Количественные методы оценки

    2.1. Упорядочивание - это некоторый исходный этап первоначальной обработки, состоящий в расположении вариант выборки в какой-либо последовательности, удобной для дальнейшего анализа и рассмотрения.

    Пример  №1. В эксперименте по заучиванию ряда десяти двузначных чисел (работа №10 в гл. II) результаты заучивания после первого предъявления составили для 35 испытуемых следующие величины: 5, 3, 5, 5, 4, 3, 3, 4, 1, 4, 5. 4, 4, 3. 4, 5, 3, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 2, 4, 2 , 4, 3, 4, 3, 3, 4, 2, 4, 5.

    Упорядочив варианты по степени их возрастания, получаем следующий статистический ряд: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

    2.2. Вслед за упорядочением вариант  часто производят их  группировку. Для случаев непрерывной переменной, т.е. такой единицы измерения, которая может иметь дробные значения (в отличие от дискретной переменной, подобной нашему примеру №1), группировка - это объединение вариант в интервалы, границы которых устанавливаются произвольно и непременно указываются. Такие интервалы могут быть и неравномерными. Срединное значение, или центр интервала, берется обычно числом целым.

    2.3. Следующим этапом, логически вытекающим  из двух предшествующих, является  табулирование, т.е. построение таблиц или собственно статистических распределений, в которых каждой варианте х_i поставлена в соответствие ее частота f_i в выборке или при необходимости - частость w_i.

    Пример  № 2. В эксперименте по выработке  двигательного навыка (работа № 14 в  гл. II) результаты первой пробы для 30 испытуемых (после упорядочивания) имеют вид такого статистического ряда (в сек.): 5,3; 5,9; 6,2; 6,6; 6,8; 7,0; 7,3; 7,7; 7,8; 7,9; 8,1; 8,3; 8,4; 8,6; 8,6; 8,8; 8,9; 9,3; 9,5; 9,7; 10,3; 10,6; 11,0; 11,4; 11,6; 11,6; 11,9; 12,6; 13,1; 13,9.

    Произведя группировку и табулирование, получаем следующее статистическое распределение:

    Таблица 1

N - 30

    Конечно, такая классификация вариант  в искусственные интервалы искажает исходную выборку и требует введения особой поправки на непрерывность интервала при последующих вычислениях (см. литературу к гл. III).

    Для примера № 1 статистическое распределение  таково:

    Таблица 2

    N - 35

    2-4. Следующим этапом первоначальной обработки выступает графическое представление статистического распределения. В математической статистике принято два вида графических представлений:

    а) полигон (или многоугольник) частот - это ломаная линия, соединяющая  точки, соответствующие величинам частот, откладываемым по оси ординат; это единственный способ графического изображения дискретных статистических распределений;

    б) гистограмма - график, имеющий вид  прямоугольников, основание которых (по оси абсцисс) соответствует интервалу, а высота - частоте (частотному интервалу); площадь гистограммы (в единицах оси ординат) равна, таким образом, общему объему выборки N; графическое представление в этой форме предпочтительнее полигону частот в случае неравномерных интервалов и резких колебаний f_i.

    На  рис. 15 дан полигон частот для  примера № 1 (по результатам табл. 2). На рис 16 построены гистограмма  и полигон частот для примера  №2 (по данным табл. 1).

    Помимо  указанных, могут оказаться полезными  графические представления в  виде различных диаграмм, например круговых.. 

3. ПОНЯТИЕ О КРИВОЙ  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ФОРМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

(КЛАССИЧЕСКИЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

    Кривая  распределения - это предел, к которому стремится полигон частот при неограниченном увеличении объема статистической совокупности и уменьшении интервалов (увеличение точности измерения, переход от дискретной величины к непрерывной). Она дает характеристику некоторой генеральной совокупности, т.е. получаемые в эксперименте выборки лишь в той или иной степени приближаются к своему теоретическому пределу. Кривая распределения позволяет наглядно представить форму распределения, т.е. определенную закономерность специфической концентрации вариант в цельной статистической совокупности.  Форма   распределения    является  некоторой обобщенной 

f_i

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 

      1         2        3       4        5        6       7        8       9       10       11      12        x_i   

    Рис. 15. Полигон частот для примера  № 1

f_i

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 

          1      2       3       4     5     6     7    8     9     10     11     12     13     14    15    16     x_i

Рис. 16. Гистограмма и полигон частот (пунктиром) для примера № 2. 

характеристикой выборки: ведь исследуемая статистическая закономерность проявляется не только в обозначении среднего уровня измеренного процесса, но и в регуляции отклонений от этого уровня, т.е. в обозначении формы статистического распределения.

    Все бесконечное разнообразие эмпирических кривых распределения (вне связи  с теоретико-вероятностными построениями) принято делить на две большие группы: одновершинные и многовершинные  (см. рис. 17, а). Последние называются также составными распределениями, т.е. являются следствием совместного графического представления различных (качественно разнородных) статистических совокупностей, в образовании которых преобладают какие-то различные закономерности. 
 
 
 

               А 
 
 
 
 
 
 

    б                                                                   в 
 
 
 
 
 

    г                                                                   д 
 
 
 
 

    Рис. 17. Основные эмпирические типы форм распределения:

    а - многовершинные, б- симметричные, в - умеренно скошенные,       г - крайне асимметричные, д- U-образные. 

    Одновершинные распределения в свою очередь  делятся на следующие группы:

    а) симметричные (см. рис. 17, б), т.е. такие, в которых идет равновероятное уменьшение величины признака по обе стороны  от некоторого и максимально частого  значения; примером таких, сравнительно редко встречающихся в практике распределений является расположение людей по величине роста;

    б) умеренно асимметричные или скошенные (см. рис. 17, в), в которых убывание числовых значений переменной в одну из сторон выражено заметно сильнее; таковы, например, распределения подавляющего большинства измерений эффективности человеческой деятельности;

    в) распределения крайне асимметричные (см. рис. 17, г), характерные, например для  распределения населения капиталистических  стран по величине материальной обеспеченности;

    г) U-образные (см. рис. 17, д), в которых наибольшая частота свойственна обоим крайним значениям признака, например распределение облачности в районе  Гринвичского меридиана.

    Таким образом, мы убеждаемся в большой  показательности формы статистического  распределения и в необходимости  ее последующего рассмотрения при анализе полученных результатов.

    Закон распределения - математическое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями варианты и соответствующими им вероятностями. Дать закон распределения случайной величины - это значит свести эмпирическую совокупность к тому теоретико-вероятностному закону, которому она более всего подчиняется. Закон распределения может быть задан:

    а) таблицей или рядом распределения, в котором каждому значению x_i поставлена в соответствие его вероятность  P_i;

    б) многоугольником распределения (полигон  частот);

    в) функцией распределения - аналитическим  выражением (формулой), по которому может  быть установлена вероятность каждого  текущего значения случайной величины.

    Теоретически (т.е. исходя из позиций чисто вероятностных) выделяют три важнейших типа распределений, которые называют часто классическими: биномиальное, нормальное (или распределение Гаусса) и распределение Пуассона.

    Биномиальное  распределение - это математическая модель  ситуации, подобной той, что описывает классические игры вероятностей, типа подсчета односторонних выпаданий монеты или граней игральной кости при их идеальном подбрасывании.

    Здесь все испытания независимы, вероятности  всех событий равны и в сумме  составляют единицу. Тогда вероятность P_n(m), т.е. вероятность осуществления m раз некоторого события A в серии испытаний n (общее число всех событий), описывается как последовательные члены разложения бинома n(q+p)^m , где p - вероятность наступления одиночного события A (например, это 1/2 для выпадания орла при подбрасывании идеальной монеты), q - вероятность события, противоположного событию  A, или вероятность неосуществления события A(q=1-p).

    Так что итоговая формула биноминального закона распределения имеет вид:

    P_n(m) = C^m_np^mq^n-m,

 где C^m_n - есть число сочетаний из n по m, т.е.

C^m_n = n! / m! (n-m)!

    Биноминальное распределение полностью описывается (математически определено) двумя  параметрами (показателями):n и p, так как его среднее значение  M= np, а мера разброса значений (среднее квадратическое отклонение) Q =  npq.  

    Форма биноминального распределения существенно  зависит от величин n и p, приближаясь в общем случае к симметричному распределению (см. рис. 17, б).