Методы статической обработки результатов измерений

Для простого упорядоченного ряда, где n_i = 1, вычисление параметров и упрощается и осуществляется по следующим формулам:

;      ;

В заключении отметим, что в статистике принято среднюю арифметическую относить к мерам центральной  тенденции, а дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации – к мерам вариабельности.

 

6. Достоверность различий между двумя независимыми результатами

В большинстве случаев  в исследованиях студентов, выполняющих дипломные работы, могут решаться задачи выявления эффективности той или иной методики обучения и тренировки с применением определенных средств, приемов и способов организации занятий. Эти задачи обычно решаются путем проведения; сравнительного педагогического эксперимента с выделением экспериментальных и контрольных групп, результаты которых в теории статистики принято называть независимыми. В случае, когда мы имеем дело с результатами, полученными в начале и в конце или на разных этапах проведения эксперимента в одной и той же группе (например, при проведении абсолютного эксперимента), эти результаты считаются зависимыми. Однако здесь мы ограничимся рассмотрением методики обработки только независимых результатов. В подобных случаях исследователю прежде всего необходимо ответить на вопрос: оказалась ли эффективной применяемая экспериментальная методика? С этой целью рассчитывается достоверность различий между полученными в итоге проведения сравнительного педагогического эксперимента результатами экспериментальных и контрольных групп. В педагогических исследованиях различия считаются достоверными при 5%-ном уровне значимости, т. е. при утверждении того или иного положения допускается ошибка не более чем в 5 случаях из 100.

Определение достоверности различий по t-критерию Стьюдента

t-Критерий Стьюдента относится к параметрическим, следовательно, его использование возможно только в том случае, когда результаты эксперимента представлены в виде измерений по двум последним шкалам - интервальной и отношений. Проиллюстрируем возможности критерия Стьюдента на конкретном примере.

Предположим, вам необходимо выяснить эффективность обучения стрельбе по определенной методике. С этой целью проводится сравнительный педагогический эксперимент, где одна группа (экспериментальная), состоящая из 8 человек, занимается по предлагаемой экспериментальной методике, а другая (контрольная) - по традиционной, общепринятой. Рабочая гипотеза заключается в том, что новая, предлагаемая вами методика окажется более эффективной. Итогом эксперимента является контрольная стрельба из пяти выстрелов, по результатам которых (табл. 3.8) нужно рассчитать достоверность различий и проверить правильность выдвинутой гипотезы.

 

Таблица  3.8

Сравнительные результаты обучения стрельбе

Группы	п	Очки
Экспериментальная	8	35	40	28	32	30	25	43	44
Контрольная	8	23	20	43	35	15	26	24	28

Что же необходимо сделать  для расчета достоверности различий по t - критерию Стьюдента?

1. Вычислить средние  арифметические величины  для каждой группы в отдельности по следующей формуле:

Проставив в формулу фактические значения из таблицы 3.8, получим

Сопоставление среднеарифметических величин показывает, что в экспериментальной группе данная величина выше, чем в контрольной. Однако для окончательного утверждения того, что занимающиеся экспериментальной группы научились стрелять лучше, следует убедиться в статистической достоверности различий (t) между рассчитанными среднеарифметическими значениями.

2. В обеих группах вычислить стандартное отклонение ( ) по следующей формуле:                                                                    

где X_{i max} - наибольший показатель; X_{i min} - наименьший показатель; К - табличный коэффициент.

Порядок вычисления стандартного отклонения ( ):

- определить X_{i max} в обеих группах;    

- определить X_{i min} в этих группах

- определить число  измерений в каждой группе (n);

-  найти по специальной  таблице (приложение 1) значение коэффициента К, который соответствует числу измерений в группе (8). Для этого в левом крайнем столбце под индексом (п) находим цифру 0, так как количество измерений в нашем примере меньше 10, а в верхней строке - цифру 8; на пересечении этих строк - 2,85, что соответствует значению коэффициента К при 8 испытуемых;                   

-  подставить полученные  значения в формулу и произвести! необходимые вычисления:                                                            

3.  Вычислить стандартную  ошибку среднего арифметического  значения (т) по формуле

Для нашего примера подходит первая формула, так как п < 30. Вычислим для каждой группы значения:

4. Вычислить среднюю  ошибку разности по формуле

5.  По специальной  таблице (приложение 2) определить достоверность различий. Для этого полученное значение (t) сравнивается с граничным при 5%-ном уровне значимости (t_0,05,) при числе степеней свободы = п_э + п_к - 2, где п_э и п_к — общее число индивидуальных результатов соответственно в экспериментальной и контрольной группах. Если окажется, что полученное в эксперименте t больше граничного значения (t_0,05), то различия между средними арифметическими двух групп считаются достоверными при 5%-ном уровне значимости, и наоборот, в случае когда полученное t меньше гранианого значения t_0,05, считается, что различия недостоверны и разница в среднеарифметических показателях групп имеет случайный характер. Граничное значение при 5%-ном уровне значимости (t₀₀₅) определяется следующим образом:

- вычислить число степеней  свободы = 8 + 8 - 2= 14;

- найти по таблице  (приложение 2) граничное значение t_0,05 при =14.

В нашем примере табличное  значение t_0,05 = 2,15, сравним его с вычисленным t, которое равно 1,7, т.е. меньше граничного значения (2,15). Следовательно, различия между полученными в эксперименте средними арифметическими значениями считаются недостоверными, а значит, недостаточно оснований для того, чтобы говорить о том, что одна методика обучения стрельбе оказалась эффективнее другой. В этом случае можно записать: t = 1,7 при р > 0,05, это означает, что в случае проведения 100 аналогичных экспериментов вероятность (р) получения подобных результатов, когда средние арифметические величины экспериментальных групп окажутся выше контрольных, больше 5%-ного уровня значимости или меньше 95 случаев из 100. Итоговое оформление таблицы с учетом полученных расчетов и с приведением соответствующих параметров может выглядеть следующим образом (табл. 3.9).

Таблица   3.9

Сравнительные результаты обучения стрельбе

Группа	п	Очки										т	t	p
Экспериментальная	8	35	40	28	32	30	25	43	44	35	6,6	2,5	1,7 > 0,05
Контрольная	8	23	20	43	35	15	26	24	28	27	9,8	3,8

 

Как уже говорилось в  начале этого раздела, t-критерий Стьюдента может применяться только в тех случаях, когда измерения сделаны по шкале интервалов и отношений. Однако в педагогических исследованиях нередко возникает потребность определять достоверность различий между результатами, полученными по шкале наименований или порядка. В таких случаях используются непараметрические критерии. В отличие от параметрических непараметрические критерии не требуют вычисления определенных параметров полученных результатов (среднего арифметического, стандартного отклонения и т.п.), чем в основном и связаны их названия.

 

7. Определение меры связи между явлениями

Исследователей часто  интересует вопрос о том, как связан: между собой различные факторы, влияющие на результаты учебно-тренировочного процесса. Например, имеют ли спортсмены начавшие заниматься каким-либо видом спорта в более раннем возрасте, тенденцию к достижению более высоких результатов? Или как влияет гибкость гимнаста на качество выступлений на соревнованиях и т.п. Такого рода связи и зависимости называются корреляционными или просто корреляцией. Изучение этих связей с помощью математических методов осуществляете на основе корреляционного анализа, основные задачи которого - измерение тесноты, а также определение формы и направления существующей между рассматриваемыми явлениями и факторам зависимости.

По направлению корреляция бывает положительно (прямой) рис 3.3 в или отрицательной (обратной) рис 3.3 г, а по форме - линейно и нелинейной (рис 3.4 и 3.5) При положительной корреляции с возрастанием признаков одного фактора они увеличиваются и у другого. Например с увеличением силовых показателей у штангистов улучшаются и результаты на соревнованиях. При отрицательной корреляции наоборот - при увеличении признаков одного фактора признак другого уменьшаются. Например, увеличение веса у гимнаста может вызвать ухудшение спортивных результатов. Корреляция называется линейной, когда направление связи между изучаемыми признаками графически и аналитически выражается прямой линией. Если же корреляционная зависимость имеет иное направление, она называется нелинейной. Анализ линейной корреляции осуществляется с помощью вычисления коэффициентов корреляций (r). Для измерения криволинейной, т.е. нелинейной, зависимости используется показатель, называемый корреляционным отношением.

При наличии положительной связи между изучаемыми признаками величина коэффициента корреляции имеет положительный знак (+), а при отрицательной - знак (-).

Величина этого коэффициент может колебаться от -1 до +1.

Если коэффициент корреляции равен 0 – наблюдается полная независимость между изучаемыми факторами (рис 3.3 а), меньше 0,3, считается, что связь слабая, при коэффициенте от 0,31 до 0,69 — средняя и при значениях коэффициента от 0,70 до 0,99 – сильная, если коэффициент корреляции равен 1 или -1 – то наблюдается полная взаимосвязь (рис 3.3 б). Значение коэффициента корреляции выражается десятичными дробями с точностью до второго знака после запятой. Для изучения меры связи при линейной корреляции в зависимости от того, по какой шкале произведены измерения, вычисляется тот или иной вид коэффициента.

 

 

 

        

 

 

        

Рис 3.3 Геометрическая интерпретация коэффициента корреляции

 

Рис. 3.4. Линейная зависимость

 

 

Рис. 3.5. Нелинейная зависимость

 

7.1 Определение коэффициента корреляции при количественных измерениях

Когда результаты получены на основе шкалы интервалов и отношений, корреляционный анализ целесообразнее проводить с помощью вычисления коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона (r), рассчитанного для количественных измерений по следующей формуле:

где - отдельные значения первого признака; — средняя арифметическая величина первого признака; - отдельные значения второго признака; - средняя арифметическая величина второго признака.

Рассмотрим методику вычисления коэффициента корреляции r (табл. 3.10) на примере изучения связи между ростом и максимальным потреблением кислорода у лыжников (2-й признак).

Таблица 3.10

Методика вычисления коэффициента корреляции

№ п/п
	1	2	3	4	5	6	7
1	177	5,88	0	0,40	0	0,160	0
2	174	5,49	-3	0,01	9	0,001	-0,03
3	176	5,38	-1	-0,10	1	0,010	0,10
4	175	5,30	-2	-0,18	4	0,0324	0,36
5	183	5,34	6	-0,14	36	0,0196	-0,84