Sf- численность ряда (сумма частот);

S- накопленные  итоги численностей до медианного  интервала;

f₀-численность медианного интервала.

     Ме=134+25×(15– 10)/8= 149,625 шт.

     Вывод

     У 50% рабочих данной совокупности выработка до 149,625 шт., а второй половины рабочих – выше 149,625 шт.

    На  рис. 2 изобразим графически медиану.

ЗАДАЧА 4

 

     По  результатам вычислений задач 2, 3 вычислить  дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Поясните смысл полученных характеристик вариации.

    РЕШЕНИЕ 

     Дисперсия – это средний квадрат отклонений.

    Расчет  дисперсии для всей совокупности, представленной в виде сгруппированного ряда в табл. 4, осуществляется по формуле:

    σ²=

,

     где х– середины интервалов;

     

    Расчет  данных для вычисления дисперсии  выполним в табл. 4.

σ²=26854,1667 : 30= 895,13889

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

     Коэффициент вариации определяется по формуле:

    v=

=

     Коэффициент вариации меньше 33%, следовательно, совокупность является однородной, а средняя – типичной и устойчивой.

ЗАДАЧА 5

 

     На  основании аналитической группировки  задачи 1 вычислить общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий. Определите корреляционное отношение по выработке одного рабочего. Сделайте выводы. 

     РЕШЕНИЕ 
 

     Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию и рассчитывается по формуле:

     

,

     где – общая средняя по всей совокупности.

     Межгрупповая  дисперсия характеризует систематическую  вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака–фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

     δ_х²  =

,

     где – средние по отдельным группам;

     n_j –численности по отдельным группам.

     Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака–фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

     σ²=

.

     Средняя из внутригрупповых дисперсий:

     

     Закон, связывающий три вида дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

     σ²_общ²=δ²+ σ²

     Данное  соотношение называют правилом сложения дисперсий.

     Для решения задачи сначала определим  средние по каждой группе. Расчет средних выполнен в табл. 5.

     Средняя выработка в первой группе (до 3 лет) равна х₁=101,2 шт. (506:5), во второй (от 3 до 10 лет) х₂=145,63 шт.(2330:16), в третьей (свыше 10 лет) х₃=173,67 шт.(1563:9)

     Промежуточные расчеты дисперсий по группам  представлены в табл. 5. 

     Таблица 5

     Расчет  данных для определения внутригрупповых  дисперсий.

 

     Подставив полученные значения в формулу, получим:

     σ₁²= =954,8:5=190,96;

     σ₂²= = 6057,75:16=378,609;

     σ₃²= =1614:9=179,333

     Средняя из групповых дисперсий:

      =(190,96 ×5+378,609×16+179,333×9):30=287,5517

     Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Средняя (общая) по всей совокупности равна 146,63 шт. (см. табл. 2). 

     δ_х²  =

=

     =[(101,2–146,63)²×5+(145,63 –146,63)²×16+(173,67–146,63)²×9]:30=563,8626

     Таким образом, общая дисперсия согласно правилу сложения дисперсий:

     σ²_общ²=δ²+ σ²=287,5517+563,8626=851,4143

     На  основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками, который называется корреляционным отношением: 

     Величина  0,813797 показывает тесную связь между группировочным и результативным признаками.

     Коэффициент детерминации η² равен:

     η²=0,813797²=0,662266 или 66,22%

     Он  показывает, что вариация выработки  на 66,22% зависит от стажа и на 33,78% (100%–66,22%) от других неучтенных факторов.

ЗАДАЧА 6

 

     По  исходным данным задачи 2 и результатам вычислений задачи 3,4 установите:

1. с вероятностью 0,954 возможные пределы средней выработки в генеральной совокупности;
2. с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса численности рабочих, имеющих выработку выше средней;
3. сколько необходимо отобрать рабочих, чтобы с вероятностью 99,7% предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?

 

РЕШЕНИЕ 

     Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

    

,

где k-коэффициент  выборочного наблюдения (по условию задачи 10% или 0,1)

    Предельная  ошибка выборки определяется по формуле: ,

    где t – коэффициент доверия (для вероятности 0,954 равен 2)

    Определим предельную ошибку средней выработки:

Δ _х=

== =2×5,1821=10,3642 шт.

   Найдем  границы изменения средней величины в генеральной совокупности:

     

     

145,666 –10,36<

<145,666+10,36; 135,306 < <156,026 

     Вывод

     С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя выработка одного рабочего в генеральной совокупности находится в пределах от 135,306 шт. до 156,026 шт. (не ниже 135,306 шт., но не выше 156,026 шт.) 

   2. Определим удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней (145,666 шт.). Таких рабочих 16 человек. Тогда удельный вес их в общей численности составит:

   w=

,

     Рассчитаем  предельную ошибку доли в случае механического  отбора по формуле:

     ∆_p =t×

,

    где w–удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней;

    n – объем выборочной совокупности;

    t – коэффициент доверия (t=3 для  вероятности 0,997).

    ∆p =3×

=3×0,086 = 0,259 или 25,9%

     Найдем  границы изменения доли в генеральной  совокупности:

     p=w±Δ_p

   p=0,533±0,259; 0,533-0,259<Р<0,533+0,259; 0,274 <Р<0,792; 27,4%<Р<79,3%

   Вывод

   С вероятностью 0,997 можно утверждать, что удельный вес рабочих, у которых выработка выше средней, колеблется от 27,4% до 79,2%. В генеральной совокупности.

     3. Рассчитаем необходимую численность рабочих:

     n=(t²•V_σ²):Δ²,

     t–  коэффициент доверия (для вероятности  99,7% равен 3);

     V_σ– коэффициент вариации (20,54% – результат решения задачи 4);

     Δ²– относительная погрешность, %; (по условию задачи равна 5%).

     n=9•(20,54)²/25=151,88≈152 чел.

     С вероятностью 99,7% можно утверждать, что численность выборки, обеспечивающая относительную погрешность не более 5%, должна составлять не менее 152 чел.

ЗАДАЧА 7

 

     Имеются данные о стаже работы рабочих  и их выработке (приложения А, графа 3, Б–графа 3).

     Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите его параметры, рассчитайте коэффициенты корреляции и эластичности. По полученному уравнению регрессии рассчитайте теоретические (выравненные) уровни. Результаты расчетов оформите в виде таблицы. Сделайте выводы. 

     РЕШЕНИЕ 

       Уравнение связи в случае линейной зависимости  имеет вид:

                    у_х=а₀+а₁х    [1]

       Параметры уравнения а₀ и а₁ определяют методом наименьших квадратов. Для этого необходимо решить систему уравнений:

        na₀+a₁∑x=∑y;

       a₀ ∑x+ a₁∑x²=∑xy.

       Расчет  необходимых данных выполним в табл. 6

       Таблица 6

       Расчет  данных для уравнения регрессии