Методы статической обработки результатов измерений

Для вычисления надо произвести следующие действия.

1. Определяют среднюю арифметическую  .

2.  Из каждого варианта вычитают среднюю арифметическую:

3.  Найденную разность возводят  в квадрат: .

4. Полученные квадраты разностей умножают на соответствующие частоты: .

5. Определяют сумму всех произведений 

6.  Найденную сумму делят на  объем совокупности п.

Имея исходные данные, составим табл. 3.5.

                                              Таблица 3.5

Определение дисперсии

№ п/п
1	2	3	4	5	6	7
1	1,25	3	3,75	-0,11	0,0121	0,0363
2	1,30	5	6,50	-0,06	0,0036	0,0180
3	1,32	6	7,92	-0,04	0,0016	0,0096
4	1,36	9	12,14	0,00	0,0000	0,0000
5	1,38	8	11,04	0,02	0,0004	0,0032
6	1,40	5	7,00	0,04	0,0016	0,0080
7	1,42	4	5,68	0,06	0,0036	0,0144
8	1,45	3	4,35	0,09	0,0081	0,0243
Всего	—	43	58,48	—	—	0,1138

 

При определении дисперсии  большое значение имеет столбец 5, в котором от каждого варианта вычитается значение средней арифметической. Таким образом, показатели столбца 5 указывают на то, как каждый конкретный вариант соотносится со средним значением. Если средняя величина определена верно, то сумма отрицательных величин по модулю должна быть равна сумме положительных величин.

    

В целом данные столбца 5 показывают, как все варианты рассеиваются относительно средней величины.

Вычисляя среднюю арифметическую, группу исходных данных заменили одной  величиной, самой типичной и характерной. Теперь необходимо заменить все показатели рассеивания одним показателем - средней арифметической всех показателей рассеивания. Однако при правильном исчислении средняя сумма отрицательных показателей должна быть равна сумме положительных показателей, т.е. при вычислении средней арифметической их сумма должна быть равна нулю. Поэтому предлагается возвести все знаковые показатели в квадрат, а потом найти среднюю арифметическую всех квадратов. Именно с этой целью в столбце 6 находятся квадраты разностей , а в столбце 7 - их произведение на частоты с целью определения средней арифметической среди них.

Таким образом, дисперсия  представляет собой среднюю арифметическую величину всех . Эта величина указывает на рассеивание исходных данных относительно средней арифметической (в квадрате).

Обратим внимание на то, что средняя арифметическая ряда получена в тех же единицах (в примере в секундах (с)), что и исходные измерения, в то время как дисперсия вычислена в квадрате этих величин. Это обстоятельство затрудняет сравнение найденных показателей.

Для того чтобы осуществить сравнение, перейдем к определению следующего параметра вариационного ряда - среднего квадратического отклонения . С этой целью следует извлечь корень квадратный из дисперсии и учесть только положительный корень:

Так, для вышеприведенного ряда среднее квадратическое отклонение составляет

c

Обратим внимание также на то, что в примере вычисления дисперсии проводились с большей точностью, чем измерения, а именно до десятитысячного знака. Это объясняется тем, что округление этих данных до сотых, как и в измерениях, лишило бы нас значимых чисел и привело бы к нулю. Поэтому среднее квадратическое отклонение следует рассчитывать с большей точностью. При нахождении среднего квадратического отклонения, извлекая корень из дисперсии, мы снова возвращаемся к исходной точности.

Теперь объединим два  основных параметра вариационного  ряда - и в виде следующего интервала: .

Приведенный интервал означает, что исходные данные, объединенные в вариационный ряд, могут быть представлены величинами:

 c

Рассматривая данный интервал, видим, что исходный массив чисел без значимой погрешности  может быть заменен основным средним показателем 1,36 с, отклонение от которого с недостатком представляется -0,05 с, а с избытком - +0,05 с. Другими словами, вся группа чисел может быть представлена интервалом в пределах от 1,36 - 0,05 = 1,31 с до 1,36 + 0,05 = 1,41 с, который можно записать как 1,31... 1,41 с.

Интервал представляет типичные, основные для данной совокупности показатели. Так, в примере исходная совокупность представляется как 1,31... 1,41 с, а варианты, выходящие за эти пределы, являются нетипичными, нехарактерными, недостаточно показательными.

Таким образом, варианты 1,25; 1,30; (см. табл. 3.5) являются нехарактерными для данной спортивной группы как превосходящие основную группу (чем меньше время забега, тем выше спортивный результат), а показатели 1,42 и 1,45 - нехарактерными для данной группы как недостигающие среднего уровня. Поскольку в первой группе 14 спортсменов (3 + 5 + 6), а во второй 7 спортсменов (4 + 3), то показатели двух групп в сумме равны 21 спортсмену (14 + 7), что составляет почти половину от числа всех спортсменов (n = 43). Отсюда можно сделать вывод, что данная группа весьма неоднородна по исходным показателям, и потому требует определенной организационной оценки.

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и характеризуемый им признак. Если требуется сравнить между собой степень варьирования признаков, выраженных в разных единицах измерения, возникают определенные неудобства. Пусть, например, результаты в беге на 100 м, показанные группой IX классов, имеют стандартное отклонение 0,9, а исследование роста тех же учащихся показывает, что его стандартное отклонение составляет 6 см (при среднем росте 168 см). Какой из признаков варьирует сильнее? Очевидно, что только на основании сравнения стандартных отклонений на этот вопрос ответить нельзя. Требуется сопоставить стандартные отклонения со средними арифметическими этих признаков. Поэтому вводится относительный показатель ; называемый коэффициентом вариации

По формуле находим значение коэффициента вариации, определяющего, какой процент от средней арифметической составляет показатель рассеивания . Так, в примере

это означает, что рассеивание  показателей относительно средней арифметической составляет 3,68 %.

В спортивной практике колеблемость результатов измерений в зависимости  от величины коэффициента вариации считают  небольшой (0 – 10%) выборку можно считать  однородной, т.е. полученной из одной  генеральной совокупности, средней (11 – 20%) и большой (v ≥ 20) выборка не компактна по заданному признаку.

Коэффициент вариации может указать на квалификацию испытуемого. Известно, что высококвалифицированные спортсмены показывают очень близкие результаты, т.е. рассеивание их данных незначительно и коэффициент вариации должен быть невысоким, в то время как показатели спортсменов невысокой квалификации сильно разнятся, поэтому их коэффициенты вариации должны быть выше.

 

Пример. Рассмотрим результаты забега (с) на 200 м десяти юношей, приведенные в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Обработка результатов забега юношей

№ п/п
1	28,0	1	28,0	0,5	0,25	0,25
2	28,5	1	28,5	1,0	1,00	1,00
3	27,8	3	83,4	0,3	0,09	0,27
4	27,4	2	54,8	-0,1	0,01	0,02
5	27,0	2	54,0	-0,5	0,25	0,50
6	26,8	1	26,8	-0,7	0,49	0,49
Всего	—	10	275,5	—	—	2,53

 

c;     с;

 с;  

Теперь рассмотрим результаты спортсменов высокого класса (табл. 3.7)

Таблица 3.7

Обработка результатов забега спортсменов  высокого класса

№ п/п
1	21,0	1	21,0	-0,3	0,09	0,09
2	21,2	2	42,4	-0,1	0,01	0,02
3	21,3	3	63,9	0,0	0,00	0,00
4	21,4	2	42,8	0,1	0,01	0,02
5	21,6	1	21,6	-0,3	0,09	0,09
6	21,7	1	21,7	-0,4	0,16	0,16
Всего	—	10	213,4	—	—	0,38

Определим среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

с;      с;

с;     

Итак, проанализировав результаты спортсменов при помощи коэффициента вариации, дисперсии и среднего квадратического отклонения, можно сделать вывод, что рассеивание исходных данных у них значительно меньше, а значит, квалификация спортсменов выше.

Коэффициент вариации выражается относительным числом в процентах. Это создает возможность сравнения показателей с различными наименованиями.