Основы теории принятия решений в конфликтных ситуациях

Первый  прием предусматривает определение  математического ожидания случайной величины v – M(v) и определение зависимости W(M(v)), которая в дальнейшем оптимизируется по u. Однако сведение к детерминированной схеме может быть осуществлено в тех случаях, когда диапазон изменения параметра u невелик или когда зависимость W(u) линейна или близка к ней.

Второй  прием предусматривает определение W в соответствии с зависимостями  соответственно для дискретных и  непрерывных величин:

;

где

P(u_i) – ряд распределений случайной величины u_i;

f(u_i) – плотность распределения случайной величины u.

При описании дискретных случайных величин наиболее часто используют распределения Пуассона, биноминальное. Для непрерывных величин основными распределениями являются нормальное, равномерное и экспоненциальное.

Постановка  задачи стохастического программирования

При перспективном  и оперативном планировании работы предприятия возникает необходимость в учете ряда случайных факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким факторам относятся спрос, который не всегда может быть предсказуем, непредусмотренные сбои в поступлении сырья, энергии, рабочей силы, неисправности и аварии оборудования. Еще больше случайных факторов необходимо учитывать при планировании производства, эффективность которого зависит от климатических условий, урожайности и т.д. Поэтому, например, задачи планирования лесного производства целесообразно ставить и исследовать в терминах и понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов b, вектора оценок c) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛП принято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).

Подходы к постановке и анализу стохастических задач существенно различаются  в зависимости от последовательности получения информации – в один прием или по частям. При построении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принять единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.

В одноэтапных  задачах решение принимается  один раз и не корректируется. Они  различаются по показателям качества решения, по характеру ограничений  и по виду решения.

Задача  СП может быть сформулирована в M- и P- постановках по отношению к записи целевой функции и ограничений.

Случайны  элементы вектора с (целевая функция).

При M-постановке целевая функция W записывается в  виде

,

что означает оптимизацию математического ожидания целевой функции. От математического  ожидания целевой функции можно  перейти к математическому ожиданию случайной величины c_j

.

При P- постановке имеем:

· при  максимизации

где

W_min – предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевой функции.

· при  минимизации

где

W_max – предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевой функции.

Суть P-постановки заключается в том, что необходимо найти такие значения x_j, при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Ограничения задачи, которые должны выполняться  при всех реализациях параметров условий задачи, называются жесткими ограничениями. Часто возникают  ситуации, в которых постановка задачи позволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределению случайных параметров. Такие ограничения называют статистическими:

В тех  случаях, когда по содержательным соображениям можно допустить, чтобы невязки  в условиях не превышали заданных с вероятностями, небольшими a _i>0, говорят о стохастических задачах с вероятностными ограничениями:

т.е. вероятность  выполнения каждого заданного ограничения должна быть не менее назначенной величины a _i. Параметры a _i предполагаются заданными или являются решениями задачи более высокого уровня.

Представленные  задачи как в M-, так и в P- постановках  непосредственно решены быть не могут. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам. В основе этого перехода лежит использование закона распределения случайной величины. В инженерной практике наиболее часто используется нормальный закон распределения, поэтому дальнейшие зависимости приведем для этого случая.

Принимаем, что a_ij, b_i, c_j подчинены нормальному закону распределения. В этом случае будет справедлива следующие детерминированные постановки:

· P –  постановка целевой функции, максимизация:

где

и s _j - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины c_j.

· P –  постановка целевой функции, минимизация:

· Вероятностные  ограничения:

где

- соответственно, математические ожидания и дисперсии  случайных величин a_ij и b_i;

- значение  центрированной нормированной случайной  величины в нормальном законе  распределения, соответствующей  заданному уровню вероятности соблюдения ограничений a _i.

Сделаем несколько замечаний к приведенным  зависимостям:

· задача стохастического программирования сведена к задаче нелинейной оптимизации  и может быть решена одним из рассматриваемых  ранее методов;

· сравнение  ограничения ресурса в стохастическом программировании и аналогичным  ограничением в задаче линейного  программирования показывает, что учет случайного характера величин a_ij и b_i приводит к уменьшению располагаемого ресурса на величину

, (6.16)

т.е. к  необходимости в дополнительном ресурсе. Однако этот дополнительный ресурс может оказаться неиспользованным, но для гарантированного выполнения плана его иметь необходимо.

В задачах  принятия оптимальных решений широкое  применение получил метод Монте-Карло. Основными особенностями этого  метода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма для каждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладывает практически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законов распределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числа реализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на его основе процедуры поиска оптимальных параметров проектирования. Отметим основные факторы, определившие применение метода статистического моделирования в задачах исследования качества при проектировании: метод применим для задач, формализация которых другими методами затруднена или даже невозможна; возможно применение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуре системы, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени и средств или вообще не допустим по другим соображениям.

Учет  неопределенных пассивных условий

Неопределенные  факторы, закон распределения которых  неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений.

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

.

Правило выбора решения в соответствии с  критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца .

Выбранное таким образом решение полностью  исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение  этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

· о  вероятности появления состояния V_j ничего не известно;

· с  появлением состояния V_j необходимо считаться;

· реализуется  лишь малое количество решений;

· не допускается  никакой риск.

Критерий  Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных  следствий всех вариантов решений:

.

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий  Байеса-Лапласа предъявляет к  ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

· вероятность  появления состояния V_j известна и не зависит от времени;

· принятое решение теоретически допускает  бесконечно большое

· количество реализаций;

· допускается  некоторый риск при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как  максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно  критерию Гурвица выбирается такая  стратегия, которая занимает некоторое  промежуточное положение между  крайним пессимизмом и оптимизмом:

где

r –  коэффициент пессимизма, выбираемый  в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки . Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

При r =1 критерий Гурвица превращается в  критерий Вальда (пессимиста), а при r =0 – в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель r . В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель r =0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий  Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования: