Метод экспертных оценок

Если  при оценке пары экспертов высказались в пользу предпочтения экспертов высказались наоборот и экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины равна [12]

                                                                                          (5.37)

  Общее количество экспертов равно сумме

                                                                                                                 (5.38)

  Определяя отсюда и подставляя его в (5.37), получаем [12]

                                                                                          (5.39)

  Очевидно, что  Совокупность величин образует матрицу на основе которой можно построить ранжировку всех объектов и определить коэффициенты относительной важности объектов.

  Введем  вектор коэффициентов относительной  важности объектов порядка t следующей формулой [12]:

                                                                                                       (5.40)

где - матрица математических ожиданий оценок пар объектов, - вектор коэффициентов относительной важности объектов порядка t. Величина равна [12]

                                                                                                                  (5.41)

  Коэффициенты  относительной важности первого  порядка есть относительные суммы элементов строк матрицы X. Действительно, полагая t=1, из (5.40) получаем [12] 

                                                                                                       (5.42)

  Коэффициенты  относительной важности второго  порядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицы X² [12].

                                                                                             (5.43)

  Если  матрица Х неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка величина сходится к максимальному собственному числу матрицы Х [12]

                                                                                                                           (5.44)

а вектор коэффициентов относительной важности объектов стремится к собственному вектору матрицы X, соответствующему максимальному собственному числу

                                                                                                              (5.45)

  Определение собственных чисел и собственных  векторов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]

                                                                                                                          (5.46)

где Е—единичная матрица, и системы линейных уравнений [12]

                                                                                                               (5.47)

где k – собственный вектор матрицы X, соответствующий максимальному собственному числу . Компоненты собственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.

  С практической точки зрения вычисление коэффициентов относительной важности объектов проще производить последовательной процедурой по формуле (5.40) при t=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последовательных вычислений достаточно, чтобы получить значения  и k, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).

  Матрица неотрицательная, поскольку все ее элементы (5.39) неотрицательны. Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одноименных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду [12]

                                                                                                     (5.48)

где - неразложимые подматрицы матрицы X. Представление матрицы Х в виде (5.48) означает разбиение объектов на l доминирующих множеств [12]

                                                                                                           (5.49)

При 1=n матрица Х неразложима, т. е. существует только одно доминирующее множество, совпадающее с исходным множеством объектов. Разложимость матрицы Х означает, что среди экспертов имеются большие разногласия в оценке объектов.

  Если  матрица Х неразложима, то вычисление коэффициентов относительной важности позволяет определить, во сколько раз один объект превосходит другой объект по сравниваемым показателям. Вычисление коэффициентов относительной важности объектов позволяет одновременно построить ранжировку объектов. Объекты ранжируются так, что первым объектом считается объект, у которого коэффициент относительной важности наибольший. Полная ранжировка определяется цепочкой неравенств [12]

  

из которой  следует

  

  Если  матрица Х является разложимой, то определить коэффициенты относительной  важности можно только для каждого  множества  . Для каждой матрицы определяется максимальное собственное число и соответствующий этому числу собственный вектор. Компоненты собственного вектора и есть коэффициенты относительной важности объектов, входящих в множество . По этим коэффициентам осуществляется ранжировка объектов данного множества. Общая ранжировка объектов дается соотношением [12]

  

Таким образом, если матрица Х неразложима, то по результатам парного сравнения объектов возможно как измерение предпочтительности объектов в шкале отношений, так и в шкале порядка (ранжирование). Если же матрица Х разложима, то возможно только ранжирование объектов.

  Следует отметить, что отношение предпочтения может быть выражено любым положительным числом С. При этом должно выполняться условие В частности, можно выбрать С=2 так, что если , то если то и если , то .  
 
 
 
 
 

  3.5. Определение взаимосвязи ранжировок 

  Батыгин Г.С. ²¹²²: при обработке результатов ранжирования могут возникнуть задачи определения зависимости между ранжировками двух экспертов, связи между достижением двух различных целей при решении одной и той же совокупности проблем или взаимосвязи между двумя признаками.

  В этих случаях мерой взаимосвязи  может служить коэффициент ранговой корреляции. Характеристикой взаимосвязи множества ранжировок или целей будет являться матрица коэффициентов ранговой корреляции. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

  Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется формулой [12]:

                                                                                                                         (5.50)

где - взаимный корреляционный момент первой и второй ранжировок, - дисперсии этих ранжировок. По данным двум ранжировкам оценки взаимного корреляционного момента и дисперсии вычисляются по формулам [12]:

                                                                                          (5.51)

                                                               (5.52)

где n – число ранжируемых объектов, - ранги в первой и второй ранжировках соответственно, - средние ранги в первой и второй ранжировках. Оценки средних рангов определяются формулами [12]:

                                                                                       (5.53)

  Вычислим  оценки средних рангов и дисперсий  в предположении, что в ранжировках отсутствуют связанные ранги, т. е. обе ранжировки дают строгое упорядочение объектов. В этом случае средние ранги (5.53) представляют собой суммы натуральных чисел от единицы до n, поделенные на n. Следовательно, средние ранги для обеих ранжировок одинаковы и равны [12]

                                                                                               (5.54)

  При вычислении оценок дисперсий заметим, что если раскрыть круглые скобки в формулах (5.52), то под знаком сумм будут находиться натуральные числа и их квадраты. Две ранжировки могут отличаться друг от друга только перестановкой рангов, но сумма натуральных чисел и их квадратов не зависит от порядка (перестановки) слагаемых. Следовательно, дисперсии (5.52) для двух любых ранжировок (при отсутствии связанных рангов) будут одинаковы и равны [12]

    

   (i=1,2).                                                 (5.55)

  Подставляя  значение из (5.51) и из (5.55) в формулу (5.50), получим оценку коэффициента ранговой корреляции Спирмена [12]

                                                                                             (5.56)

  Для проведения практических расчетов удобнее  пользоваться другой формулой для коэффициента корреляции Спирмена. Ее можно получить из (5.56), если воспользоваться тождеством [12]

                                     (5.57)

В равенстве (5.57) первые две суммы в правой части, как это следует из выражения (5.55), одинаковы и равны [12]

                                                          (5.58)

  Подставляя  в формулу (5.56) значение суммы из (5.57) и используя равенство (5.58), получаем следующую удобную для расчетов формулу коэффициента ранговой корреляции Спирмена [12]:

                                                                                                  (5.59)

  Коэффициент корреляции Спирмена изменяется от –1 до +1. Равенство единице достигается, как это следует из формулы (5.59), при одинаковых ранжировках, т. е. когда Значение имеет место при противоположных ранжировках (прямая и обратная ранжировки). При равенстве коэффициента корреляции нулю ранжировки считаются линейно независимыми.

  Оценка  коэффициента корреляции, вычисляемая  по формуле (5.59), является случайной величиной. Для определения значимости этой оценки необходимо задаться величиной вероятности , принять решение о значимости коэффициента корреляции и определить значение порога по приближенной формуле [12]

                                                                                                            (5.60)

где n – количество объектов, - функция, обратная функции [12]

для которой  имеются таблицы [7]. После вычисления порогового значения оценка коэффициента корреляции считается значимой, если .

  Для определения значимости оценки коэффициента Спирмена можно воспользоваться  критерием Стьюдента, поскольку  величина [12]