Методы анализа основной тендеции (тренда) в рядах динамики

        ,                                 

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития, - случайное и циклическое отклонение от тенденции

     Цель  аналитического выравнивания – определение аналитической или графической зависимости. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости; линейная, параболическая и экспоненциальная.

       – прямая линия;

        – гипербола;

       – парабола;

       – степенная;

        – ряд Фурье.

     Линейная  зависимость выбирается в тех  случаях, когда в исходном временном  ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

     Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

     Экспоненциальные  зависимости применяются, если в  исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

     После выяснения характера кривой развития необходимо определить ее параметры, что  можно сделать различными методами:

1.   решением системы уравнений по известным уровням ряда динамики;

2.  методом средних значений (линейных отклонений), который заключается в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части, и вводятся преобразования, чтобы сумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, например, в случае выравнивания прямой линии ;

3.   выравниванием ряда динамики с помощью метода конечных разностей;

4.   методом наименьших квадратов: это некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты , характеризующих тренд или ряд изучаемого явления. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических :

В частности, при выравнивании по прямой вида , параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (1.56) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда

.

Дальнейшее  решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные

Сократив  каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система  и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно  1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком  порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

 

     Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой среднее значение уровней ряда. К данному виду можно свести гиперболу, если ввести замену , тогда к ней полностью применима система уравнений.

     По  полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда.

     Во  многих случаях моделирование рядов  динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ.

1.4. Оценка надежности уравнения тренда

     Выбрав  и составив уравнение, проводят оценку его надежности с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т, приведенными в специальных таблицах любого справочника по высшей математике. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле

      ,  

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – дисперсия аналитическая; Д_о – дисперсия остаточная в виде разности фактической Д_Ф  и аналитической дисперсий.

     В свою очередь, фактическая и аналитическая  дисперсии отклонений уровней ряда определяются по формулам

      ; 

      . 

     

     Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при  уровне значимости 0,05 с учетом степеней свободы  и . При условии F_р> F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

1.5. Экстраполяция тенденции как метод прогнозирования

     Основа  большинства методов прогнозирования - экстраполяция тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы или, другими словами, это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

     Экстраполяция, проводимая в будущее называется перспективой, а в прошлое – ретроспективой.

     Предпосылки применения экстраполяции:

1.  развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

2.  общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

     Экстраполяцию в общем виде можно представить  так:

      

где - прогнозируемый уровень; - текущей уровень прогнозного ряда;

Т - срок экстраполяции; - параметр уравнения тренда.

     При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации.

     Упрощенные  приемы целесообразны при недостаточной  информации о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ряда или информация заданна только двумя точками: на начало и конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних показателях динамики, и можно выделить:

1.  Метод среднего абсолютного прироста.

     Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

     

где t – срок прогноза; i – номер последнего уровня.

     Применение  в экстраполяции среднего абсолютного  прироста предполагает, что развитие явления происходит по арифметической прогрессии и относится в прогнозировании к классу «наивных» моделей, ибо чаше всего развитие явления следует по иному пути, чем арифметическая прогрессия Вместе с тем в ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет динамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

2.   Метод среднего темпа роста.

     Осуществляется, когда общая тенденция характеризуется  показательной кривой

     

где - последний уровень ряда динамики; k- средний коэффициент роста.

3.  Выравнивание рядов по какой-либо аналитической формуле.

     Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактических данных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, имеет малую вероятность.

     Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза:

       ,

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ; - средняя квадратическая ошибка тренда; k - число параметров в уравнении; - расчетное значение уровня.

     Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому  ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

     Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.

     Адаптивные  методы используются в условиях сильной  колеблемости уровней динамического  ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований.

     Цель  адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся моделей, способных учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущим членам данного ряда.

     Прогноз получается как экстраполяция последней  тенденции. В разных методиках прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно выделить:

• метод скользящей средней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);
• метод экспоненциального сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальной средней).

     Скользящие  средние представляют собой средние  уровни за определенные периоды времени путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, а при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.