Количественные методы оценки

    Воспроизведем табл. Для нашего примера № 1, добавив  к ней столбец f_i накопленных частот, т.е. сумму всех предшествующих вариант выборки плюс данная f_i:

    Таблица 3

 

    Срединная варианта, т.е. такая, справа и слева  от которой располагается равное количество вариант, имеет порядковый номер 18 (ведь общее N = 35). Ее величина равна 4. Однако практика элементарной статистики предполагает более точное вычисление медианы, основанное на операции простейшей интерполяции. Для нашего примера медианный класс (разряд) х_ме = 4, и таких вариант 13, т.е. f_ме = 13. Использование приема интерполяции предполагает некоторый непрерывный рост вариант в каждом разряде, что особенно проблематично, конечно, для дискретных мер памяти, подобных нашему примеру № 1.

    Вводим  формулу интерполяции:  

    где    х  - величина медианного разряда (в  нашем примере = 1);

           х_Ме  - начало медиального разряда (что для данного примера равно 4, так как это разряд точечный, дискретный);

         N_Ме  - порядковый номер медианной варианты, равный 18;

      f < _Ме     - накопление частоты для разряда, являющегося меньше разряда медианного, т.е. для нашего примера равно 15;

    f _Me - f< _Me = f _Me - частота медианного разряда, или разность между накопленными частотами для разряда медианного и разряда меньшего, чем медианный, т.е.

    f _Me - f < _Me = 28-15 =13.

    Тогда М_е = 4+1  18-15/28-15 = 4,2

    Аналогичным образом преобразовывается табл. 1 для примера № 2

 

    В данном случае нет истинно медианного значения (четное число вариант, N=30), тогда за медиану принято брать среднее арифметическое значение между вариантами с номером N/2 и номером N/2+1, т.е. это как бы варианта с номером 15,5.

    Применяем сразу формулу интерполяции:

    М_е = 8,5 +1  15,5-14/19-14 = 8,8.

    Медиана легче вычисляется, чем средняя  арифметическая, поэтому может использоваться как заменитель Х_ар (рабочий “суррогат”). В целом ряде практических случаев использование М_е даже более предпочтительно: она менее подвержена влияниям случайных (в особенности крайних) колебаний вариант, выгодна в случаях неточностей концов распределения. Абсолютное отклонение значений вариант выборки от величины медианы является наименьшим по сравнению с отклонениями от других форм средней величины. Но с медианой невозможно использование удобных статистических критериев, основанных на сложении.

    Медиана совпадает со средней арифметической только в случае распределения симметричного.

    Теоретически  медиана выступает как некая  обобщающая (“истинная”) средняя характеристика умеренно скошенного распределения, точнее, распределения логнормального, т.е. такого, которое подчинено нормальному закону при логарифме аргумента и в котором эффект действия каждого случайного фактора пропорционален уже достигнутому значению исследуемого признака.

    В целом медиана как параметр средний  величины находит достаточно широкое  распространение для скошенных распределений, например, в психофизиологии или в психофизике при определении порогов чувствительности (см. работу № 1 в гл. II).

    4-5. Мода М_о - это значение варианты, наиболее часто встречающиеся в выборке. Мода указывает наиболее типичное значение в распределении асимметричном, где вокруг значения моды некоторое среднее сгущение вариант, она обозначает место и величину воздействия наиболее сильного фактора среди всех тех, что формируют статистическую совокупность, дают проявление исследуемого признака. Мода - это некий класс наибольшего свойства, отнесенного к конкретным условиям измерения.

    Параметр  моды незаменим для шкалы наименований, т.е. в случае сугубо качественной градации вариант. Но мода удобна и для всех других шкал измерения, особенно для случаев большой вариативности показателя, для распределений многовершинных, где мода есть как бы выразительница типа.

    Эмпирическое  определение (вычисление) параметра  моды, подобно вычислению медианы, основано на формуле простейшей интерполяции:

    М_о = х_Мо + х f_Мо-1 / (f_Мо - f_Мо-1) + (f_Мо - f_Мо+1),

    где х_Мо - начало модального, т.е. наиболее частого разряда или интервала;

    х - величина, или ширина, модального разряда;

    f_Мо - частота модального разряда;

    f_Мо-1 - частота разряда, смежного модальному слева, т.е. меньшего, чем х_Мо;

    f_Мо+1 - частота разряда, смежного модальному справа.

    Вычислим  М_о для примера № 1 (исходя из табл. 2):

    М_о = 4+1 * 13-10 / (13-10) + (13-7) = 4,3.

    Значение  моды для примера №  (по данным табл. 1):

    М_о = 7,5+1 * 7-4 / (7-4)+(7-5) = 8,1.

    Помимо  такого эмпирического (т.е. основанного  на результатах конкретного измерения) вычисления, существует также вычисление, основанное на теоретическом определении  моды как точки, соответствующей  максимуму кривой распределения. При этом к эмпирическому распределению подбирается одна из наиболее соответствующих теоретических кривых распределения (например, набор кривых К. Пирсона), а затем параметр моды вычисляется аналитически, т.е. исходя из известной формулы той или иной подобранной теоретической кривой. Этот путь вычисления является математически громоздким и используется лишь в специальных исследовательских задачах. 

    f_i 
 
 
 
 
 

                                  М_о              М_е         Х_ар 

    Рис 18. Соотношение величин трех основных видов средней в умеренно скошенном распределении. 

    Величина  моды скошенного распределения отличается от величины медианы и величины средней  арифметической. Интересно, что для  умеренно скошенных эмпирических распределений (см. рис 18) с достаточной точностью  соблюдается известное соотношение К. Пирсона: М_о = Х_ар - 3(Х_ар - М_е), т.е. медиана всегда располагается между величинами Х_ар и М_о, причем ее удаленность от средней арифметической равна приблизительно 1/3 от общей разности между Х_ар и величиной моды. Так что данное соотношение (правило Пирсона) может быть использовано для сглаживания эмпирических величин моды, которые, как правило, отличаются значительным непостоянством (по сравнению с величинами Х_ар).

    Таким образом, для наших примеров № 1 и 2 получены следующие величины для трех важнейших видов средней:

    Для распределения примера № 1 мы имеем  так называемую левостороннюю (или  отрицательную) асимметрию (см. рис. 15), распределение результатов в  примере № 2 имеют скошенность положительную, или правостороннюю (такую же, как на рис. 18, см. также рис 16).

    Расхождение трех основных видов средней величины в скошенном статистическом распределении  особенно четко ставит вопрос о качественном содержании усреднения, заключенного в каждой средней величине. В конкретном психологическом измерении здесь всегда имеется предмет для необходимого анализа. Для ситуации измерения эффективности некоей деятельности (подобной примеру № 2 по работе № 14, гл. II) может быть предложена такая модель отражательных характеристик трех средних значений: М_о дает меру некоторой чистой, или потенциальной, обученности по данной деятельности; М_е измеряет реальный, отнесенный к конкретной ситуации навык, т.е. некоторую адаптированную обученность; Х_ар может быть понята как мера общей успешности выполняемого действия, в котором навык зашумлен многими неспецифическими помехами. Тогда последующее симметричное распределение, в котором три этих параметра соединяются в одной точке, может быть понято как проявление некоторой предельной тренированности: навык полностью реализуется в деятельности и предопределяет ее конечную эффективность (М_е = Х_ар), т.е. сливаются уровни навыка и натренированности, а уровень обученности более не маскируется недостаточностью адаптации к условиям (М_о = М_е). 
 
 
 

5. МЕРЫ  РАССЕЯНИЯ (ВАРИАЦИИ, РАЗБРОСА) ВАРИАНТ

    Разброс вариант по амплитуде вокруг среднего значения может иметь несколько  показателей. Меры рассеяния оценивают  степень изменчивости вариант, являясь одной из характеристик их группировки.

    Например, кривые 1, 2 и 3 на рис. 19 отображают статистические распределения с равными средними значениями, но существенно различающиеся  уровнем разброса значений. Для распределения  по кривой 3 этот разброс наибольший, для кривой 1 - наименьший.

     f_i 

                   
 
 
 
 
 
 

                                                                                                                                          x_i

    Рис. 19. Кривые распределения с равным средним значением Х_ар, но отличающиеся степенью разброса вариант (о₃> о_2> о₁).

    5-1. Простейшей мерой рассеяния является вариационный размах, или разность между наибольшей и наименьшей вариантами, которую для обобщения можно выразить и в процентах, например, к среднему значению.

    Для наших примеров  № 1, 2 (по данным табл. 2 и 1):

                           

                                                  

                                               Таблица 6   

                                                         Вариационный размах

                                   Абсолютная величина        % по отношению к х_ар 

    Пример  № 1                  5-1 = 4                                    111%

    Пример  № 2                14-5 = 9                                      99%

     

    5-2. Среднее линейное (абсолютное) отклонение вычисляется по формуле:

    d =

    Вычисления  по этой формуле целесообразно вести  в специальной таблице. Проиллюстрируем  это для наших примеров

    Пример  № 1

    Таблица 7

    

     f_i                 x_i             \x_i - X_ap\           f_i\x_i - X_ap\

    1           1                 2,6                     2,6                          N = 35;

    4           2                 1,6                     6,4                          x_ap = 3,6;

    10         3                 0,6                     6,0                        d = 30/35 = 0,86.