Прогнозирование динамики роста цен на молоко

 

Таблица 11 – Значения для t-критерия Стьюдента

= 0,688

Так как  < значит, гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается. Модель по данному критерию считается адекватной.

      4. Оценка точности выбранных моделей прогнозирования

      Для того, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих ее точность.         Ошибка прогноза – величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя.

       Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

 

Результаты расчетов представлены в табл. 12:

 

 

 

Таблица 12 – Расчетные значения Абсолютной ошибки

       При  расчете обобщающих показателей  точности модели используют характеристику, полученную усреднением модулей  абсолютных отклонений средняя абсолютная ошибка – MAD:

MAD  = 

         На практике широко используется  относительная ошибка прогноза, выраженная  в процентах относительно фактического значения показателя:

 

Средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE):

MAPE = = 1,70%

Значение 1,70%<10% свидетельствует о высокой точности модели, то есть модель подобрана удачно.

Средняя процентная ошибка( MPE) :

MPE =

    Как видим,  ошибки достаточно малы (составляют от 0,05% до 1 % по  отношению к исходным данным), т.е. выявленная тенденция достаточно устойчива и позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

Иногда при выборе лучшего  метода прогнозирования используют суммы квадратов ошибок (SSE) или  средние квадраты ошибок(MSE):         

Таблица 13 – Результаты расчетов SSE, MSE, S

Таблица 14 – Расчет характеристик точности параболической  модели

      Как видим, относительные и абсолютные ошибки имеют незначительную величину, что еще раз доказывает высокую точность выбранной модели.

Результаты:

Линейная модель ряда динамики имеет вид:

 

• Для линейной модели:

= 37,416/19 = 1,969 (руб);

          = 33,73/19 = 1,78%;

         SSE=158,272 ;

         MSE = 158,272/19 = 8,33

         S =

• Для параболической модели:

 

= 36,03/19 =1,90 (руб);

       = 1,70%;

       SSE = 124,288 ;

       MSE =6,54 ;

       S = = 2,56 (руб).

       В результате проверки гипотезы о существовании тенденции было выявлено, что в данном временном ряду прослеживается присутствие тренда (т.е. устойчивая тенденция в развитии наблюдается). По оценке точности и адекватности выбранной модели можно судить о ее достаточно высоком качестве и точности, что еще раз подтверждает правильность выбранной модели.  При исследовании выбраны линейная и параболическая модели.

      Линейная  модель по всем характеристикам  незначительно уступает параболической  модели, т.е. параболическая модель  точнее отражает динамику данного  процесса. По результатам проверки всех свойств ряда остатков модели, несмотря на то, что одно условие не выполнилось, можно сделать вывод о ее соответствии (адекватности) исследуемому процессу и возможности ее дальнейшего использования  для анализа и прогнозирования.

 

          4. Корреляционно-регрессионный анализ. Изучение зависимости цен на молоко от производства молочной продукции

         Регрессионный анализ – позволяет определить аналитическое выражение связи между факторным признаком и результативным.

Математическую функцию, описывающую зависимость результативного  признака Y от факторного Х,  называют уравнением регрессии, а параметры  модели – коэффициентами регрессии. [8] Реализация корреляционно-регрессионного метода анализа включает следующие этапы:

1. Выявление наиболее информационных факторов, оказывающих влияние на результат.
2. Количественная оценка тесноты связи между факторами с помощью коэффициента корреляции.
3. Построение модели регрессии, показывающей аналитическую зависимость результата от факторов.
4. Оценка стат. Значимости коэффициентов регрессии и регрессионной модели в целом.
5. Получение прогнозных оценок результативного признака для требуемого факторного значения.
6. Экономическая интерпретация результатов, формулировка выводов и принятие решений. [6]

     4.1 Расчет  линейного коэффициента корреляции

     Коэффициент  корреляции показывает количественную  величину взаимосвязи между факторами. Коэффициент r − это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице(неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Для того чтобы выявить наличие взаимосвязи строят диаграммы рассеивания. В нашем случае определение связи (линейная или нелинейная) изображено на рис. 6:

 

         Рисунок 1 - Диаграмма рассеивания  (корреляционное поле)

      Вытянутость  облака точек на диаграмме  рассеяния вдоль наклонной прямой  позволяет сделать предположение,  что существует некоторая объективная  тенденция прямой линейной связи  между значениями переменных X — производство молочной продукции и Y — цены на молоко.

       Средние  значения случайных величин X и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности x1, x2, …, x16 и y1, y2, …, y16, рассчитаем по формулам, соответственно

= 107,65; 

      Дисперсия  характеризует степень разброса  значений 

x1, x2, …, x16 (y1, y2, …, y16) вокруг своего среднего (и соответственно ):

=

 

       Стандартные  ошибки случайных величин X и Y рассчитаем по формулам соответственно:

5,95;  6,20

       Коэффициент  корреляции рассчитаем по формуле:

 

      В данном  случае величина коэффициента  парной корреляции равна , т.е. коэффициент близок к 1, что свидетельствует о наличии очень сильной связи между ценой на молоко и производством молочной продукции. Это говорит об идеальной прямой связи, т.е. увеличение фактора ведет к увеличению результата.   

       Промежуточные  расчеты при вычислении коэффициента  корреляции между переменными X — производство и Y —цена представлены в табл. 16.

Таблица 16 – Стандартные  вычисления для коэффициента корреляции

   

     4.2 Оценка  значимости линейного коэффициента  корреляции

     Значимость  линейного коэффициента корреляции  проверяется на основе t-критерия Стьюдента. Если  расчетное значение t-критерия по модулю превышает табличное, то коэффициент корреляции признается значимым.

Для этого рассчитаем значение t-статистики по формуле:

21

       Табличное  значение критерия Стьюдента  равно: tтабл (α = 0,1; k = n - 2 = 18) = 1,734 . Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо. Таким образом, производство молочной продукции оказывает весьма высокое влияние на цену.

      4.3 Регрессионный анализ

      Построим  линейную регрессионную модель  методом наименьших квадратов.  Используем промежуточные вычисления, приведенные в табл. 16.       Исходя из первых двух столбцов таблицы получим:

; 

Остальные вычисления приведем в столбцах (3-8).

Вычислим значения коэффициентов  линейной модели:

 

 

Таким образом, линейная модель имеет вид:

 

В результате, показатель  показывает, что увеличение  производства молочной продукции на 1% дает повышение цены на молоко на 1,02 руб.

Данную оценку связи можно  использовать для прогнозирования  изменения цен при соответствующем  проценте объема производства. Например, при увеличении объемов производства на 50% цена составит:

 

    

       4.4 Оценка качества модели регрессии. Оценка значимости коэффициентов регрессии и регрессионной модели в целом

        При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа [1], согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложена на две составляющие - объясненную и необъясненную:

 

где - значения y, вычисленные по модели   . Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции, называемый коэффициентом детерминации, показывающий какая доля вариации (y), находится под воздействием изучаемых (х). [7]

а) Коэффициент  детерминации вычисляется по формуле:

 

        Чем  ближе R²   к 1, тем выше качество модели. В случае линейной зависимости он показывает, какая часть общей дисперсии объясняется за счет вариации линейной комбинации независимых переменных при данных коэффициентах регрессии. D = 0,96 ,т.е. 96% вариации объясняется факторами, включенными в уравнение регрессии, а 4% вариации объясняется прочими, не включенными в модель факторами.

      б) Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии                Проверка проводится по t-критерию Стьюдента, где каждый коэффициент сравнивается с табличными значениями критерия. Формулы для определения каждого из коэффициентов:

;   

 

 

 

 

     параметр  незначим

         параметр значим

 в) Для оценки качества всей модели воспользуемся F-критерием Фишера:

 

= 437

 

где

     Fрасч. > Fтабл., поэтому гипотеза о заложенных в уравнении регрессии связей принимается. Данная модель регрессии признается адекватной.

       с) Также для оценки точности  регрессионных моделей целесообразно  использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации

      Рассчитаем  среднюю арифметическую величину  относительной ошибки аппроксимации  по формуле:

 

          Таким образом, о высокой точности  модели на всем рассматриваемом  интервале свидетельствует и  рассчитанное значение средней  относительной ошибки по модулю, равное 0,85%. Учитывая коэффициент  детерминации, можно сделать вывод  о том, что большая часть общей дисперсии объясняется за счет вариации линейной комбинации независимых переменной X при данных коэффициентах регрессии.

          F-критерия Фишера (α =0,05) показывает существование заложенных в уравнении регрессии связей, что свидетельствует об адекватности и значимости  уравнения регрессии.

         d) Дадим сравнительную оценку силы связи фактора с результатом с помощью коэффициента эластичности

      Коэффициент показывает, насколько процентов изменится результативный признак(y) при изменении факторного признака(x) на 1%.

 

Таким образом, при изменении  Производство молочной продукции на  1%, цена на молоко поднимется на 1,02%. Коэффициент  эластичности указывает на наличие  незначительной связи фактора с  результатом.

       4.5 Прогнозирование на основе линейной регрессии

      Выполнить  прогнозирование среднего значения  показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

_{max X=122}

_{a0=-2,67;   a1=1,02.}

         

     

      Рассчитать ошибки прогноза для  уровней значимости 5 или 10.

      Ошибка  прогноза - величина, характеризующая  расхождение фактического и прогнозного  показателя.

Средняя абсолютная ошибка прогноза (MAD):

MAD=0,86

На практике используются относительные ошибки, выраженные в  процентах:

_=1,09

Средняя абсолютная ошибка (MAPE):

              MAPE=0,58

 MAPE- свидетельствует о хорошей точности модели. Для проведения сравнительной оценки нескольких моделей используется средняя процентная ошибка MPE:

MPE=0,05

Поскольку МРЕ довольно мал,  следовательно, можно говорить о достаточно хорошем соответствии модели выбранным данным.

     Представим  графически: фактические и модельные  значения Y, точки прогноза

     Представим  фактические и модельные значения  Y на рисунке 7.