Методы статической обработки результатов измерений

 

В данном случае последовательность вычислений такова:

1.  Определить средние  арифметические значения для  1-го и 2-го признаков.                      

2.  Вычислить значения  и т.е. разности между отдельными показателями и среднеарифметическими значениями каждого признака - 3-я и 4-я колонки таблицы.

3. Возвести полученные  значения разностей в квадрат: и - 5-я и 6-я колонки.

4. Определить суммы квадратов разностей и .

5.  Определить произведение  разностей 

6.  Определить сумму  произведений разностей .

7.  Подставить полученные  значения в формулу и вычислить коэффициент корреляции:

Вычисленный коэффициент  корреляции показывает, что между ростом лыжника и его максимальным потреблением кислорода существует очень слабая отрицательная связь. Теперь определим достоверность полученного значения коэффициента, для чего сравним его с критическим значением по специальной таблице. Если полученное значение коэффициента корреляции превосходит табличное значение при заданном уровне значимости (r > r_крит), то наличие отрицательной связи между ростом лыжников и максимальным потреблением кислорода можно считать достоверным и наоборот. По таблице (приложение 4) находим критическое значение при п = 5. Это значение равно 0,878, следовательно, мы имеем неравенство r < г_крит (0,12 < 0,878), поэтому проявление слабой отрицательной связи недостоверно (г = -0,12 при р > 0,05).

 

7.2 Вычисление рангового коэффициента корреляции

Определение взаимосвязи  показателей, измеренных в шкале  порядка, производят с использованием ранговых коэффициентов  корреляции.

Мы познакомимся с одним из них - ранговым коэффициентом корреляции Спирмэна (обозначается греческой буквой «ро» - р). Его вычисляют по формуле:

где d = d_x - d_y – разность рангов данной пары показателей X и Y, п - объем выборки (число испытуемых).

Рассмотрим для примера  оценку взаимосвязи показателей: X - место, занятое в лыжной гонке с общим стартом; У - число стартов до настоящих соревнований в подобных гонках этого сезона. Все прочие условия (спортивный стаж, возраст, квалификация и др.) примерно одинаковы. Результаты наблюдений и опроса представлены в табл. 3.11 (столбцы 1 и 2).

Так как показатели измерены в шкале порядка, вычислим значение рангового коэффициента корреляции.

Запишем алгоритм вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмэна (р) по шагам.

Шаг 1. Проранжировать (упорядочить и приписать порядковые номера) показатели Х и Y. Так как Х уже упорядочен и обозначает соответствующие ранги, перепишем его значения в столбец 3. Показателю Y приписываем ранги следующим образом: значению 10 - ранг 1; 9 - ранг (2+3)/2 = 2,5; 8 - ранг 4; 7 - ранг 5 и т. д. (столбец 4);

Шаг 2. Вычислить разность рангов (столбец 5);

Шаг 3. Вычислить квадрат разности (столбец 6);

Шаг 4. Вычислить сумму квадратов разности ;

Шаг 5. Вычислить значение .

Таблица 3.11

Расчет  рангового коэффициента корреляции Спирмэна

№ п/п	1	2	3	4	5	6
	X	У
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	9 10 8 7 9 4 4 3 5 3	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2,5 1 4 5 2,5 7,5 7,5 9,5 6 9,5	-1,5 1 -1 -1 2,5 -1,5 -0,5 -1,5 3 0,5	2,25 1 1 1 6,25 2,25 0,25 2,25 9 0,25

Значение  = 0,846 характеризует сильную положительную взаимосвязь. Другими словами, опыт, накопленный в подобных гонках, достаточно сильно определяет успешность выступления при прочих равных условиях.

Вычисленное значение коэффициентов  ранговой корреляции в данном случае свидетельствует о наличии сильной положительной связи между признаками Х и Y. Однако необходимо проверить, насколько достоверно значение рассчитанного нами коэффициента корреляции. Для этого сравним его с критическим значением. Если вычисленный коэффициент ранговой корреляции превышает значение критического (r_фак>r_крит), то наличие связи считается достоверным, и наоборот. По таблице (приложение 3), в которой приведены критические значения r для различных чисел парных наблюдений (n) и двух уровней значимости (s = 0,05 и s = 0,01), находим критическое значение для п = 10. Оно равно 0,564 при уровне значимости 0,05 и 0,746 при уровне значимости 0,01. Стало быть, вычисленный нами коэффициент превышает критическое значение при уровне значимости 0,05 (0,846 > 0,564). Следовательно, проявление связи между признаками Х и Y можно считать достоверным (r = 0,846 при s < 0,05).

 

Контрольные вопросы  и задания

1. Дайте определение  спортивной статистике.

2. Что такое ранжирование?

3. Дайте определение  вариационному ряду.

4. Что показывает средняя  арифметическая величина?

5. Что такое дисперсия?

6. Что показывает коэффициент  вариации?

7.  Перечислите виды  вариационных рядов.

8.  Дайте определение прямой и обратной корреляционной взаимосвязи.

9. Перечислите способы выражения корреляции.

10.  Какие выводы можно сделать на основании действия парного линейного коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона?

11.  Чем ранговый коэффициент Спирмэна отличается от парного линейного коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Значение  коэффициента К

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	—	—	1,13	1,69	2,06	2,33	2,53	2,70	2,85	2,97
10	3,08	3,17	3,26	3,34	3,41	3,47	3,53	3,59	3,64	3,69
20	3,74	3,78	3,82	3,86	3,90	3,93	3,96	4,00	4,03	4,06
30	4,09	4,11	4,14	4,16	4,19	4,21	4,24	4,26	4,28	4,30
40	4,32	4,34	4,36	4,38	4,40	4,42	4,43	4,45	4,47	4,48
50	4,50	4,51	4,53	4,54	4,56	4,57	4,59	4,60	4,61	4,63
60	4,64	4,65	4,66	4,68	4,69	4,70	4,71	4,72	4,73	4,74
70	4,76	4,76	4,78	4,79	4,80	4,81	4,82	4,82	4,84	4,84
80	4,85	4,86	4,87	4,88	4,89	4,90	4,91	4,92	4,92	4,93
90	4,94	4,95	4,96	4,96	4,97	4,98	4,99	4,99	5,00	5,01
100	5,02	5,02	5,03	5,04	5,04	5,05	5,06	5,06	5,07	5,08
ПО	5,08	5,09	5,10	5,10	5,11	5,11	5Д2	5,13	5,13	5,14

 

Приложение 2

Граничные значения t-критерия Стьюдента для 5%- и 1%-ного уровня значимости в зависимости от числа степеней свободы

Степень свободы	Границы значения		Степень свободы	Границы	значения р = 0,05
	р =0,05	р =0,01		р=0,05
1	12,71	63,60	21	2,08	2,82
2	4,30	9,93	22	2,07	2,82
3	3,18	5,84	23	2,07	2,81
4	2,78	4,60	24	2,06	2,80
5	2,57	4,03	25	2,06	2,79
6	2,45	3,71	26	2,06	2,78
7	2,37	3,50	27	2,05	2,77
8	2,31	3,36	28	2,05	2,76
9	2,26	3,25	29	2,04	2,76
10	2,23	3,17	30	2,04	2,75
11	2,20	3,11	40	2,02	.2,70
12	2,18	3,06	50	2,01	2,68
13	2,16	3,01	60	2,00	2,66
14	2,15	2,98	80	1,99	2,64
15	2,13	2,95	100	1,98	2,63
16	2,12	2,92	120	1,98	2,62
17	2,11	2,90	200	1,97	2,60
18	2,10	2,88	500	1,96	2,59

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

Критические значения коэффициентов корреляции рангов Спирмэна

Число коррелируемых пар п	р = 0,05	р =0,01	Число коррелируемых пар п	р = 0,05	р =0,01
4 5 6 7 8 9 10 12	1,000 0,900 0,829 0,714 0,643 0,600 0,564 0,506	__ 1,000 0,943 0,893 0,833 0,783 0,746 0,712	14 16 18 20 22 24 26 28 30	0,456 0,425 0,399 0,377 0,359 0,343 0,329 0,317 0,306	0,645 0,601 0,564 0,534 0,508 0,485 0,465 0,448 0,432

 

Приложение 4

Критические значения коэффициентов корреляции при р = 0,05

Число корре- лируемых пар	Критические значения	Число корре- лируемых пар	Критические значения
3	0,977	19	0,456
4	0,950	20	0,444
5	0,878	21	0,433
6	0,811	22	0,423
7	0,754	25	0,396
8	0,707	30	0,361
9	0,666	35	0,332
10	0,632	40	0,310
11	0,602	45	0,292
12	0,576	50	0,277
13	0,553	60	0,253
14	0,532	70	0,234
15	0,514	80	0,219
16	0,497	90	0,206
17	0,482	100	0,196
18	0,468