонняя асимметрия

        

      В симметричном распределении центральный  момент третьего порядка т_э = 0, потому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрий. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратичсскому отклонению в кубе:      (1.34).

      Если  А > 0, то асимметрия правосторонняя, а если А < 0, то асимметрия левосторонняя. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Кривые распределения имеют различную островершинность. Крутизна, островершинность кривой распределения называется эксцессом. Различают эксцессы: нормальный, внешне нормальный и и ниже нормального.

      Для характеристики степени эксцесса применяют  коэффициент эксцесса, который равен отношению центрального момента четвертого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени:                                               (1.35)

      Если  распределение нормальное, то эксцесс  нормальный и равен 3. Поэтому, если Е > 3, то эксцесс выше нормального, а если Е < 3, то эксцесс ниже нормального. 
 

      Эксцессы  распределения

               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.5. Моделирование рядов распределения

      Все рассмотренные нами показатели характеризуют отдельные свойства совокупности. Общую характеристику ряда распределения можно представить аналитически, в виде функции, характеризующей зависимость между изменениями варьирующего признака и частотами. Каждому ряду свойственна определенная закономерность, выражением которой является кривая распределения, представляющая собой функцию распределения. Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию распределения, т. е. подобрать такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отражала бы закономерность распределения. Нахождение функции кривой распределения называется моделированием. Моделирование имеет большое познавательное значение функции кривой распределения дают в компактной форме характеристику изучаемой совокупности, ее закономерности, сглаживают различные "неправильности" эмпирического ряда, возникшие вследствие случайных обстоятельств, дают возможность находить частоты интервалов, которые не встречались в эмпирическом распределении. Уравнения кривых распределения позволяют при помощи двух - трех, а иногда и одной сводной характеристики получить представление о характере распределения, они весьма важны для прогнозирования будущих распределений.

      Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике частью пользуются нормальным распределением, функция которого:           (1.36)

      Где F(x) – интегральная функция распределения

      е - основание натуральных логарифмов

      dt – разность между смежными значениями F(x), т.е. величина интервала   (1.37)  - нормированное отклонение

      В этом уравнении F(x) рассматривается как функция переменной t: каждому значению t соответствует определенное значение F(x). Таким образом, кривую нормального распределения можно построить по двум параметрам и σ. Исчислив по ним нормированное отклонение t, можно по специальной таблице (1) получить готовые значения F(x) при условии, что t > 0. Например, если х = 115, = 100, σ = 12, то . По таблице данному значению t соответствует значение F(+1.25)=1-F(t) и F(-1.25)=1-0,894=0,106. Следовательно, вероятность того, что признак примет значение в интервале от хi до хi+1, равна F(хi+1) - F(хi).

      Большое значение в анализе имеет проверка того, насколько фактическое распределение  признака соответствует теоретическому, например нормальному распределению. Задача состоит в том, чтобы по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой распределения и сравнить их с эмпирическим рядом. Теоретические частоты f  ' для нормального распределения рассчитываются по формуле f  ' = n(F(хi+1) - F(хi))   (1.38),         где F(x) – функция нормального распределения; - объем совокупности.

      Теоретическое распределение вероятностей и частот дает представление о форме, типе распределения, о закономерности, свойственной изучаемому явлению.

      Эмпирические  и теоретические распределения  ткачих по степени выполнения норм приведены на рисунке: 

      Эмпирическое  и теоретическое распределение ткачих по выполнению норм.

      

      Для того чтобы установить подчиняется ли эмпирическое распределение закону нормального распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распределением. Если теоретическое и эмпирическое распределение частот близки между собой, т. е. разности (f – f ') незначительны, то эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения. Поэтому важно установить, являются ли разности между эмпирическими и теоретическими частотами результатом действия случайных причин или эта разница существенна и обусловлена неправильно подобранной функцией. 
 
 
 

      1.6. Критерий согласия

      Для оценки близости эмпирического отношения  к теоретическому нормальному пользуются специальными показателями, которые называются критериями согласия. Они разработаны Персонсом, Колмогоровым, Романовским и Ястремским. Наиболее простым и доступным является критерий х — квадрат Персонса:          (1.39)

      Чем меньше отклонение между эмпирическими и теоретическими частотами, тем меньше значение X² а значит, теоретическое распределение лучше воспроизводит эмпирическое, и наоборот. Если эмпирические частоты совпадают с теоретическими, X^{2 =} 0. Вычисление X² Пирсона связано с показателем, который называется числом степеней свободы. Под числом степеней свободы К понимают количество независимых величин, которые могут принимать независимые значения не изменяющие заданные характеристики.

      По  специальной таблице (2) находим значение X²- соответствующее данному числу степеней свободы и заданной вероятности. По этой же таблице для заданного критерия X² при разных значениях степеней свободы можно определить вероятность того, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами изучаемого ряда является случайным. Если фактическое значение критерия X²  меньше табличного, то отклонение между эмпирическими и теоретическими частотами являются случайными, несущественными, и можно сделать вывод о том, что теоретическое распределение хорошо воспроизводит эмпирическое и наоборот, если фактическое значение больше табличного, то отклонения являются существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

      Критерий  согласия Колмогорова (α) рассматривает близость эмпирического и теоретического распределения путем сравнения их накопленных частот. Критерий "лямбда" равен максимальной разности накопленных эмпирических и теоретических частот (без учета знаков), поделенный на корень квадратный из числа наблюдений.       (1.40),

      где - максимальная разность накопленных эмпирических и теоретических частот,       а n - объем совокупности. По сравнительной таблице (3) находим вероятность, которой можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является несущественным, случайным, т. е. фактическое распределение подчиняется закону нормального распределения.

      В явлениях различных аспектов рыночного  хозяйства асимметричные распределения встречаются значительно чаще, чем симметричные. Имеется много функций, характеризующих закономерности эмпирических асимметричных распределений. Некоторые асимметричные распределения могут быть приведены к форме, приближающейся к нормальной, путем преобразования значений признака х. Например, путем логарифмирования переменной х асимметричное распределение может быть приведено к нормальному. Распределение которое с помощью логарифмирования переменной х может быть приведено к нормальному, называется логарифмически нормальным распределением. Частоты такого распределения определяются на основе интегральной функции нормального распределения.

               (1.41)

      Для объективной оценки близости эмпирических и теоретических частот также пользуются критериями согласия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Тесты

      1.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Посторенние рядов распределения при проведении статистических исследований в современных условиях в современных условиях

Задача 1

По данным таблицы нужно рассчитать среднюю выработку работника компании ООО «Спутник А» в 2009 г. и сравнить ее с данными 2008г, если в 2008 г. Она была ровна 3150

 

Решение:

По формуле  средней гармонической взвешенной:

= 3576,5

3576,5-3150 = 426,55

Вывод: средняя выработка работника в 2009 г. в ООО « Спутник- А» равна 3878,26 тыс. руб. и она превышает  на 426,5 тыс. руб. выработку работника в 2008 г. 

Задача 2

В результате обобщения итогов выборочного бюджетного обследования населения РФ 2009 г. построен вариационный интервальный ряд, отражающий распределение жителей Российской Федерации по величине среднедушевого дохода.