Особенности построения рядов распределения

      Пример: Таблица 2 ОАО «Зоря»

 

      Из  этого вариационного ряда видно, в каких пределах колеблется прочность  швейных ниток и как с нарастанием  прочности при растяжении до 825 г постепенно увеличивается число испытаний, а затем постепенно уменьшается. Наиболее распространенная прочность швейных ниток при растяжении оказалась в интервале 775—825 (группа 5) со средним значением 800 г = 800 .

      На  основе такого вариационного ряд  могут быть исчислены и Показатели вариации: средняя, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, мода, медиана и др.

 1) Среднее линейное отклонение:

               -  невзвешенное;    (1.3)

               -  взвешенное,    (1.4)

где:  Х -  варианты;

       `Х -  средняя величина;

         n - число признаков;

         f  -  частоты.

Линейное  отклонение учитывает различия  всех единиц изучаемой совокупности.

2) Дисперсия - показатель вариации, выражающий  средний квадрат отклонений вариант от средних величин в зависимости от образующего вариационного фактора.

       -  невзвешенная;            (1.5)

       -  взвешенная.            (1.6)

Показатель  дисперсии более объективно отражает меру вариации на практике.

3) Среднее квадратическое отклонение

       - взвешенное;            (1.7)

         -  невзвешенное.         (1.8)

Среднее квадратическое отклонение является показателем  надежности средней: чем меньше среднее  квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю статистическую совокупность.

4) Показатель вариации. 

                                                                (1.9)

Показатель  вариации отражает тенденцию развития явления, т.e. действие главных факторов. Показатель вариации выражается в % или коэффициентах.

             Дискретный вариационный ряд изображается в виде так называемого полигона, или многоугольника, распределения частот, являющегося разновидностью статистических ломаных. Для изображения интервального ряда применяются полигон распределения частот и гистограмма частот.

      Пример: Гистограмма распределения прибыли  машиностроительного предприятия "Элюзатор" 

      

      Вариационный  ряд можно рассматривать как  группировку по одному признаку с единственным показателем в сказуемом — числом единиц совокупности, попадающих в данный интервал (абсолютном или относительном— в % и т. п.). Чтобы получить вариационный ряд, надо подсчитать численность единиц по группам, отвечающим его интервалам. В типологической группировке, производимой на основании количественного признака, границы, отделяющие друг от друга качественные типы, не являются произвольными. Они должны отвечать узловым значениям, в которых количественные изменения переходят в новое качество.

      В отличие от этого в группировке, имеющей целью получение вариационного  ряда, величины интервалов и, значит, границы  между ними могут быть вообще любыми. Вариационный ряд может быть использован и для выделения типов методом вторичной группировки. Но обычно при его построении преследуется только цель характеристики количественной вариации. Если при этом вся задача сводится к получению характеристик вариации, то чем уже интервал, тем они будут получены более точными. Еще лучше, если они будут получены просто по совокупности индивидуальных значений, что возможно для средней арифметической, дисперсии и всех моментов распределения, порядковых статистик. Но вариационный ряд нужен и сам по себе. В виду этого сужение его интервалов привело бы к случайным колебаниям частот в них, плохой обозримости ряда в целом. С другой стороны, излишнее укрупнение интервалов не позволяет видеть характерные черты вариации, затушевывает и объединением в один интервал слишком различающихся единиц совокупности.

      Вариационный  ряд, состоящий из двух граф (варианты и частоты), иногда дополняется другими  графами, необходимыми для вычисления отдельных статистических показателей  или для более отчетливого  выражения характера вариации изучаемого признака. Достаточно часто в ряд вводится графа, в которой подсчитываются накопленные частоты (S). Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем данное значение, и исчисляются путем последовательного прибавления к частоте первого интервала частот последующих интервалов.

      Частоты ряда (f) могут быть заменены частостями (w), которые представляют собой частоты, выраженные в относительных числах (долях или процентах) и рассчитанные путем деления частоты каждого интервала на их общую сумму, т. е.

      Замена  частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений.

      Если  вариационный ряд дан с неравными  интервалами, то для правильного  представления о характере распределения  необходимо произвести расчет абсолютной или относительной плотности распределения.

      Абсолютная  плотность распределения (р) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда: р = f / I.     (1.10)

      Относительная плотность распределения (p') - частное от деления частости (w) отдельной группы на размер ее интервала:  р' = w/i.                                                   (1.11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.2. Расчеты моды и медианы

      Особым  видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

      Мода  - это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

      В интервальном ряду распределения мода находится по следующей формуле:

                   (1.12)

      где: - минимальная граница модального интервала;

       - величина модального интервала;

       - частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним

      Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Мода широко используется в  статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.д.

      Медиана - варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

      Медиана делит ряд на две равные (по числу  единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

      В случае если вариационный ряд имеет число значений вариант четное, то расчет медианы производится по следующей формуле:

                                                                          (1.13),

      где , - варианты, находящиеся в середине ряда

      В интервальном ряду распределения медиана  рассчитывается следующим образом:

                                                    (1.14),

      где: - нижняя граница медианного интервала;

       - величина медианного интервала;

       - полусумма частот ряда;

       - сумма накопленных частот, предшествующих  медианному интервалу;

       - частота медианного интервала.

      Структурные средние величины (мода и медиана) имеют довольно большое значение в статистике и широкое применение. Мода является именно тем числом, которое  в действительности встречается  наиболее часто. Медиана имеет важные свойства для анализа явлений: она обнаруживает типичные черты индивидуальных признаков явления, и, вместе с тем, учитывает влияние крайних значений совокупности. Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:       (1.15)

      Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней  только в случае симметричного расположения частот вариационного ряда.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.3. Моменты распределения

      Одной из важных задач анализа рядов  распределения является выявление  закономерности распределения, определения  ее характера и количественного выражения. Эта задача решается при помощи показателей, характеризующих форму, тип распределения. Кроме того, важной характеристикой рядов распределения являются также моменты распределений.

      Моментом  распределения (М_к) называется средняя арифметическая из отклонений значений признака «х» от некоторой постоянной величины «а» в степени «к». Порядок момента определяется величиной «к». Эмпирический момент «к-го» порядка определяется по формуле:

                  (1.16) 

      В зависимости от постоянной величины а различают начальные, центральные и условные моменты. Если а = 0, то моменты называются начальными и определяются по формуле:

                          (1.17)

      В этом случае при к=0 получим начальный момент нулевого порядка:

                    (1.18)

      При к = 1 получим начальный момент первого  порядка:

                      (1.19)

      При к = 2 получим начальный момент второго порядка:

                 (1.20)

                                             

      Начальные моменты используются в частности, при расчете дисперсии: (1.21), откуда      (1.22)

      Если  постоянная величина а = х, то получим центральные моменты, которые определяются по формуле:

                   (1.23)

      В   этом случае при к = 0 получим центральный момент нулевого порядка:

           (1.24)

      При к=1 – центральный момент первого  порядка:

             (1.25)