Методы статической обработки результатов измерений

Тема 3 Лекционное занятие  4, 5, 6

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ПЛАН:

1. Предмет математической статистики и ее роль в задачах физической культуры и спорта

2. Генеральная   совокупность  и  выборка

3. Статистическая  совокупность и статистические признаки

4. Образование вариационных рядов

5. Числовые  характеристики выборки

5.1 Среднее арифметическое

5.2 Характеристики рассеяния

6. Достоверность  различий между двумя независимыми результатами

7. Определение меры связи между явлениями

7.1 Определение коэффициента корреляции при количественных измерениях

7.2 Вычисление рангового коэффициента корреляции

 

 

1. Предмет математической статистики и ее роль в задачах  физической культуры и спорта

Математическая  статистика - это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.

Статистические  данные представляют собой данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или явлений; следовательно, математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями.

Методы анализа массовых явлений - предмет многих научных дисциплин; но только в том случае, когда для анализа привлекаются формальные (абстрактные) математические модели, эти методы становятся статистическими.

Современная математическая статистика подразделяется на две обширные области: описательную и аналитическую статистику. Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Аналитическая статистика называется также теорией статистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности. Теория статистических выводов тесно связана с другой математической наукой - теорией вероятностей и базируется на ее математическом аппарате.

Трудно найти современную область  научных исследований, где бы не использовались методы математической статистики. В последнее время они нашли широкое применение в медицине, биологии, социологи», физической культуре и спорте, т.е. в областях, сравнительно недавно считавшихся далекими от математики.

Чтобы понять роль математической статистики в области физической культуры и спорта, достаточно рассмотреть типичную схему педагогического эксперимента в спорте. Специалист, занимающийся исследованиями в конкретной области физической культуры (воспользуемся здесь термином «исследователь», обращаясь к деятельности научного работника, тренера, преподавателя физкультуры), который предложил новый подход к решению определенной задачи, например новую методику подготовки спортсменов данной квалификации, должен доказать справедливость своей рабочей гипотезы. Чаще всего единственное, что он может сделать для этой цели, - провести хорошо организованный эксперимент, результаты которого убедительно доказывают его предположения. Традиционная схема эксперимента заключается в том, что набираются две группы испытуемых: контрольная и экспериментальная, примерно одинаковые по всем факторам, имеющим важное значение для цели исследования (пол, возраст, квалификация и т. п.). Контрольная группа подготавливается по традиционной методике, а экспериментальная - с применением предлагаемых нововведений. После определенного этапа подготовки проводится контрольное обследование и по его результатам судят об эффективности предлагаемой методики.

Конечно, на этапе формирования конкретных целей и задач эксперимента исследователь не нуждается в методах математической статистики. Здесь он является специалистом в своей области и оперирует принятыми там понятиями. Но уже на этапе отбора в контрольную и экспериментальную группы ему приходится сталкиваться с целым рядом новых для него вопросов. Какова должна быть численность групп и как должны отбираться кандидаты в эти группы? Можно ли утверждать, что по уровню подготовленности спортсмены в обеих группах одинаковы или уже на этапе отбора одна из групп существенно отличается от другой?

Дело в том, что исследователь обычно хочет знать, насколько достоверно результаты эксперимента, полученные им на группах ограниченного объема, можно обобщить для всех спортсменов данной квалификации. Интуитивно он понимает, что чем больше численность групп, тем убедительнее должны быть результаты эксперимента. Но увеличение численности групп связано с возрастанием организационных, материальных, временных и других затрат, поэтому понятно стремление уменьшить эти затраты. В общем виде ответить на вопрос о достаточности групп нельзя без анализа целей эксперимента, но, как правило, в каждом конкретном случае найти решение этой задачи можно с помощью формальных методов математической статистики. При отборе претендентов в контрольную и экспериментальную группы также применяются статистические методы, позволяющие исключить предвзятость и произвол и тем самым повысить достоверность результатов.

После проведения контрольных наблюдений исследователь получает фактический материал, представляющий собой, как правило, большой объем числовых данных. Массив этих чисел трудно обозрим, и сделать какие-то конкретные выводы непосредственно по ним невозможно. Здесь используются методы описательной статистики, позволяющие провести классификацию первичных данных, представить их в наиболее наглядной форме и получить некоторые обобщающие показатели, которые дают возможность сравнивать между собой различные данные и делать определенные выводы.

В качестве обобщающих числовых показателей  используются средние значения и характеристики варьирования (рассеяния) экспериментальных данных. Получив эти показатели для контрольной и экспериментальной групп, исследователь видит, что они различаются. Но возникает следующий вопрос: насколько достоверны эти различия? Можно ли объяснить наблюдаемое различие действием предложенных нововведений или это различие - случайность, обусловленная малым объемом фактических данных и сильной вариативностью испытуемых? Здесь не обойтись без применения математических методов проверки статистических гипотез.

Перечисленными вопросами не исчерпывается круг задач, решаемых при конкретных исследованиях с использованием методов математической статистики. Очень часто целью исследования является установление наличия и степени связи между спортивным результатом и определенными показателями тренированности, между силой мышц и скоростью их сокращения, между спортивным достижением в одном и другом видах спорта и т.п. Подобные задачи решаются методами корреляционного и регрессионного анализа.

2. Генеральная   совокупность  и  выборка

Экспериментальные данные в области физической культуры и спорта обычно представляют собой результаты измерения некоторых признаков (спортивный результат, двигательные способности и пр.) объектов, выбранных из большой совокупности объектов. Часть объектов исследования, определенным образом выбранная из более обширной совокупности, называется выборкой, а исходная совокупность, из которой взята выборка, - генеральной (основной) совокупностью.

Всегда необходимо четко определять, что понимается под генеральной совокупностью. Ее состав и численность зависят от объектов и целей проводимого исследования. Объектами исследования, составляющими генеральную совокупность, являются в спорте обычно отдельные спортсмены. Если, например, самостоятельной задачей является обследование лиц, поступающих в данный институт физической культуры в текущем году, то генеральная совокупность - все абитуриенты института этого года. Если мы хотим получить подобные данные для всех институтов физической культуры страны, то абитуриенты данного института - уже выборка из более широкой генеральной совокупности - всех абитуриентов физкультурных вузов этого года.

Исследования, в которых участвуют  все без исключения объекты, составляющие генеральную совокупность, называются сплошными исследованиями. Такие исследования нетипичны для физической культуры и спорта, где обычно используется выборочный метод. Суть его в том, что для обследования привлекается лишь выборка из генеральной совокупности, но по результатам этого обследования судят о свойствах всей генеральной совокупности. Конечно, для этого к выборке должны предъявляться определенные требования.

3. Статистическая  совокупность и статистические  признаки

Все объекты (элементы), составляющие генеральную совокупность, должны иметь  хотя бы один общий признак, позволяющий классифицировать объекты, сравнивать их друг с другом  (пол, возраст, спортивная квалификация и т.п.). Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности. Таким образом, статистическая совокупность представляет собой результаты описания или измерения общих признаков объектов исследования.

Если статистическая совокупность получена в результате выборочного исследования, то она называется выборочной совокупностью, или просто выборкой. Под генеральной (статистической) совокупностью тогда подразумевается совокупность всех возможных значений признака в данном исследовании.

Важнейшая характеристика выборки - объем выборки, т. е. число элементов в ней. Объем выборки принято обозначать символом п. Относительно объема генеральной совокупности, обозначаемого N, как правило, делается предположение, что он бесконечно велик, т.е. выборка получается из бесконечной генеральной совокупности.

По одним признакам  элементы генеральной совокупности могут полностью совпадать, значения же других признаков изменяются от одного элемента к другому. Например, объектами исследования могут быть представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одного пола и возраста, но различающиеся по силе мышц, быстроте реакции, показателям систем дыхания и кровообращения и т.д. Предметом изучения в статистике являются именно изменяющиеся (варьирующие) признаки, которые иногда называют статистическими признаками. Они делятся на качественные и количественные.

Качественные признаки - это признаки, которыми объект обладает либо не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению (например, спортивная специализация, квалификация, национальность, территориальная принадлежность и т.п.).

Количественные признаки представляют собой результаты подсчета или измерения. В соответствии с этим они делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные признаки могут принимать лишь отдельные  значения из некоторого ряда чисел, например число подтягиваний на перекладине, число попаданий и промахов при серии выстрелов и т. п.

Непрерывные признаки могут  принимать любые значения в определенном  интервале.  Например, время    прохождения    дистанции,    скорость   движения, угол в суставе.

Отдельные числовые значения варьирующего признака называются вариантами. Варианты принято обозначать строчными латинскими буквами из конца алфавита: х, у, z.

4. Образование вариационных рядов

Как правило, необработанные (первичные) экспериментальные данные представлены в виде неупорядоченного набора чисел, записанных исследователем в порядке их поступления. Этот набор данных трудно обозрим, и сделать по ним какие-то выводы невозможно. Поэтому первичные данные нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки.

Группировка представляет собой процесс систематизации, или упорядочения, первичных данных с целью извлечения содержащейся в них информации. Группировка выполняется различными методами в зависимости от целей исследования, вида изучаемого признака и количества экспериментальных данных (объема выборки), но наиболее часто группировка сводится к представлению данных в виде статистических таблиц.

Пример. У 43 легкоатлетов при выполнении старта с последующим бегом на 6 м измерена величина стартовой реакции (с):

1,25      1,36      1,38      1,32      1,32      1,36      1,40      1,30

1,38      1,30      1,40      1,36      1,42      1,45      1,38      1,36

1,42      1,38      1,32      1,25      1,38      1,36      1,30      1,40

1,32      1,36      1,45      1,38      1,42      1,40      1,36      1,42

1,38      1,40      1,36      1,30      1,32      1,36      1,38      1,42

1,32      1,25      1,30

Статистические совокупности предполагают большие массивы чисел: чем больше исходных данных, тем  точнее конечный результат. В принципе практические совокупности имеют объем от 30 до 200 ед. Однако в практике спорта есть свои особенности.

Во-первых, на практике по определенному виду спорта чемпионов бывает ограниченное количество (8 - 10 человек). В этом случае используют статистические методы на малых совокупностях, справедливо полагая, что лучше установить закономерность на малой совокупности, чем вообще ее не иметь.

Во-вторых, в практике спорта не только спортсмены, но и сами явления бывают уникальны, поэтому  совокупности могут быть малыми. Как  бы там ни было, но принцип действия метода сред них величин остается одинаковым и для больших, и для малых совокупностей.

Пример представляет собой серию однотипных измерений. Полученная на практике и представленная выше группа бессистемных чисел должна быть преобразована в систему, т.е. совокупность связанных между собой показателей, характеристики которой дадут представление о всей системе, а через нее – и о группе исходных данных.

С целью получения  такой системы осуществим операцию ранжирования.

Ранжирование - это операция расположения чисел в порядке или возрастания, или убывания.

Для примера операция ранжирования по возрастанию чисел такова:

1,25    1,25    1,25

1,30    1,30    1,30    1,30    1,30

1,32    1,32    1,32    1,32    1,32    1,32

1,36    1,36    1,36    1,36    1,36    1,36    1,36    1,36    1,36

1,38    1,38    1,38    1,38    1,38    1,38    1,38    1,38

1,40    1,40    1,40    1,40    1,40

1,42    1,42    1,42    1,42

1,45    1,45    1,45

Теперь несложно увидеть, что большая совокупность не поддается анализу и потому на практике бесполезна.

Максимально упростим ранжированный  материал, подсчитаем количество каждого показателя и выстроим их в столбцы (табл. 3.1):

Таблица 3.1

                                                          Вариационный ряд

xi	ni
1,25 1,30 1,32 1,36 1,38 1,40 1,42 1,45	3 5 6 9 8 5 4 3